15 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=8$，$AC=6$，以点$C$为圆心，$r$为半径作$\odot C$.
（1）若直线$AB$与$\odot C$没有公共点，求半径$r$的取值范围；
（2）若边$AB$与$\odot C$有两个公共点，求半径$r$的取值范围；
（3）若边$AB$与$\odot C$只有一个公共点，求半径$r$的取值范围.

; 解：过点​$C$​作​$CD⊥AB，$​垂足为​$D$​∵​$∠C=90°，$​​$BC=8，$​​$AC=6$​∴​$AB=10$​∴​$CD=\frac {AC ·BC}{AB}=\frac {24}5$​​$(1)$​若直线​$AB$​与​$⊙C$​没有公共点，则半径​$r$​的取值范围是​$0＜r＜\frac {24}5$​​$(2)$​若边​$AB$​与​$⊙C$​有两个公共点，则半径​$r$​的取值范围是​$\frac {24}5＜r≤6$​​$(3)$​若边​$AB$​与​$⊙C$​只有一个公共点，则半径​$r$​的取值范围是​$r=\frac {24}5$​或​$6＜r≤8$​

16 在平面直角坐标系$xOy$中，点$A,B$分别在$x$轴负半轴、$y$轴正半轴上$(OA＞OB)$，$C(a,-a)$（$a$为常数），以点$C$为圆心、适当的长度为半径作$\odot C$，使点$A,B$在$\odot C$上.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出$\odot C$（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若$OA=8$，$OB=6$，直线$y=x+b$与$\odot C$有且只有一个公共点，求$b$的值.

解：​$ (1)$​如图所示​$ (2)$​如图，设直线​$y = x + b$​与​$\odot C$​有且只有一个公共点为​$T$​​$ $​则​$CT$​和直线​$y = x + b$​垂直，且​$CT = AC = CB$​∵点​$C$​在直线​$y=-x$​上∴​$T$​是直线​$y=-x$​和直线​$y = x + b$​的交点​$ $​则点​$T(-\frac {1}{2}b，$​​$\frac {1}{2}b)$​​$ $​由​$CT = AC = CB$​​$ $​得​$(a + 8)^2+a^2=a^2+(a + 6)^2=(-a-\frac {1}{2}b)^2+(a+\frac {1}{2}b)^2$​​$ $​解得​$b = 4$​或​$b = 24$​ ;

17 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为边CD上的一个动点(不与点C,D重合),$\odot O$是$△ BCE$的外接圆.
(1) 若$CE=2$,$\odot O$交AD于点F,G,求FG的长度.
(2) 若CE的长度为m,$\odot O$与AD的位置关系随着m的值变化而变化,试探索$\odot O$与AD的位置关系及对应的m的取值范围.

; 解：​$(1)$​过点​$O$​作​$OM\perp FG $​于点​$M，$​延长​$MO$​交​$BC$​于点​$N，$​连接​$OG$​∵四边形​$ABCD$​是矩形，∴​$∠C=∠D = 90°$​∴​$BE$​是​$\odot O$​的直径∵​$∠C=∠D=∠DMN = 90°，$​∴四边形​$MNCD$​是矩形∴​$MN\perp BC，$​​$MN = CD = AB = 4$​∴​$BN = CN$​∵​$OB = OE，$​∴​$ON$​是​$\triangle BCE$​的中位线∴​$ON=\frac 12CE = 1，$​∴​$OM = 4 - 1 = 3$​在​$Rt\triangle BCE$​中，​$BE=\sqrt {BC^2+CE^2}=\sqrt {6^2+2^2} = 2\sqrt {10}$​∴​$OG=\frac 12BE=\sqrt {10}$​在​$Rt\triangle OMG $​中，​$MG=\sqrt {OG^2-OM^2}=\sqrt {(\sqrt {10})^2-3^2} = 1$​∴​$FG = 2MG = 2$​​$(2)$​当​$\odot O$​与​$AD$​相切于点​$M$​时，连接​$OM$​并反向延长交​$BC$​于点​$N$​由​$(1)$​易得​$ON=\frac 12CE=\frac 12\ \mathrm {m}，$​​$OB = OM = 4-\frac 12\ \mathrm {m}，$​​$BN = 3$​在​$Rt\triangle BON$​中，​$ON^2+BN^2=OB^2，$​即​$(\frac 12\ \mathrm {m})^2+3^2=(4-\frac 12\ \mathrm {m})^2$​解得​$m=\frac 74$​∴当​$0＜m＜\frac 74$​时，​$\odot O$​与​$AD$​相离；当​$m=\frac 74$​时，​$\odot O$​与​$AD$​相切；当​$\frac 74＜m＜4$​时，​$\odot O$​与​$AD$​相交