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2.如图所示，在四边形ABCD中，若∠A+∠B=180°，则∠C+∠D=
180°
。答案
2.180°
解析
【分析】
解题有两种思路：①先利用已知角的关系判定直线平行：∠A和∠B是直线AD、BC被直线AB所截得到的同旁内角，同旁内角互补可推出两直线平行，得到AD//BC后，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出∠C+∠D的度数；②也可直接利用四边形内角和定理：四边形的内角和为360°，减去已知的∠A+∠B的度数，直接得到∠C+∠D的和。
【解析】
方法1：
∵∠A+∠B=180°
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
方法2：
∵四边形的内角和为360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又
∵∠A+∠B=180°
∴∠C+∠D=360°-180°=180°
【答案】
180°
【知识点】
平行线的判定与性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础几何题，核心考察基础定理的应用，两种解题思路分别对应平行线相关性质和四边形内角和知识点，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：①先利用已知角的关系判定直线平行：∠A和∠B是直线AD、BC被直线AB所截得到的同旁内角，同旁内角互补可推出两直线平行，得到AD//BC后，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，即可求出∠C+∠D的度数；②也可直接利用四边形内角和定理：四边形的内角和为360°，减去已知的∠A+∠B的度数，直接得到∠C+∠D的和。
【解析】
方法1：
∵∠A+∠B=180°
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
方法2：
∵四边形的内角和为360°
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又
∵∠A+∠B=180°
∴∠C+∠D=360°-180°=180°
【答案】
180°
【知识点】
平行线的判定与性质；四边形内角和
【点评】
本题属于基础几何题，核心考察基础定理的应用，两种解题思路分别对应平行线相关性质和四边形内角和知识点，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.已知两个角的两边分别平行，一个角为$x°$，另一个角为$2x°-30°$，则满足题意的$x$的值是
30或70
。答案
3.30或70
解析
【分析】
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角存在两种数量关系：要么相等，要么互补。解题时我们需要分这两种情况分别列一元一次方程求解，再验证得到的解是否符合角度的取值要求即可。
【解析】
已知两个角的两边分别平行，因此这两个角相等或互补，分两种情况讨论：
1. 当两个角相等时：
列方程得：$x = 2x - 30$
移项计算：$2x - x = 30$
解得：$x = 30$
此时两个角分别为$30°$、$30°$，符合题意。
2. 当两个角互补时：
列方程得：$x + (2x - 30) = 180$
合并同类项：$3x - 30 = 180$
移项计算：$3x = 210$
解得：$x = 70$
此时两个角分别为$70°$、$110°$，符合题意。
综上，满足题意的$x$的值为30或70。
【答案】
30或70
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题容易出现漏解的错误，解题时要牢记两边分别平行的两个角有相等、互补两种可能，分类讨论所有情况再结合方程求解即可。
【难度系数】
0.7
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角存在两种数量关系：要么相等，要么互补。解题时我们需要分这两种情况分别列一元一次方程求解，再验证得到的解是否符合角度的取值要求即可。
【解析】
已知两个角的两边分别平行，因此这两个角相等或互补，分两种情况讨论：
1. 当两个角相等时：
列方程得：$x = 2x - 30$
移项计算：$2x - x = 30$
解得：$x = 30$
此时两个角分别为$30°$、$30°$，符合题意。
2. 当两个角互补时：
列方程得：$x + (2x - 30) = 180$
合并同类项：$3x - 30 = 180$
移项计算：$3x = 210$
解得：$x = 70$
此时两个角分别为$70°$、$110°$，符合题意。
综上，满足题意的$x$的值为30或70。
【答案】
30或70
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题容易出现漏解的错误，解题时要牢记两边分别平行的两个角有相等、互补两种可能，分类讨论所有情况再结合方程求解即可。
【难度系数】
0.7
4.如图所示，已知$AB// CD$，且$∠ ABE=120°$，$∠ CDE=30°$，则$∠ BED$的度数是
90°
。答案
4.90°
解析
【分析】
本题是平行线间折线型的角度计算问题，解题的核心方法是过拐点作平行线。首先过点E作EF平行于AB，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得EF也平行于CD，再分别利用平行线的性质求出∠BEF和∠DEF的度数，两个角相加即可得到∠BED的度数。
【解析】
解：过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//EF，
