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1. 易错 计算：$-3^2 - (-2)^3 ÷ \frac{2}{3} × \frac{3}{2}$
答案
1. 解:原式$=-9-(-8)×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}=-9+18=9.$
这里易忽略运算顺序,先算$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$致错.
这里易忽略运算顺序,先算$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$致错.
解析
【分析】
这是有理数混合运算题，解题需严格遵循运算规则：首先明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算要从左到右依次计算。第一步先计算乘方部分，注意区分$-3^2$是3的平方的相反数，结果为-9，不要和$(-3)^2$混淆；再算出$(-2)^3$的结果为-8。第二步处理乘除部分，先把除法转化为乘法，再从左到右依次计算，注意不能为了简便先算$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$，违反运算顺序会出错。最后计算加减部分即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：
$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$
原式$=-9 - (-8) ÷ \frac{2}{3} × \frac{3}{2}$
2. 把除法转化为乘法，按从左到右顺序计算乘除：
$=-9 - (-8) × \frac{3}{2} × \frac{3}{2}$
$=-9 - (-18)$
3. 计算加减：
$=-9 + 18 = 9$
【答案】
$9$
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数运算的典型易错题，重点考查运算规则的掌握和符号判断能力，常见错误有两类，一是误将$-3^2$计算为9，二是乘除同级运算时违规先算后两个分数的乘积，计算时要严格遵循运算顺序，仔细核对符号。
【难度系数】
0.6
这是有理数混合运算题，解题需严格遵循运算规则：首先明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算要从左到右依次计算。第一步先计算乘方部分，注意区分$-3^2$是3的平方的相反数，结果为-9，不要和$(-3)^2$混淆；再算出$(-2)^3$的结果为-8。第二步处理乘除部分，先把除法转化为乘法，再从左到右依次计算，注意不能为了简便先算$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$，违反运算顺序会出错。最后计算加减部分即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序分步计算：
1. 计算乘方：
$-3^2=-9$，$(-2)^3=-8$
原式$=-9 - (-8) ÷ \frac{2}{3} × \frac{3}{2}$
2. 把除法转化为乘法，按从左到右顺序计算乘除：
$=-9 - (-8) × \frac{3}{2} × \frac{3}{2}$
$=-9 - (-18)$
3. 计算加减：
$=-9 + 18 = 9$
【答案】
$9$
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数运算的典型易错题，重点考查运算规则的掌握和符号判断能力，常见错误有两类，一是误将$-3^2$计算为9，二是乘除同级运算时违规先算后两个分数的乘积，计算时要严格遵循运算顺序，仔细核对符号。
【难度系数】
0.6
2. 计算：$(-3)^2 ÷ 2\frac{1}{4} × (-\frac{2}{3}) + 4 + 2^2 × (-\frac{8}{3}).$
答案
解:原式$=9÷\frac{9}{4}×(-\frac{2}{3})+4+4×(-\frac{8}{3})=9×\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3})+4-\frac{32}{3}=-\frac{8}{3}+4-\frac{32}{3}=-\frac{28}{3}.$
解析
【分析】
解答本题首先要明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算，遇到带分数要先化为假分数方便运算。第一步先计算式中的乘方项，同时把带分数转化为假分数；第二步将除法转化为乘法，按顺序计算所有乘除运算；最后计算加减部分，异分母分数先通分再合并，全程注意符号的处理，避免出错。
【解析】
解：先计算乘方、化带分数为假分数：
原式$=9÷\frac{9}{4}×(-\frac{2}{3}) + 4 + 4×(-\frac{8}{3})$
将除法转化为乘法，依次计算乘除项：
$=9×\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3}) + 4 - \frac{32}{3}$
$=4×(-\frac{2}{3}) + 4 - \frac{32}{3}$
$=-\frac{8}{3} + 4 - \frac{32}{3}$
最后计算加减，合并同分母分数：
$=(-\frac{8}{3}-\frac{32}{3}) + 4$
$=-\frac{40}{3}+\frac{12}{3}$
$=-\frac{28}{3}$
【答案】
