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2. 寻找任意多边形重心的方法，我们通常是在这个多边形的每个顶点处钉一颗小钉，用下端系有重物的细线缠绕在一颗小钉上，吊起这个多边形，记下细线的痕迹，重复实验操作，这些痕迹的交点就是这个多边形的重心. 实际上只需操作
两
次就可以确定重心的位置.答案
2. 两
解析
【分析】
解题首先要明确悬挂法找重心的原理：匀质薄板静止时，受到的重力和细线的拉力是一对平衡力，二者在同一条直线上，因此重心必然在细线所在的竖直线上。接下来思考确定一个点的位置需要的条件：根据数学中直线相交的性质，两条不重合的直线相交有且只有一个交点，只要得到两条经过重心的不重合直线，它们的交点就是唯一的重心位置，因此只需2次操作即可。
【解析】
悬挂法找重心的原理为：匀质多边形薄板被细线吊起静止时，重心一定在细线所在的竖直线上。
1. 第一次悬挂可得到第一条经过重心的直线，此时重心是这条直线上的任意一点，无法唯一确定；
2. 第二次更换不同的顶点悬挂，可得到第二条经过重心、且和第一条不重合的直线，根据“两条不重合的直线相交有且只有一个交点”的性质，两条线的交点就是唯一的重心位置。
因此仅需要操作2次就可以确定重心的位置。
【答案】
两
【知识点】
1. 悬挂法测重心原理
2. 两直线相交的性质
3. 重心的基本性质
【点评】
这道题将实践操作与基础原理结合，考查学生对知识的实际应用能力，内容贴近生活，能够引导学生关注知识在实际场景中的运用。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确悬挂法找重心的原理：匀质薄板静止时，受到的重力和细线的拉力是一对平衡力，二者在同一条直线上，因此重心必然在细线所在的竖直线上。接下来思考确定一个点的位置需要的条件：根据数学中直线相交的性质，两条不重合的直线相交有且只有一个交点，只要得到两条经过重心的不重合直线，它们的交点就是唯一的重心位置，因此只需2次操作即可。
【解析】
悬挂法找重心的原理为：匀质多边形薄板被细线吊起静止时，重心一定在细线所在的竖直线上。
1. 第一次悬挂可得到第一条经过重心的直线，此时重心是这条直线上的任意一点，无法唯一确定；
2. 第二次更换不同的顶点悬挂，可得到第二条经过重心、且和第一条不重合的直线，根据“两条不重合的直线相交有且只有一个交点”的性质，两条线的交点就是唯一的重心位置。
因此仅需要操作2次就可以确定重心的位置。
【答案】
两
【知识点】
1. 悬挂法测重心原理
2. 两直线相交的性质
3. 重心的基本性质
【点评】
这道题将实践操作与基础原理结合，考查学生对知识的实际应用能力，内容贴近生活，能够引导学生关注知识在实际场景中的运用。
【难度系数】
0.8
3. 如图3所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上，则表示△ABC的重心的点是
D点
。答案
3. D点
解析
【分析】
要确定△ABC的重心，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需找到△ABC的任意两条中线，它们的交点即为重心。首先结合网格特点找到△ABC其中一条边的中点，连接对应顶点得到第一条中线；再找到另一条边的中点，连接对应顶点得到第二条中线，两条中线的交点就是所求的重心。
【解析】
1. 根据三角形重心的定义，重心是三角形三条中线的交点，只需找到两条中线的交点即可求解；
2. 先找到AB边的中点，连接点C与AB的中点，得到△ABC的一条中线，观察网格可知这条中线与过E、D、G的水平直线重合；
3. 再找到AC边的中点，连接点B与AC的中点，得到△ABC的另一条中线；
4. 观察可得上述两条中线的交点为D点，因此D点就是△ABC的重心。
【答案】
D点
【知识点】
三角形重心的定义、三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格的特点快速定位中线的位置即可得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
要确定△ABC的重心，首先回忆三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需找到△ABC的任意两条中线，它们的交点即为重心。首先结合网格特点找到△ABC其中一条边的中点，连接对应顶点得到第一条中线；再找到另一条边的中点，连接对应顶点得到第二条中线，两条中线的交点就是所求的重心。
【解析】
1. 根据三角形重心的定义，重心是三角形三条中线的交点，只需找到两条中线的交点即可求解；
2. 先找到AB边的中点，连接点C与AB的中点，得到△ABC的一条中线，观察网格可知这条中线与过E、D、G的水平直线重合；
3. 再找到AC边的中点，连接点B与AC的中点，得到△ABC的另一条中线；
4. 观察可得上述两条中线的交点为D点，因此D点就是△ABC的重心。
【答案】
D点
【知识点】
三角形重心的定义、三角形中线的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格的特点快速定位中线的位置即可得出答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 综合与实践.
我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心. 从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.
图4中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 为什么会平衡呢？希望你通过下面的探索过程能得到答案.
图5中，AD是$△ ABC$的中线，$△ ACD$与$△ ABD$等底等高，面积相等，记作：
$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}.$
图6中，若$△ ABC$三条中线AD，BE，CF交于点G，则GD是$△ GBC$的中线，利用上述结论可得：$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}$，同理$S_{△ GBF}=S_{△ GAF}$，$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}$.
