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5. 已知:如图,点A,B,C,D在一条直线上,AC=BD,AE//DF,∠ABE=∠DCF。
求证:△ABE≌△DCF。
求证:△ABE≌△DCF。
答案
5. 由 $AC=BD$,可得 $AB=DC$。因为 $AE// DF$,所以$∠A=∠D$。又因为$∠ABE=∠DCF$,所以$△ABE≌△DCF(ASA)$。
解析
【分析】
要证明△ABE≌△DCF，首先梳理已知条件，结合全等三角形的判定定理寻找对应相等的边和角：首先已知AC=BD，两条线段都包含公共部分BC，根据等式的性质，同时减去BC即可得到对应边AB=DC；再由AE//DF，根据平行线的性质可得对应角∠A=∠D；结合题目给出的∠ABE=∠DCF，此时满足两角及其夹边对应相等，可通过ASA判定两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ 点A,B,C,D在同一直线上，AC=BD（已知）
∴ AC - BC = BD - BC，即AB=DC
∵ AE//DF（已知）
∴ ∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
在△ABE和△DCF中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AB=DC \\∠ABE=∠DCF\end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF（ASA）
【答案】
由 $AC=BD$,可得 $AB=DC$。因为 $AE// DF$,所以$∠A=∠D$。又因为$∠ABE=∠DCF$,所以$△ABE≌△DCF(ASA)$。
【知识点】
1.平行线的性质
2.线段的和差计算
3.全等三角形ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，核心考查全等三角形的ASA判定定理的应用，解题时需注意从已知条件出发，推导得到判定全等所需的边、角相等关系，掌握基础性质和判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE≌△DCF，首先梳理已知条件，结合全等三角形的判定定理寻找对应相等的边和角：首先已知AC=BD，两条线段都包含公共部分BC，根据等式的性质，同时减去BC即可得到对应边AB=DC；再由AE//DF，根据平行线的性质可得对应角∠A=∠D；结合题目给出的∠ABE=∠DCF，此时满足两角及其夹边对应相等，可通过ASA判定两个三角形全等。
【解析】
证明：
∵ 点A,B,C,D在同一直线上，AC=BD（已知）
∴ AC - BC = BD - BC，即AB=DC
∵ AE//DF（已知）
∴ ∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）
在△ABE和△DCF中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\AB=DC \\∠ABE=∠DCF\end{cases}$
∴ △ABE≌△DCF（ASA）
【答案】
由 $AC=BD$,可得 $AB=DC$。因为 $AE// DF$,所以$∠A=∠D$。又因为$∠ABE=∠DCF$,所以$△ABE≌△DCF(ASA)$。
【知识点】
1.平行线的性质
2.线段的和差计算
3.全等三角形ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题，核心考查全等三角形的ASA判定定理的应用，解题时需注意从已知条件出发，推导得到判定全等所需的边、角相等关系，掌握基础性质和判定定理即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，AC与BD交于点O。已知OA=OD，若再添加一个条件，就能证明△AOB≌△DOC，则这个条件可以是
∠A=∠D 或∠B=∠C 或OB=OC 或AC=BD
（写出所有可能的条件）。答案
6. $∠A=∠D$ 或$∠B=∠C$ 或$OB=OC$ 或$AC=BD$。
解析
【分析】
首先明确已知条件和图形隐含条件：已知OA=OD，AC和BD交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，此时已有一组边相等、一组角相等，结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS），即可分别推导需要补充的条件：
1. 若用ASA判定，需要已知边的另一组邻角相等，即∠A=∠D；
2. 若用AAS判定，需要已知边的对角相等，即∠B=∠C；
3. 若用SAS判定，需要已知角的另一组邻边相等，即OB=OC；若给出AC=BD，根据AC-OA=BD-OD，也可推导得到OB=OC，同样满足SAS的判定要求。
【解析】
解：由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，已知OA=OD，分情况讨论：
1. 添加$\boldsymbol{∠A=∠D}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\OA=OD \\∠AOB=∠DOC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（ASA）；
2. 添加$\boldsymbol{∠B=∠C}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠AOB=∠DOC \\OA=OD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（AAS）；
3. 添加$\boldsymbol{OB=OC}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠AOB=∠DOC \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（SAS）；
4. 添加$\boldsymbol{AC=BD}$：
∵$AC=BD$，$OA=OD$，
∴$AC-OA=BD-OD$，即$OC=OB$，后续证明同添加$OB=OC$的情况，可证$△ AOB≌△ DOC$（SAS）。
【答案】
$∠A=∠D$ 或$∠B=∠C$ 或$OB=OC$ 或$AC=BD$
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题是开放型题型，考查三角形全等判定方法的灵活运用，解题时要结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的性质，根据不同的全等判定定理分类推导符合要求的条件，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件和图形隐含条件：已知OA=OD，AC和BD交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，此时已有一组边相等、一组角相等，结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS），即可分别推导需要补充的条件：