$-\frac{28}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，分数运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础考察题型，重点检验运算规则的掌握程度，计算时要注意运算优先级，同时留意负号对结果符号的影响，带分数化假分数、除法转乘法的细节要落实，减少不必要的计算失误。
【难度系数】
0.7
解答本题首先要明确有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序计算，遇到带分数要先化为假分数方便运算。第一步先计算式中的乘方项，同时把带分数转化为假分数；第二步将除法转化为乘法，按顺序计算所有乘除运算；最后计算加减部分，异分母分数先通分再合并，全程注意符号的处理，避免出错。
【解析】
解：先计算乘方、化带分数为假分数：
原式$=9÷\frac{9}{4}×(-\frac{2}{3}) + 4 + 4×(-\frac{8}{3})$
将除法转化为乘法，依次计算乘除项：
$=9×\frac{4}{9}×(-\frac{2}{3}) + 4 - \frac{32}{3}$
$=4×(-\frac{2}{3}) + 4 - \frac{32}{3}$
$=-\frac{8}{3} + 4 - \frac{32}{3}$
最后计算加减，合并同分母分数：
$=(-\frac{8}{3}-\frac{32}{3}) + 4$
$=-\frac{40}{3}+\frac{12}{3}$
$=-\frac{28}{3}$
【答案】
$-\frac{28}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，分数运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础考察题型，重点检验运算规则的掌握程度，计算时要注意运算优先级，同时留意负号对结果符号的影响，带分数化假分数、除法转乘法的细节要落实，减少不必要的计算失误。
【难度系数】
0.7
3. 计算：$-1^2 - \frac{1}{5} × [3^2 - (-2)^2] ÷ (-\frac{1}{3}).$
答案
3. 解:原式$=-1-\frac{1}{5}×(9-4)÷(-\frac{1}{3})=-1-\frac{1}{5}×5×(-3)=-1+3=2.$
解析
【分析】
解答本题需遵循有理数混合运算的顺序思考：第一步先算乘方，注意区分带负号的乘方是否有括号，$-1^2$是$1^2$的相反数，结果为$-1$，再计算$3^2$、$(-2)^2$的结果；第二步算括号内的减法，得到括号内的结果；第三步按照从左到右的顺序计算乘除，注意除以一个不为0的数等于乘它的倒数，要正确处理符号；最后计算加减得到最终结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
原式先计算乘方项：
$=-1-\frac{1}{5}×(9-4)÷(-\frac{1}{3})$
再计算括号内的减法：
$=-1-\frac{1}{5}×5÷(-\frac{1}{3})$
接着从左到右计算乘除，将除法转化为乘法：
$=-1-\frac{1}{5}×5×(-3)$
$=-1-(-3)$
最后计算加减：
$=-1+3=2$
【答案】
$2$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，易错点是混淆$-1^2$与$(-1)^2$的结果，以及乘除运算中负号的判断，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解答本题需遵循有理数混合运算的顺序思考：第一步先算乘方，注意区分带负号的乘方是否有括号，$-1^2$是$1^2$的相反数，结果为$-1$，再计算$3^2$、$(-2)^2$的结果；第二步算括号内的减法，得到括号内的结果；第三步按照从左到右的顺序计算乘除，注意除以一个不为0的数等于乘它的倒数，要正确处理符号；最后计算加减得到最终结果。
【解析】
按照有理数混合运算顺序计算：
原式先计算乘方项：
$=-1-\frac{1}{5}×(9-4)÷(-\frac{1}{3})$
再计算括号内的减法：
$=-1-\frac{1}{5}×5÷(-\frac{1}{3})$
接着从左到右计算乘除，将除法转化为乘法：
$=-1-\frac{1}{5}×5×(-3)$
$=-1-(-3)$
最后计算加减：
$=-1+3=2$
【答案】
$2$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的正确处理，易错点是混淆$-1^2$与$(-1)^2$的结果，以及乘除运算中负号的判断，熟练掌握运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
4. 计算：$(-3 \frac{1}{8}) + (-2.16) + 8 \frac{1}{4} + (-5 \frac{2}{7}) + 3.125 + (-3.84) + (-6 \frac{5}{7}) + (-0.25)$
答案
4. 解:原式$=[(-3\frac{1}{8})+3.125]+[(-2.16)+(-3.84)]+[8\frac{1}{4}+(-0.25)]+[(-5\frac{2}{7})+(-6\frac{5}{7})] = 0 +(-6)+8+(-12)=0-6+8-12=-10.$
解析
【分析】
本题属于有理数加减混合运算题，解题时优先观察数字特征，利用加法交换律和结合律简化计算：首先找出可分组凑整的数：①$-3\frac{1}{8}$和$3.125$互为相反数，和为0；②$-2.16$与$-3.84$相加可凑成整数$-6$；③$8\frac{1}{4}$和$-0.25$相加得整数8；④$-5\frac{2}{7}$和$-6\frac{5}{7}$是同分母分数，相加得整数$-12$，最后将各组计算结果相加即可。
【解析】
解：原式$=[(-3\frac{1}{8})+3.125]+[(-2.16)+(-3.84)]+[8\frac{1}{4}+(-0.25)]+[(-5\frac{2}{7})+(-6\frac{5}{7})]$