（1）图6中，若设$S_{△ GCD}=x$，$S_{△ GBF}=y$，$S_{△ GAE}=z$，猜想$x$，$y$，$z$之间的数量关系，并证明你的猜想.
（2）由（1）中得出的结论，直接写出图6中$BG:GE$的比为
（3）图7中，G是$△ ABC$的重心，点D，E在$△ ABC$的边AB，AC上，BE，CD交于点G. 已知$BE=10$，$CD=9$，$BE⊥ CD$，求四边形ADGE的面积.
我们知道，三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心. 从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.
图4中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态. 为什么会平衡呢？希望你通过下面的探索过程能得到答案.
图5中，AD是$△ ABC$的中线，$△ ACD$与$△ ABD$等底等高，面积相等，记作：
$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}.$
图6中，若$△ ABC$三条中线AD，BE，CF交于点G，则GD是$△ GBC$的中线，利用上述结论可得：$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}$，同理$S_{△ GBF}=S_{△ GAF}$，$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}$.
（1）图6中，若设$S_{△ GCD}=x$，$S_{△ GBF}=y$，$S_{△ GAE}=z$，猜想$x$，$y$，$z$之间的数量关系，并证明你的猜想.
（2）由（1）中得出的结论，直接写出图6中$BG:GE$的比为
2:1
.（3）图7中，G是$△ ABC$的重心，点D，E在$△ ABC$的边AB，AC上，BE，CD交于点G. 已知$BE=10$，$CD=9$，$BE⊥ CD$，求四边形ADGE的面积.
答案
4. （1）x=y=z. 证明：由题意可知$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}=x$，$S_{△ GBF}=S_{△ AGF}=y$，$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}=z$. $\because S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，$\therefore 2y+x=2z+x$，$\therefore y=z$. $\because S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$，$\therefore 2y+z=2x+z$，$\therefore x=y$，$\therefore x=y=z$
（2）2：1. 理由：由（1）知，$S_{△ BGA}=2S_{△ GAE}$. $\because △BGA$与$△GAE$等高，$\therefore 2GE=BG$，即$BG:GE=2:1$
（3）$\because G$是$△ABC$的重心，$\therefore$ 由（2）知，$BG:GE=CG:GD=2:1$. $\because BE=10$，$CD=9$，$\therefore BG=\frac{20}{3}$，$CG=6$. $\because BE⊥ CD$，$\therefore S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BG× CG=\frac{1}{2}× \frac{20}{3}× 6=20$，$\therefore S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=60$，$\therefore S_{△ BDG}=S_{△ CEG}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$，$\therefore S_{四边形AEGD}=60-10-10-20=20$
（2）2：1. 理由：由（1）知，$S_{△ BGA}=2S_{△ GAE}$. $\because △BGA$与$△GAE$等高，$\therefore 2GE=BG$，即$BG:GE=2:1$
（3）$\because G$是$△ABC$的重心，$\therefore$ 由（2）知，$BG:GE=CG:GD=2:1$. $\because BE=10$，$CD=9$，$\therefore BG=\frac{20}{3}$，$CG=6$. $\because BE⊥ CD$，$\therefore S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BG× CG=\frac{1}{2}× \frac{20}{3}× 6=20$，$\therefore S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=60$，$\therefore S_{△ BDG}=S_{△ CEG}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$，$\therefore S_{四边形AEGD}=60-10-10-20=20$
解析
【分析】
（1）要推导x、y、z的数量关系，先利用题中给出的“中线分三角形为两个等面积部分”的结论，可得$S_{△GBD}=S_{△GCD}=x$，$S_{△GAF}=S_{△GBF}=y$，$S_{△GCE}=S_{△GAE}=z$。再结合AD是△ABC的中线，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，据此列等式消去公共项可得y=z；同理结合BE是△ABC的中线，列等式可得x=y，即可得出三者相等的结论。
（2）求BG:GE的比值，可观察△BGA和△GAE，二者同高（过点A作BE边上的高为公共高），根据“同高三角形的面积比等于对应底的比”，结合（1）的面积结论即可求出线段比。
（3）首先利用（2）得出的重心分中线为2:1的比例，算出BG、CG的长度，结合BE⊥CD的条件，用直角三角形面积公式求出△BGC的面积；再根据（1）的结论，六个小三角形面积相等，可知△ABC的总面积是△BGC面积的3倍，最后用总面积减去△BGC、△BDG、△CEG的面积，即可求出四边形ADGE的面积。
【解析】
（1）猜想：$x=y=z$，证明如下：
由题意可知，AD、BE、CF均为△ABC的中线，因此$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}=x$，$S_{△ GBF}=S_{△ AGF}=y$，$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}=z$。
