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3. 求下列各式中$x$的值.
(1)$4x^2=25$；
(2)$(x-1)^2=36$；
(3)$(x+1)^3-125=0$.
(1)$4x^2=25$；
(2)$(x-1)^2=36$；
(3)$(x+1)^3-125=0$.
答案
(1) $x=\pm\frac{5}{2}$
(2) $x=7$ 或 $x=-5$
(3) $x=4$
(2) $x=7$ 或 $x=-5$
(3) $x=4$
解析
【分析】
这三道题均是利用开方运算求解未知数的基础题，解题思路为将含未知数的部分看作整体，转化为可直接开方的形式，再结合平方根、立方根的性质计算：
1. 第(1)题先将$x^2$的系数化为1，再根据正数有两个互为相反数的平方根开方求解；
2. 第(2)题将$(x-1)$看作整体开平方，得到两个一元一次方程后分别求解，注意不要漏解；
3. 第(3)题先移项得到$(x+1)^3$的取值，再根据立方根的唯一性开立方，解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 求解$4x^2=25$：
方程两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，
对等式两边开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
(2) 求解$(x-1)^2=36$：
将$x-1$看作整体开平方，得$x-1=\pm\sqrt{36}=\pm6$，
分两种情况计算：
当$x-1=6$时，解得$x=7$；
当$x-1=-6$时，解得$x=-5$，
即$x=7$或$x=-5$。
(3) 求解$(x+1)^3-125=0$：
移项得$(x+1)^3=125$，
将$x+1$看作整体开立方，得$x+1=\sqrt[3]{125}=5$，
移项计算得$x=5-1=4$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{5}{2}$
(2) $x=7$ 或 $x=-5$
(3) $x=4$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、开方法解方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题关键是掌握平方根、立方根的区别：正数的平方根有2个且互为相反数，任意实数的立方根仅有1个，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.8
这三道题均是利用开方运算求解未知数的基础题，解题思路为将含未知数的部分看作整体，转化为可直接开方的形式，再结合平方根、立方根的性质计算：
1. 第(1)题先将$x^2$的系数化为1，再根据正数有两个互为相反数的平方根开方求解；
2. 第(2)题将$(x-1)$看作整体开平方，得到两个一元一次方程后分别求解，注意不要漏解；
3. 第(3)题先移项得到$(x+1)^3$的取值，再根据立方根的唯一性开立方，解一元一次方程即可。
【解析】
(1) 求解$4x^2=25$：
方程两边同时除以4，得$x^2=\frac{25}{4}$，
对等式两边开平方，得$x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}}=\pm\frac{5}{2}$。
(2) 求解$(x-1)^2=36$：
将$x-1$看作整体开平方，得$x-1=\pm\sqrt{36}=\pm6$，
分两种情况计算：
当$x-1=6$时，解得$x=7$；
当$x-1=-6$时，解得$x=-5$，
即$x=7$或$x=-5$。
(3) 求解$(x+1)^3-125=0$：
移项得$(x+1)^3=125$，
将$x+1$看作整体开立方，得$x+1=\sqrt[3]{125}=5$，
移项计算得$x=5-1=4$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{5}{2}$
(2) $x=7$ 或 $x=-5$
(3) $x=4$
【知识点】
平方根的性质、立方根的性质、开方法解方程
【点评】
本题是开方运算的基础应用题型，解题关键是掌握平方根、立方根的区别：正数的平方根有2个且互为相反数，任意实数的立方根仅有1个，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.8
4. 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究，我们知道$\sqrt{2}$是一个无限不循环小数，它的整数部分是1. 那么谁能说出它的小数部分是多少？”小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用$\sqrt{2}-1$来表示它的小数部分.”老师夸奖小明聪明，肯定了他的说法. 请根据小明的说法，回答下列问题.
(1)已知$\sqrt{5}$的小数部分是$a$，$\sqrt{37}$的整数部分是$b$. 求$a+b-\sqrt{5}$的值.
(2)已知$8+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是一个整数，$0＜y＜1$. 求$3x+(y-\sqrt{3})^{2025}$的值.
(1)已知$\sqrt{5}$的小数部分是$a$，$\sqrt{37}$的整数部分是$b$. 求$a+b-\sqrt{5}$的值.