$= 0 +(-6)+8+(-12)$
$=0-6+8-12$
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加减混合运算
【点评】
本题核心考查有理数加减的简便计算能力，解题关键是准确识别数字特征，合理运用运算律分组计算，能够大幅降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
本题属于有理数加减混合运算题，解题时优先观察数字特征，利用加法交换律和结合律简化计算：首先找出可分组凑整的数：①$-3\frac{1}{8}$和$3.125$互为相反数，和为0；②$-2.16$与$-3.84$相加可凑成整数$-6$；③$8\frac{1}{4}$和$-0.25$相加得整数8；④$-5\frac{2}{7}$和$-6\frac{5}{7}$是同分母分数，相加得整数$-12$，最后将各组计算结果相加即可。
【解析】
解：原式$=[(-3\frac{1}{8})+3.125]+[(-2.16)+(-3.84)]+[8\frac{1}{4}+(-0.25)]+[(-5\frac{2}{7})+(-6\frac{5}{7})]$
$= 0 +(-6)+8+(-12)$
$=0-6+8-12$
$=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
加法交换律、加法结合律、有理数加减混合运算
【点评】
本题核心考查有理数加减的简便计算能力，解题关键是准确识别数字特征，合理运用运算律分组计算，能够大幅降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
5. 计算：$(+2024 \frac{4}{5}) + (-1890 \frac{5}{9}) + (+1008 \frac{3}{5}) + (-1142 \frac{4}{9}).$
答案
解:原式$=(2024+\frac{4}{5})+[(-1890)+(-\frac{5}{9})]+(1008+\frac{3}{5})+[(-1142)+(-\frac{4}{9})]=2024+\frac{4}{5}+(-1890)+(-\frac{5}{9})+1008+\frac{3}{5}+(-1142)+(-\frac{4}{9})=[2024+(-1890)+1008+(-1142)]+[\frac{4}{5}+(-\frac{5}{9})+\frac{3}{5}+(-\frac{4}{9})]=0+\frac{2}{5}=\frac{2}{5}.$
解析
【分析】
这是一道带分数的有理数加减混合运算题，解题时可先将每个带分数拆分为整数部分和分数部分的和，再利用加法交换律和结合律，把所有整数部分归为一组，所有分数部分归为另一组分别计算，最后将两组结果相加，该分组方式能简化计算，避免复杂的通分过程。
【解析】
原式$=(2024+\frac{4}{5})+[(-1890)+(-\frac{5}{9})]+(1008+\frac{3}{5})+[(-1142)+(-\frac{4}{9})]$
$=2024+\frac{4}{5}+(-1890)+(-\frac{5}{9})+1008+\frac{3}{5}+(-1142)+(-\frac{4}{9})$
$=[2024+(-1890)+1008+(-1142)]+[\frac{4}{5}+(-\frac{5}{9})+\frac{3}{5}+(-\frac{4}{9})]$
$=0+\frac{2}{5}$
$=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
有理数加减运算；加法运算律应用；带分数拆分
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心技巧是通过拆分带分数、合理分组归类计算，大幅降低运算难度，避免通分的繁琐步骤，这类简便运算方法在有理数混合运算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
这是一道带分数的有理数加减混合运算题，解题时可先将每个带分数拆分为整数部分和分数部分的和，再利用加法交换律和结合律，把所有整数部分归为一组，所有分数部分归为另一组分别计算，最后将两组结果相加，该分组方式能简化计算，避免复杂的通分过程。
【解析】
原式$=(2024+\frac{4}{5})+[(-1890)+(-\frac{5}{9})]+(1008+\frac{3}{5})+[(-1142)+(-\frac{4}{9})]$
$=2024+\frac{4}{5}+(-1890)+(-\frac{5}{9})+1008+\frac{3}{5}+(-1142)+(-\frac{4}{9})$
$=[2024+(-1890)+1008+(-1142)]+[\frac{4}{5}+(-\frac{5}{9})+\frac{3}{5}+(-\frac{4}{9})]$
$=0+\frac{2}{5}$
$=\frac{2}{5}$
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
有理数加减运算；加法运算律应用；带分数拆分
【点评】
本题是有理数简便运算的典型题型，核心技巧是通过拆分带分数、合理分组归类计算，大幅降低运算难度，避免通分的繁琐步骤，这类简便运算方法在有理数混合运算中非常常用，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6.计算：$(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{3}+\dfrac{3}{4})×(-60)+(-5)×(+7\dfrac{1}{3})+12×(-7\dfrac{1}{3})+(-7\dfrac{1}{3})×(+7).$