1. 若用ASA判定，需要已知边的另一组邻角相等，即∠A=∠D；
2. 若用AAS判定，需要已知边的对角相等，即∠B=∠C；
3. 若用SAS判定，需要已知角的另一组邻边相等，即OB=OC；若给出AC=BD，根据AC-OA=BD-OD，也可推导得到OB=OC，同样满足SAS的判定要求。
【解析】
解：由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，已知OA=OD，分情况讨论：
1. 添加$\boldsymbol{∠A=∠D}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠A=∠D \\OA=OD \\∠AOB=∠DOC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（ASA）；
2. 添加$\boldsymbol{∠B=∠C}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}∠B=∠C \\∠AOB=∠DOC \\OA=OD\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（AAS）；
3. 添加$\boldsymbol{OB=OC}$：
在$△ AOB$和$△ DOC$中：
$\begin{cases}OA=OD \\∠AOB=∠DOC \\OB=OC\end{cases}$
∴$△ AOB≌△ DOC$（SAS）；
4. 添加$\boldsymbol{AC=BD}$：
∵$AC=BD$，$OA=OD$，
∴$AC-OA=BD-OD$，即$OC=OB$，后续证明同添加$OB=OC$的情况，可证$△ AOB≌△ DOC$（SAS）。
【答案】
$∠A=∠D$ 或$∠B=∠C$ 或$OB=OC$ 或$AC=BD$
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 对顶角的性质
【点评】
本题是开放型题型，考查三角形全等判定方法的灵活运用，解题时要结合已知条件和图形隐含的对顶角相等的性质，根据不同的全等判定定理分类推导符合要求的条件，注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
7. 已知:如图,AD平分∠BAC,∠D=∠DAB,点E在AD上,BE的延长线交CD于点F,连结CE,且∠1=∠2。求证:AB=AC。
答案
7. 因为$∠D=∠DAB$,所以 $DC// AB$,所以$∠1=∠B$。因为$∠1=∠2$,所以$∠2=∠B$。因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠CAE=∠BAE$。又 $AE=AE$,可证$△CAE≌△BAE(AAS)$,所以 $AB=AC$。
解析
【分析】
要证明AB=AC，可通过证明AB、AC所在的△BAE和△CAE全等来推导。首先从已知∠D=∠DAB入手，这两个角是内错角，可推出DC//AB，进而得到∠1=∠B；再结合已知∠1=∠2，等量代换可得∠2=∠B，即得到全等需要的一组等角。再利用AD平分∠BAC的条件得到∠CAE=∠BAE，加上公共边AE，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ ∠D=∠DAB，
∴ DC//AB（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2=∠B（等量代换）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAE=∠BAE（角平分线的定义）。
在△CAE和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}∠2=∠B \\∠CAE=∠BAE \\AE=AE(公共边)\end{array} $
∴ △CAE≌△BAE（AAS），
∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
因为$∠D=∠DAB$,所以 $DC// AB$,所以$∠1=∠B$。因为$∠1=∠2$,所以$∠2=∠B$。因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠CAE=∠BAE$。又 $AE=AE$,可证$△CAE≌△BAE(AAS)$,所以 $AB=AC$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的关系推导平行线，再结合角平分线性质得到全等三角形的判定条件，熟练掌握AAS全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要证明AB=AC，可通过证明AB、AC所在的△BAE和△CAE全等来推导。首先从已知∠D=∠DAB入手，这两个角是内错角，可推出DC//AB，进而得到∠1=∠B；再结合已知∠1=∠2，等量代换可得∠2=∠B，即得到全等需要的一组等角。再利用AD平分∠BAC的条件得到∠CAE=∠BAE，加上公共边AE，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ ∠D=∠DAB，
∴ DC//AB（内错角相等，两直线平行），
∴ ∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2=∠B（等量代换）。
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠CAE=∠BAE（角平分线的定义）。
在△CAE和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}∠2=∠B \\∠CAE=∠BAE \\AE=AE(公共边)\end{array} $
∴ △CAE≌△BAE（AAS），
∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
因为$∠D=∠DAB$,所以 $DC// AB$,所以$∠1=∠B$。因为$∠1=∠2$,所以$∠2=∠B$。因为 AD 平分$∠BAC$,所以$∠CAE=∠BAE$。又 $AE=AE$,可证$△CAE≌△BAE(AAS)$,所以 $AB=AC$。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过角的关系推导平行线，再结合角平分线性质得到全等三角形的判定条件，熟练掌握AAS全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 已知:如图,$AB=AC$,$∠ B=∠ C$,$BE$与$CD$相交于点$O$。求证:
（1）$△ ABE ≌ △ ACD$；
（2）$OB=OC$。
（1）$△ ABE ≌ △ ACD$；
（2）$OB=OC$。
答案