∴∠ABE + ∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ABE=120°，
∴∠BEF = 180° - 120° = 60°。
∵EF//CD，
∴∠DEF = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
已知∠CDE=30°，
∴∠DEF=30°。
∴∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 60° + 30° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，辅助线作图
【点评】
本题是平行线角度计算的常见题型，重点考查拐点类问题的辅助线构造方法，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题是平行线间折线型的角度计算问题，解题的核心方法是过拐点作平行线。首先过点E作EF平行于AB，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得EF也平行于CD，再分别利用平行线的性质求出∠BEF和∠DEF的度数，两个角相加即可得到∠BED的度数。
【解析】
解：过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴EF//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
∵AB//EF，
∴∠ABE + ∠BEF = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
已知∠ABE=120°，
∴∠BEF = 180° - 120° = 60°。
∵EF//CD，
∴∠DEF = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
已知∠CDE=30°，
∴∠DEF=30°。
∴∠BED = ∠BEF + ∠DEF = 60° + 30° = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论，辅助线作图
【点评】
本题是平行线角度计算的常见题型，重点考查拐点类问题的辅助线构造方法，熟练掌握平行线的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图所示，$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 3=∠ B$，试判断$∠ AED$与$∠ C$的大小关系，并说明理由。
1. 如图所示，$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 3=∠ B$，试判断$∠ AED$与$∠ C$的大小关系，并说明理由。
答案
1.$∠AED=∠C$ 理由略
解析
【分析】
要判断∠AED与∠C的大小关系，可联想平行线的性质：若两直线平行，同位角相等，因此我们的目标是证明DE//BC。首先从已知∠1+∠2=180°入手，结合邻补角的性质推出等角，先判定AB和EF平行；再利用平行线的性质得到∠3和∠ADE相等，结合已知∠3=∠B做等量代换，得到∠ADE和∠B相等，即可判定DE//BC，最后根据平行线的性质得到∠AED与∠C的关系。
【解析】
∠AED=∠C，理由如下：
∵ ∠1 + ∠DFE = 180°（邻补角的定义）
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∴ ∠2 = ∠DFE（同角的补角相等）
∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠3 = ∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠3 = ∠B（已知）
∴ ∠ADE = ∠B（等量代换）
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）
【答案】
∠AED=∠C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题，核心是灵活运用角的等量关系推导平行，再通过平行得到新的角的等量关系，解题时要注意判定和性质的使用场景，不要混淆因果逻辑。
【难度系数】
0.7
要判断∠AED与∠C的大小关系，可联想平行线的性质：若两直线平行，同位角相等，因此我们的目标是证明DE//BC。首先从已知∠1+∠2=180°入手，结合邻补角的性质推出等角，先判定AB和EF平行；再利用平行线的性质得到∠3和∠ADE相等，结合已知∠3=∠B做等量代换，得到∠ADE和∠B相等，即可判定DE//BC，最后根据平行线的性质得到∠AED与∠C的关系。
【解析】
∠AED=∠C，理由如下：
∵ ∠1 + ∠DFE = 180°（邻补角的定义）
又
∵ ∠1 + ∠2 = 180°（已知）
∴ ∠2 = ∠DFE（同角的补角相等）
∴ AB//EF（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠3 = ∠ADE（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠3 = ∠B（已知）
∴ ∠ADE = ∠B（等量代换）
∴ DE//BC（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等）
【答案】
∠AED=∠C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的综合基础题，核心是灵活运用角的等量关系推导平行，再通过平行得到新的角的等量关系，解题时要注意判定和性质的使用场景，不要混淆因果逻辑。
【难度系数】
0.7
2.如图，AD平分∠BAC，且与线段BC相交于点F，E是AC上一点，连接EF.若∠D=∠BAD，∠CEF+∠ABD=180°.