答案
6. 解:原式$=-\frac{1}{2}×(-60)-\frac{7}{3}×(-60)+\frac{3}{4}×(-60)+(-7\frac{1}{3})×(5+12+7)=30+140-45+(-\frac{22}{3}×24)=170-45+(-176)=125-176=-51.$
解析
【分析】
观察式子结构可发现两部分可分别用简便方法计算：①前半部分是多个分数的和与整数$-60$相乘，直接运用乘法分配律展开计算，可避免通分的繁琐；②后半部分的三个乘法项都含有相同的因数$7\frac{1}{3}$，可以逆用乘法分配律提取公因数，先算剩余系数的和再做乘法，大幅简化运算。计算过程中注意符号的处理即可。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{1}{2}×(-60)-\dfrac{7}{3}×(-60)+\dfrac{3}{4}×(-60)+(-7\dfrac{1}{3})×(5+12+7)$
$=30+140-45+(-\dfrac{22}{3}×24)$
$=170-45+(-176)$
$=125-176$
$=-51$
【答案】
$-51$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算；简便运算技巧
【点评】
本题是有理数混合运算的典型题型，核心考察乘法分配律的正用与逆用，掌握这类简便运算方法能有效减少运算量，降低计算错误率，解题时需特别注意提取公因数时的符号处理，避免符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
观察式子结构可发现两部分可分别用简便方法计算：①前半部分是多个分数的和与整数$-60$相乘，直接运用乘法分配律展开计算，可避免通分的繁琐；②后半部分的三个乘法项都含有相同的因数$7\frac{1}{3}$，可以逆用乘法分配律提取公因数，先算剩余系数的和再做乘法，大幅简化运算。计算过程中注意符号的处理即可。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{1}{2}×(-60)-\dfrac{7}{3}×(-60)+\dfrac{3}{4}×(-60)+(-7\dfrac{1}{3})×(5+12+7)$
$=30+140-45+(-\dfrac{22}{3}×24)$
$=170-45+(-176)$
$=125-176$
$=-51$
【答案】
$-51$
【知识点】
乘法分配律；有理数混合运算；简便运算技巧
【点评】
本题是有理数混合运算的典型题型，核心考察乘法分配律的正用与逆用，掌握这类简便运算方法能有效减少运算量，降低计算错误率，解题时需特别注意提取公因数时的符号处理，避免符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.6
7.计算:$(-1)+(+2)+(-3)+(+4)+··· +(-99)+(+100).$
答案
7. 解:原式$=[(-1)+(+2)]+[(-3)+(+4)]+\dots+[(-99)+(+100)]=100÷2×1=50.$
解析
【分析】
首先观察算式的数字特征：算式中各数的绝对值是1到100的连续正整数，符号按负、正交替排列，每两个相邻数为一组时，每组的和均为1。总共有100个数，刚好可以平均分成50组，因此可以利用加法结合律分组计算，避免逐一累加的繁琐，快速得出结果。
【解析】
解：利用加法结合律将相邻两个数分为一组：
原式$=[(-1)+(+2)]+[(-3)+(+4)]+\dots+[(-99)+(+100)]$
每组的和为1，共有$100÷2=50$组
因此原式$=50×1=50$
【答案】
$50$
【知识点】
有理数加法运算，加法结合律，简便运算
【点评】
本题是有理数运算的经典题型，重点考察对数字排列规律的观察能力和运算律的灵活运用能力，掌握分组法能大幅降低这类规律型运算的计算量，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
首先观察算式的数字特征：算式中各数的绝对值是1到100的连续正整数，符号按负、正交替排列，每两个相邻数为一组时，每组的和均为1。总共有100个数，刚好可以平均分成50组，因此可以利用加法结合律分组计算，避免逐一累加的繁琐，快速得出结果。
【解析】
解：利用加法结合律将相邻两个数分为一组：
原式$=[(-1)+(+2)]+[(-3)+(+4)]+\dots+[(-99)+(+100)]$
每组的和为1，共有$100÷2=50$组
因此原式$=50×1=50$
【答案】
$50$
【知识点】
有理数加法运算，加法结合律，简便运算
【点评】
本题是有理数运算的经典题型，重点考察对数字排列规律的观察能力和运算律的灵活运用能力，掌握分组法能大幅降低这类规律型运算的计算量，提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
8.计算：$(-\dfrac{1}{64})÷(\dfrac{1}{8}-\dfrac{3}{16}+\dfrac{5}{32}-\dfrac{1}{2})$
答案
8. 解: $(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})=(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})×(-64)=\frac{1}{8}×(-64)-\frac{3}{16}×(-64)+\frac{5}{32}×(-64)-\frac{1}{2}×(-64)=-8+12-10+32=26.$
因为$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})$与$(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})$互为倒数，