8. (1) 在$△ABE$ 和$△ACD$ 中,由$∠BAE=∠CAD,AB=AC,∠B=∠C$,可证$△ABE≌△ACD(ASA)$。
(2) 因为$△ABE≌△ACD$,所以 $AE=AD$。因为 $AC=AB$,所以 $CE=BD$。在$△OBD$ 和$△OCE$ 中,由$∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE$,可证$△OBD≌△OCE(AAS)$。所以 $OB=OC$。
(2) 因为$△ABE≌△ACD$,所以 $AE=AD$。因为 $AC=AB$,所以 $CE=BD$。在$△OBD$ 和$△OCE$ 中,由$∠BOD=∠COE,∠B=∠C,BD=CE$,可证$△OBD≌△OCE(AAS)$。所以 $OB=OC$。
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABE≌△ ACD$，先梳理两个三角形的相等元素：已知$AB=AC$、$∠ B=∠ C$，同时$∠ BAE$和$∠ CAD$是两个三角形的公共角，天然相等，刚好满足ASA全等判定的三个条件，可直接证明全等。
（2）要证明$OB=OC$，可通过证明两条线段所在的$△ OBD$和$△ OCE$全等实现。首先利用第一问的全等结论可得$AE=AD$，结合已知$AB=AC$，通过线段差可推出$BD=CE$，再结合已知的$∠ B=∠ C$，以及图形中对顶角$∠ BOD=∠ COE$，满足AAS全等判定的条件，证得$△ OBD≌△ OCE$后，即可由全等三角形对应边相等得到$OB=OC$。
【解析】
（1）证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ CAD \quad (\mathrm{公共角相等}) \\AB = AC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ B = ∠ C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$
（2）证明：$\because △ ABE ≌ △ ACD$，
$\therefore AE = AD$（全等三角形对应边相等），
$\because AB = AC$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD = CE$。
在$△ OBD$和$△ OCE$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \quad (\mathrm{已知}) \\∠ BOD = ∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ OCE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore OB = OC$（全等三角形对应边相等）
【答案】
（1）在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中，由$∠ BAE=∠ CAD,AB=AC,∠ B=∠ C$，可证$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{ASA})$。
（2）因为$△ ABE≌△ ACD$，所以 $AE=AD$。因为 $AC=AB$，所以 $CE=BD$。在$△ OBD$ 和$△ OCE$ 中，由$∠ BOD=∠ COE,∠ B=∠ C,BD=CE$，可证$△ OBD≌△ OCE(\mathrm{AAS})$，所以 $OB=OC$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础巩固题，解题关键是充分挖掘图形中的公共角、对顶角这类隐含条件，同时注意前一问的结论可作为后一问的已知条件使用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$△ ABE≌△ ACD$，先梳理两个三角形的相等元素：已知$AB=AC$、$∠ B=∠ C$，同时$∠ BAE$和$∠ CAD$是两个三角形的公共角，天然相等，刚好满足ASA全等判定的三个条件，可直接证明全等。
（2）要证明$OB=OC$，可通过证明两条线段所在的$△ OBD$和$△ OCE$全等实现。首先利用第一问的全等结论可得$AE=AD$，结合已知$AB=AC$，通过线段差可推出$BD=CE$，再结合已知的$∠ B=∠ C$，以及图形中对顶角$∠ BOD=∠ COE$，满足AAS全等判定的条件，证得$△ OBD≌△ OCE$后，即可由全等三角形对应边相等得到$OB=OC$。
【解析】
（1）证明：在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ BAE = ∠ CAD \quad (\mathrm{公共角相等}) \\AB = AC \quad (\mathrm{已知}) \\∠ B = ∠ C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD \ (\mathrm{ASA})$
（2）证明：$\because △ ABE ≌ △ ACD$，
$\therefore AE = AD$（全等三角形对应边相等），
$\because AB = AC$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD = CE$。
在$△ OBD$和$△ OCE$中，
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \quad (\mathrm{已知}) \\∠ BOD = ∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CE \quad (\mathrm{已证})\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ OCE \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore OB = OC$（全等三角形对应边相等）
【答案】
（1）在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中，由$∠ BAE=∠ CAD,AB=AC,∠ B=∠ C$，可证$△ ABE≌△ ACD(\mathrm{ASA})$。
（2）因为$△ ABE≌△ ACD$，所以 $AE=AD$。因为 $AC=AB$，所以 $CE=BD$。在$△ OBD$ 和$△ OCE$ 中，由$∠ BOD=∠ COE,∠ B=∠ C,BD=CE$，可证$△ OBD≌△ OCE(\mathrm{AAS})$，所以 $OB=OC$。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于三角形全等的基础巩固题，解题关键是充分挖掘图形中的公共角、对顶角这类隐含条件，同时注意前一问的结论可作为后一问的已知条件使用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
