登录
3. 如图，已知四边形$ADBC$是$\odot O$的内接四边形，$AB$是直径，$AB = 10 cm$，$BC = 8 cm$，$CD$平分$\angle ACB$。
（1）求$AC$与$BD$的长；
（2）求四边形$ADBC$的面积。
（1）求$AC$与$BD$的长；
（2）求四边形$ADBC$的面积。
答案
（1）AC=6 cm，BD=$5\sqrt{2}$ cm；（2）49 cm²
解析
（1）
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AD²+BD²=AB²，
∴2BD²=10²，
∴BD=5$\sqrt{2}$cm；
（2）在Rt△ADB中，BD=5$\sqrt{2}$cm，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$cm，
∴S△ADB=$\frac{1}{2}$AD·BD=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=25cm²，
S△ACB=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24cm²，
∴S四边形ADBC=S△ADB+S△ACB=25+24=49cm²．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠BCD=45°，∠ABD=∠ACD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵AD²+BD²=AB²，
∴2BD²=10²，
∴BD=5$\sqrt{2}$cm；
（2）在Rt△ADB中，BD=5$\sqrt{2}$cm，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$cm，
∴S△ADB=$\frac{1}{2}$AD·BD=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=25cm²，
S△ACB=$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$×6×8=24cm²，
∴S四边形ADBC=S△ADB+S△ACB=25+24=49cm²．
4. 如图，$AB$是$\odot O$的一条弦，$OD \perp AB$，垂足为$C$，交$\odot O$于点$D$，点$E$在$\odot O$上。
（1）若$\angle AOD = 52^{\circ}$，求$\angle DEB$的度数；
（2）若$OC = 3$，$OA = 5$，求$AB$的长。
（1）若$\angle AOD = 52^{\circ}$，求$\angle DEB$的度数；
（2）若$OC = 3$，$OA = 5$，求$AB$的长。
答案
（1）26°；（2）8
解析
（1）解：
∵$OD \perp AB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∵$\angle AOD = 52^{\circ}$，
∴$\angle DEB=\frac{1}{2}\angle AOD = 26^{\circ}$。
（2）解：
∵$OD \perp AB$，
∴$AC=BC$，$\angle ACO=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle AOC$中，$OC = 3$，$OA = 5$，
$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴$AB=2AC=8$。
∵$OD \perp AB$，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∵$\angle AOD = 52^{\circ}$，
∴$\angle DEB=\frac{1}{2}\angle AOD = 26^{\circ}$。
（2）解：
∵$OD \perp AB$，
∴$AC=BC$，$\angle ACO=90^{\circ}$，
在$Rt\triangle AOC$中，$OC = 3$，$OA = 5$，
$AC=\sqrt{OA^{2}-OC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$，
∴$AB=2AC=8$。
5. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$D$，$E$为$\odot O$上位于$AB$异侧的两点，连接$BD$并延长至点$C$，使得$CD = BD$，连接$AC$交$\odot O$于点$F$，连接$AE$，$DE$，
答案
（1）证明：如图，连接AD.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC.
∵ CD=BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC，
∴ ∠B=∠C. 又
∵ ∠B=∠E，
∴ ∠E=∠C.（2）解：
∵ 四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴ ∠AFD=180°-∠E. 又
∵ ∠AFD=180°-∠CFD，
∴ ∠CFD=∠E=55°. 又
∵ ∠C=∠E=55°，
∴ ∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC.
∵ CD=BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC，
∴ ∠B=∠C. 又
∵ ∠B=∠E，
∴ ∠E=∠C.（2）解：
∵ 四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴ ∠AFD=180°-∠E. 又
∵ ∠AFD=180°-∠CFD，
∴ ∠CFD=∠E=55°. 又
∵ ∠C=∠E=55°，
∴ ∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
如图，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，$P$是$\overset{\frown}{BC}$上一点。探索$PA$与$PB + PC$之间的数量关系，并说明理由。
答案
提示：PA=PB+PC. 理由：在PA上取一点D，使PD=PC，连接CD，则△PCD是等边三角形. 再证△PBC≌△DAC即可.
解析
证明：$PA=PB+PC$。
在$PA$上取一点$D$，使$PD=PC$，连接$CD$。
$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ABC=\angle ACB=60°$。
$\because$点$P$在$\odot O$上，
$\therefore\angle APC=\angle ABC=60°$。
$\because PD=PC$，
$\therefore\triangle PCD$是等边三角形，
$\therefore CD=PC$，$\angle PCD=60°$。
$\because\angle ACB=60°$，
$\therefore\angle ACB=\angle PCD$，
$\therefore\angle ACB-\angle ACD=\angle PCD-\angle ACD$，
即$\angle BCP=\angle ACD$。
$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AC$。
在$\triangle PBC$和$\triangle DAC$中，
$\begin{cases} BC=AC \\\angle BCP=\angle ACD \\PC=DC \end{cases}$
$\therefore\triangle PBC\cong\triangle DAC(SAS)$，
$\therefore PB=DA$。
$\because PA=PD+DA$，$PD=PC$，$DA=PB$，
$\therefore PA=PB+PC$。
在$PA$上取一点$D$，使$PD=PC$，连接$CD$。
$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ABC=\angle ACB=60°$。
$\because$点$P$在$\odot O$上，
$\therefore\angle APC=\angle ABC=60°$。
$\because PD=PC$，
$\therefore\triangle PCD$是等边三角形，
$\therefore CD=PC$，$\angle PCD=60°$。
$\because\angle ACB=60°$，
$\therefore\angle ACB=\angle PCD$，
$\therefore\angle ACB-\angle ACD=\angle PCD-\angle ACD$，
即$\angle BCP=\angle ACD$。
$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AC$。
在$\triangle PBC$和$\triangle DAC$中，
$\begin{cases} BC=AC \\\angle BCP=\angle ACD \\PC=DC \end{cases}$
$\therefore\triangle PBC\cong\triangle DAC(SAS)$，
$\therefore PB=DA$。
$\because PA=PD+DA$，$PD=PC$，$DA=PB$，
$\therefore PA=PB+PC$。