所以$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})=\frac{1}{26}.$
因为$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})$与$(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})$互为倒数，
所以$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})=\frac{1}{26}.$
解析
【分析】
本题是有理数的除法运算，若直接先计算括号内的分数加减，需要通分，计算量较大且容易出错。我们可以利用倒数的性质：不为0的两个数a、b，$a÷ b$与$b÷ a$互为倒数，先计算括号内的式子除以$(-\frac{1}{64})$的结果，此时将除法转化为乘法后，可利用乘法分配律简化计算，最后对所得结果取倒数就能得到原式的答案。
【解析】
先计算括号内式子除以被除数的结果：
$\begin{aligned}(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})&=(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})×(-64)\\&=\frac{1}{8}×(-64)-\frac{3}{16}×(-64)+\frac{5}{32}×(-64)-\frac{1}{2}×(-64)\\&=-8+12-10+32\\&=26\end{aligned}$
因为$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})$与$(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})$互为倒数，所以原式结果为$\frac{1}{26}$。
【答案】
$\frac{1}{26}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数的简便运算能力，通过倒数转化将除法运算转换为适合使用乘法分配律的形式，避免了复杂的通分计算，解题时要注意最后不要忘记对所得结果取倒数。
【难度系数】
0.6
本题是有理数的除法运算，若直接先计算括号内的分数加减，需要通分，计算量较大且容易出错。我们可以利用倒数的性质：不为0的两个数a、b，$a÷ b$与$b÷ a$互为倒数，先计算括号内的式子除以$(-\frac{1}{64})$的结果，此时将除法转化为乘法后，可利用乘法分配律简化计算，最后对所得结果取倒数就能得到原式的答案。
【解析】
先计算括号内式子除以被除数的结果：
$\begin{aligned}(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})&=(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})×(-64)\\&=\frac{1}{8}×(-64)-\frac{3}{16}×(-64)+\frac{5}{32}×(-64)-\frac{1}{2}×(-64)\\&=-8+12-10+32\\&=26\end{aligned}$
因为$(-\frac{1}{64})÷(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})$与$(\frac{1}{8}-\frac{3}{16}+\frac{5}{32}-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{64})$互为倒数，所以原式结果为$\frac{1}{26}$。
【答案】
$\frac{1}{26}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题考查有理数的简便运算能力，通过倒数转化将除法运算转换为适合使用乘法分配律的形式，避免了复杂的通分计算，解题时要注意最后不要忘记对所得结果取倒数。
【难度系数】
0.6
9.计算:$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{19}{20}+\frac{29}{30}+\dots+\frac{9701}{9702}+\frac{9899}{9900}$
答案
解: 原式$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{20})+(1-\frac{1}{30})+\dots+(1-\frac{1}{9702})+(1-\frac{1}{9900})=(1-\frac{1}{1×2})+(1-\frac{1}{2×3})+(1-\frac{1}{3×4})+(1-\frac{1}{4×5})+(1-\frac{1}{5×6})+\dots+(1-\frac{1}{98×99})+(1-\frac{1}{99×100})=99-\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}-\frac{1}{5×6}-\dots-\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100}=99-(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\dots-(\frac{1}{98}-\frac{1}{99})-(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})=99-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\dots-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}-\frac{1}{99}+\frac{1}{100}=99-1+\frac{1}{100}=98+\frac{1}{100}=\frac{9801}{100}.$