$\because$ AD是△ABC的中线，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，即$2y+x=2z+x$，化简得$y=z$。
$\because$ BE是△ABC的中线，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$，即$2y+z=2x+z$，化简得$x=y$。
综上可得$x=y=z$。
（2）由（1）的结论可知，$S_{△ BGA}=S_{△ GBF}+S_{△ AGF}=2y$，$S_{△ GAE}=z=y$，即$S_{△ BGA}=2S_{△ GAE}$。
$\because △BGA$与$△GAE$共高（过点A作BE边上的高为公共高），$\therefore$ 同高三角形面积比等于底的比，即$\frac{BG}{GE}=\frac{S_{△ BGA}}{S_{△ GAE}}=\frac{2}{1}$，故$BG:GE=2:1$。
（3）$\because G$是$△ABC$的重心，由（2）的结论可得$BG:GE=CG:GD=2:1$。
已知$BE=10$，$CD=9$，则$BG=BE×\frac{2}{2+1}=\frac{20}{3}$，$CG=CD×\frac{2}{2+1}=6$。
$\because BE⊥ CD$，$\therefore △BGC$为直角三角形，$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BG× CG=\frac{1}{2}× \frac{20}{3}× 6=20$。
由（1）的结论可知六个小三角形面积相等，$S_{△ BGC}=2x$，$S_{△ ABC}=6x$，故$S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=3×20=60$。
又$S_{△ BDG}=S_{△ GCD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$，$S_{△ CEG}=S_{△ GAE}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=10$，
$\therefore S_{四边形ADGE}=S_{△ ABC}-S_{△ BGC}-S_{△ BDG}-S_{△ CEG}=60-20-10-10=20$。
【答案】
（1）$x=y=z$，证明见解析；（2）$2:1$；（3）$20$
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质开展探究，问题设置由浅入深，从面积关系推导到线段比例，再到综合应用求解面积，考查了对三角形中线、面积相关性质的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要推导x、y、z的数量关系，先利用题中给出的“中线分三角形为两个等面积部分”的结论，可得$S_{△GBD}=S_{△GCD}=x$，$S_{△GAF}=S_{△GBF}=y$，$S_{△GCE}=S_{△GAE}=z$。再结合AD是△ABC的中线，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，据此列等式消去公共项可得y=z；同理结合BE是△ABC的中线，列等式可得x=y，即可得出三者相等的结论。
（2）求BG:GE的比值，可观察△BGA和△GAE，二者同高（过点A作BE边上的高为公共高），根据“同高三角形的面积比等于对应底的比”，结合（1）的面积结论即可求出线段比。
（3）首先利用（2）得出的重心分中线为2:1的比例，算出BG、CG的长度，结合BE⊥CD的条件，用直角三角形面积公式求出△BGC的面积；再根据（1）的结论，六个小三角形面积相等，可知△ABC的总面积是△BGC面积的3倍，最后用总面积减去△BGC、△BDG、△CEG的面积，即可求出四边形ADGE的面积。
【解析】
（1）猜想：$x=y=z$，证明如下：
由题意可知，AD、BE、CF均为△ABC的中线，因此$S_{△ GCD}=S_{△ GBD}=x$，$S_{△ GBF}=S_{△ AGF}=y$，$S_{△ GAE}=S_{△ GCE}=z$。
$\because$ AD是△ABC的中线，$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$，即$2y+x=2z+x$，化简得$y=z$。
$\because$ BE是△ABC的中线，$\therefore S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$，即$2y+z=2x+z$，化简得$x=y$。
综上可得$x=y=z$。
（2）由（1）的结论可知，$S_{△ BGA}=S_{△ GBF}+S_{△ AGF}=2y$，$S_{△ GAE}=z=y$，即$S_{△ BGA}=2S_{△ GAE}$。
$\because △BGA$与$△GAE$共高（过点A作BE边上的高为公共高），$\therefore$ 同高三角形面积比等于底的比，即$\frac{BG}{GE}=\frac{S_{△ BGA}}{S_{△ GAE}}=\frac{2}{1}$，故$BG:GE=2:1$。
（3）$\because G$是$△ABC$的重心，由（2）的结论可得$BG:GE=CG:GD=2:1$。
已知$BE=10$，$CD=9$，则$BG=BE×\frac{2}{2+1}=\frac{20}{3}$，$CG=CD×\frac{2}{2+1}=6$。
$\because BE⊥ CD$，$\therefore △BGC$为直角三角形，$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}× BG× CG=\frac{1}{2}× \frac{20}{3}× 6=20$。
由（1）的结论可知六个小三角形面积相等，$S_{△ BGC}=2x$，$S_{△ ABC}=6x$，故$S_{△ ABC}=3S_{△ BGC}=3×20=60$。
又$S_{△ BDG}=S_{△ GCD}=\frac{1}{2}S_{△ BGC}=10$，$S_{△ CEG}=S_{△ GAE}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}=10$，
$\therefore S_{四边形ADGE}=S_{△ ABC}-S_{△ BGC}-S_{△ BDG}-S_{△ CEG}=60-20-10-10=20$。
【答案】
（1）$x=y=z$，证明见解析；（2）$2:1$；（3）$20$
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题围绕三角形重心的性质开展探究，问题设置由浅入深，从面积关系推导到线段比例，再到综合应用求解面积，考查了对三角形中线、面积相关性质的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.6