(2)已知$8+\sqrt{3}=x+y$，其中$x$是一个整数，$0＜y＜1$. 求$3x+(y-\sqrt{3})^{2025}$的值.
答案
解：(1)$\because4＜5＜9$，$36＜37＜49$，
$\therefore2＜\sqrt{5}＜3$，$6＜\sqrt{37}＜7$.
$\therefore a=\sqrt{5}-2$，$b=6$.
$\therefore a+b-\sqrt{5}=4$.
(2)$\because1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore9＜8+\sqrt{3}＜10$.
$\therefore x=9$.
$\because y=8+\sqrt{3}-x$.
$\therefore y-\sqrt{3}=8-x=-1$.
$\therefore$原式$=3×9-1=26$.
$\therefore2＜\sqrt{5}＜3$，$6＜\sqrt{37}＜7$.
$\therefore a=\sqrt{5}-2$，$b=6$.
$\therefore a+b-\sqrt{5}=4$.
(2)$\because1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore9＜8+\sqrt{3}＜10$.
$\therefore x=9$.
$\because y=8+\sqrt{3}-x$.
$\therefore y-\sqrt{3}=8-x=-1$.
$\therefore$原式$=3×9-1=26$.
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，从而得到它的整数部分（为较小的那个整数），小数部分为无理数减去它的整数部分，再将得到的数值代入所求代数式计算即可。对于第(1)问，先分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{37}$的取值范围，得到$a$、$b$的表达式后代入式子计算；对于第(2)问，先估算$8+\sqrt{3}$的取值范围得到整数$x$的值，再推导$y-\sqrt{3}$的取值，最后代入式子计算。
【解析】
(1) $\because 4＜5＜9$，$36＜37＜49$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，$6＜\sqrt{37}＜7$，
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$，$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$，
将$a$、$b$代入得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
(2) $\because 1＜3＜4$，
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore 9＜8+\sqrt{3}＜10$，
$\because 8+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
$\therefore x=9$，$y=8+\sqrt{3}-9=\sqrt{3}-1$，
$\therefore y-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1$，
代入原式得：$3x+(y-\sqrt{3})^{2025}=3×9+(-1)^{2025}=27-1=26$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{26}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数的整数部分、小数部分的估算方法，解题关键是正确确定无理数的取值范围，进而得到对应的整数部分和小数部分，再代入计算即可，同时也考查了幂的运算和实数的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心思路是先估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，从而得到它的整数部分（为较小的那个整数），小数部分为无理数减去它的整数部分，再将得到的数值代入所求代数式计算即可。对于第(1)问，先分别估算$\sqrt{5}$和$\sqrt{37}$的取值范围，得到$a$、$b$的表达式后代入式子计算；对于第(2)问，先估算$8+\sqrt{3}$的取值范围得到整数$x$的值，再推导$y-\sqrt{3}$的取值，最后代入式子计算。
【解析】
(1) $\because 4＜5＜9$，$36＜37＜49$，
$\therefore 2＜\sqrt{5}＜3$，$6＜\sqrt{37}＜7$，
$\therefore \sqrt{5}$的小数部分$a=\sqrt{5}-2$，$\sqrt{37}$的整数部分$b=6$，
将$a$、$b$代入得：$a+b-\sqrt{5}=(\sqrt{5}-2)+6-\sqrt{5}=4$。
(2) $\because 1＜3＜4$，
$\therefore 1＜\sqrt{3}＜2$，
$\therefore 9＜8+\sqrt{3}＜10$，
$\because 8+\sqrt{3}=x+y$，$x$是整数，$0＜y＜1$，
$\therefore x=9$，$y=8+\sqrt{3}-9=\sqrt{3}-1$，
$\therefore y-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1$，
代入原式得：$3x+(y-\sqrt{3})^{2025}=3×9+(-1)^{2025}=27-1=26$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{26}$
【知识点】
无理数的估算；代数式求值；实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数的整数部分、小数部分的估算方法，解题关键是正确确定无理数的取值范围，进而得到对应的整数部分和小数部分，再代入计算即可，同时也考查了幂的运算和实数的基础运算能力。
【难度系数】
0.8