解析
【分析】
首先观察算式中每个分数的特点：分子都比分母小1，因此可以先将每个分数改写为“1减去该分数分母分之一”的形式；再观察每个分母，都可以写成两个连续正整数的乘积，符合裂项相消的拆分规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分后中间的分数项可以相互抵消，从而简化计算，无需逐一通分。
【解析】
原式$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{20})+(1-\frac{1}{30})+\dots+(1-\frac{1}{9702})+(1-\frac{1}{9900})$
$=(1-\frac{1}{1×2})+(1-\frac{1}{2×3})+(1-\frac{1}{3×4})+(1-\frac{1}{4×5})+(1-\frac{1}{5×6})+\dots+(1-\frac{1}{98×99})+(1-\frac{1}{99×100})$
观察可得算式共有99项，因此共有99个1相加，整理得：
$=99-\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}-\frac{1}{5×6}-\dots-\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100}$
对每个分数进行裂项拆分：
$=99-(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\dots-(\frac{1}{98}-\frac{1}{99})-(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
去括号后中间项两两抵消：
$=99-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\dots-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}-\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$
$=99-1+\frac{1}{100}$
$=98+\frac{1}{100}$
$=\frac{9801}{100}$
【答案】
$\frac{9801}{100}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，分数拆分
【点评】
本题是分数简便运算的典型题型，解题核心是通过观察分数的结构特征，将其拆分为可抵消的形式，大幅降低了运算量，避免了通分计算的繁琐，对学生的观察能力和运算技巧有一定要求。
【难度系数】
0.4
首先观察算式中每个分数的特点：分子都比分母小1，因此可以先将每个分数改写为“1减去该分数分母分之一”的形式；再观察每个分母，都可以写成两个连续正整数的乘积，符合裂项相消的拆分规律$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分后中间的分数项可以相互抵消，从而简化计算，无需逐一通分。
【解析】
原式$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{20})+(1-\frac{1}{30})+\dots+(1-\frac{1}{9702})+(1-\frac{1}{9900})$
$=(1-\frac{1}{1×2})+(1-\frac{1}{2×3})+(1-\frac{1}{3×4})+(1-\frac{1}{4×5})+(1-\frac{1}{5×6})+\dots+(1-\frac{1}{98×99})+(1-\frac{1}{99×100})$
观察可得算式共有99项，因此共有99个1相加，整理得：
$=99-\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}-\frac{1}{4×5}-\frac{1}{5×6}-\dots-\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100}$
对每个分数进行裂项拆分：
$=99-(1-\frac{1}{2})-(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})-(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})-(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})-(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})-\dots-(\frac{1}{98}-\frac{1}{99})-(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
去括号后中间项两两抵消：
$=99-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\dots-\frac{1}{98}+\frac{1}{99}-\frac{1}{99}+\frac{1}{100}$
$=99-1+\frac{1}{100}$
$=98+\frac{1}{100}$
$=\frac{9801}{100}$
【答案】
$\frac{9801}{100}$
【知识点】
裂项相消法，有理数混合运算，分数拆分
【点评】
本题是分数简便运算的典型题型，解题核心是通过观察分数的结构特征，将其拆分为可抵消的形式，大幅降低了运算量，避免了通分计算的繁琐，对学生的观察能力和运算技巧有一定要求。
【难度系数】
0.4