（1）请说明AC//BD.
（2）请判断EF与AB的位置关系，并说明理由.
（1）请说明AC//BD.
（2）请判断EF与AB的位置关系，并说明理由.
答案
2.(1) $\because AD$ 平分 $∠ BAC, \therefore ∠ CAD = ∠ BAD.$ 又$\because ∠ D = ∠ BAD, \therefore ∠ CAD = ∠ D,\therefore AC// BD.$
(2) $EF // AB.$ 理 由: $\because AC // BD,$ $\therefore ∠ BAC+∠ ABD=180°.$
又$\because ∠ CEF+∠ ABD=180°,\therefore ∠ BAC=∠ CEF,\therefore EF// AB.$
(2) $EF // AB.$ 理 由: $\because AC // BD,$ $\therefore ∠ BAC+∠ ABD=180°.$
又$\because ∠ CEF+∠ ABD=180°,\therefore ∠ BAC=∠ CEF,\therefore EF// AB.$
解析
【分析】
（1）要证明AC//BD，可通过证明内错角相等推导。首先利用角平分线的性质得到∠CAD=∠BAD，再结合已知∠D=∠BAD，等量代换得到内错角∠CAD=∠D，即可根据平行线判定定理推出平行。
（2）观察图形可猜想EF//AB，要证明该结论可通过证明同位角相等推导。首先利用（1）中AC//BD的结论，结合平行线的性质得到∠BAC与∠ABD互补，再结合已知∠CEF与∠ABD互补，根据同角的补角相等得到同位角∠BAC=∠CEF，即可推出EF与AB平行。
【解析】
（1）$\because AD$ 平分 $∠BAC$，
$\therefore ∠CAD = ∠BAD$，
又$\because ∠D = ∠BAD$，
$\therefore ∠CAD = ∠D$，
$\therefore AC// BD$。
（2）$EF // AB$，理由如下：
$\because AC // BD$，
$\therefore ∠BAC+∠ABD=180°$，
又$\because ∠CEF+∠ABD=180°$，
$\therefore ∠BAC=∠CEF$，
$\therefore EF// AB$。
【答案】
（1）$AC// BD$，证明见解析；
（2）$EF// AB$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于平行线相关的基础题型，解题关键是结合已知条件完成角的等量代换，熟练运用平行线的判定和性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
（1）要证明AC//BD，可通过证明内错角相等推导。首先利用角平分线的性质得到∠CAD=∠BAD，再结合已知∠D=∠BAD，等量代换得到内错角∠CAD=∠D，即可根据平行线判定定理推出平行。
（2）观察图形可猜想EF//AB，要证明该结论可通过证明同位角相等推导。首先利用（1）中AC//BD的结论，结合平行线的性质得到∠BAC与∠ABD互补，再结合已知∠CEF与∠ABD互补，根据同角的补角相等得到同位角∠BAC=∠CEF，即可推出EF与AB平行。
【解析】
（1）$\because AD$ 平分 $∠BAC$，
$\therefore ∠CAD = ∠BAD$，
又$\because ∠D = ∠BAD$，
$\therefore ∠CAD = ∠D$，
$\therefore AC// BD$。
（2）$EF // AB$，理由如下：
$\because AC // BD$，
$\therefore ∠BAC+∠ABD=180°$，
又$\because ∠CEF+∠ABD=180°$，
$\therefore ∠BAC=∠CEF$，
$\therefore EF// AB$。
【答案】
（1）$AC// BD$，证明见解析；
（2）$EF// AB$，理由见解析。
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，平行线的性质
【点评】
本题属于平行线相关的基础题型，解题关键是结合已知条件完成角的等量代换，熟练运用平行线的判定和性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
