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知识点一 圆锥的侧面积与全面积
1.圆锥的全面积=
2.设圆锥的母线长为$ l $,底面圆的半径为$ r $,那么圆锥的侧面积为
知识点一 圆锥的侧面积与全面积
1.圆锥的全面积=
圆锥的侧面积
+ 圆锥的底面积
.2.设圆锥的母线长为$ l $,底面圆的半径为$ r $,那么圆锥的侧面积为
$π rl$
,全面积为 $π r(r+l)$
.答案
1. 圆锥的侧面积 圆锥的底面积
2. $π rl$ $π r(r+l)$
2. $π rl$ $π r(r+l)$
解析
【分析】
本题考查圆锥面积的基础概念与公式推导，解题思路如下：1. 先回忆圆锥的构成：圆锥由曲面的侧面和圆形的底面两个部分围成，因此全面积就是两个面的面积之和，即可填出第一问的两个空。2. 推导侧面积公式时，回忆圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥母线长$l$，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长$2π r$，结合扇形面积公式即可推导出侧面积；再用侧面积加底面积（圆的面积公式）就能得到全面积公式。
【解析】
1. 圆锥由侧面和底面两部分围成，因此它的全面积为侧面积与底面积的和。
2. 圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，可得圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$；圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1. 圆锥的侧面积 圆锥的底面积
2. $π rl$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥的构成，圆锥侧面积公式，圆锥全面积公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对圆锥面积相关概念的理解和公式的记忆，这部分内容是后续解决圆锥相关实际计算、结合其他几何知识综合出题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查圆锥面积的基础概念与公式推导，解题思路如下：1. 先回忆圆锥的构成：圆锥由曲面的侧面和圆形的底面两个部分围成，因此全面积就是两个面的面积之和，即可填出第一问的两个空。2. 推导侧面积公式时，回忆圆锥侧面展开图是扇形，扇形的半径对应圆锥母线长$l$，扇形的弧长对应圆锥底面圆的周长$2π r$，结合扇形面积公式即可推导出侧面积；再用侧面积加底面积（圆的面积公式）就能得到全面积公式。
【解析】
1. 圆锥由侧面和底面两部分围成，因此它的全面积为侧面积与底面积的和。
2. 圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的半径等于圆锥的母线长$l$，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长$2π r$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{半径}$，可得圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×2π r× l=π rl$；圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2$，因此全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=π rl+π r^2=π r(r+l)$。
【答案】
1. 圆锥的侧面积 圆锥的底面积
2. $π rl$ $π r(r+l)$
【知识点】
圆锥的构成，圆锥侧面积公式，圆锥全面积公式
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对圆锥面积相关概念的理解和公式的记忆，这部分内容是后续解决圆锥相关实际计算、结合其他几何知识综合出题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
•练习1 如图，圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长为5 cm，那么这个圆锥的侧面积为(
A.$5π \ \mathrm{cm}^2$
B.$10π \ \mathrm{cm}^2$
C.$15π \ \mathrm{cm}^2$
D.$20π \ \mathrm{cm}^2$
B
).A.$5π \ \mathrm{cm}^2$
B.$10π \ \mathrm{cm}^2$
C.$15π \ \mathrm{cm}^2$
D.$20π \ \mathrm{cm}^2$
答案
练习1 B
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，其中$ r $是底面圆的半径，$ l $是圆锥的母线长。接下来从题干中提取对应已知量：底面半径$ r=2\ \mathrm{cm} $，母线长$ l=5\ \mathrm{cm} $，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
圆锥侧面积的计算公式为：$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $（$ r $为底面圆半径，$ l $为圆锥母线长）。
根据题意可知：$ r=2\ \mathrm{cm} $，$ l=5\ \mathrm{cm} $，将数值代入公式得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 2 × 5 = 10π\ \mathrm{cm}^2 $
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是基础考查题，核心是对圆锥侧面积公式的应用，解题时只要准确找到底面半径和母线长，牢记公式即可快速算出结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
要计算圆锥的侧面积，首先回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积$ S_{\mathrm{侧}}=π r l $，其中$ r $是底面圆的半径，$ l $是圆锥的母线长。接下来从题干中提取对应已知量：底面半径$ r=2\ \mathrm{cm} $，母线长$ l=5\ \mathrm{cm} $，最后将数值代入公式计算即可得到结果。
【解析】
圆锥侧面积的计算公式为：$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $（$ r $为底面圆半径，$ l $为圆锥母线长）。
根据题意可知：$ r=2\ \mathrm{cm} $，$ l=5\ \mathrm{cm} $，将数值代入公式得：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 2 × 5 = 10π\ \mathrm{cm}^2 $
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题是基础考查题，核心是对圆锥侧面积公式的应用，解题时只要准确找到底面半径和母线长，牢记公式即可快速算出结果，难度较低。
【难度系数】
0.85
•练习2 如图,将一个底面圆半径为6 cm,母线长为15 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开,所得的侧面展开图的圆心角是
归纳总结 在解决与圆锥有关的计算时,需掌握以下关系:
(1)在圆锥中,圆锥的母线长$l$、底面圆的半径$r$、高$h$这三个量之间的数量关系是$r^2 + h^2 = l^2$.
(2)圆锥的侧面展开图中,扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长.
144
°.归纳总结 在解决与圆锥有关的计算时,需掌握以下关系:
(1)在圆锥中,圆锥的母线长$l$、底面圆的半径$r$、高$h$这三个量之间的数量关系是$r^2 + h^2 = l^2$.
(2)圆锥的侧面展开图中,扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长.
答案
练习2 144
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的圆心角，首先回忆圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先算出圆锥底面周长，再结合弧长公式列方程求解圆心角。
【解析】
设所得侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=6\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×6=12π\mathrm{cm}$。
2. 结合性质和弧长公式列方程：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长$l=15\mathrm{cm}$，弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}$，因此有：
$\frac{nπ×15}{180}=12π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{15n}{180}=12$，化简得$15n=12×180$，解得$n=\frac{12×180}{15}=144$。
【答案】
144
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“圆锥底面周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，再结合弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图的圆心角，首先回忆圆锥和其侧面展开扇形的对应关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。我们可以先算出圆锥底面周长，再结合弧长公式列方程求解圆心角。
【解析】
设所得侧面展开图的圆心角为$n°$。
1. 计算圆锥底面圆的周长：
已知底面半径$r=6\mathrm{cm}$，根据圆的周长公式$C=2π r$，可得底面周长$C=2π×6=12π\mathrm{cm}$。
2. 结合性质和弧长公式列方程：
圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面周长，扇形半径等于母线长$l=15\mathrm{cm}$，弧长公式为$l_{\mathrm{弧}}=\frac{nπ l}{180}$，因此有：
$\frac{nπ×15}{180}=12π$
3. 解方程：
两边同时约去$π$，得$\frac{15n}{180}=12$，化简得$15n=12×180$，解得$n=\frac{12×180}{15}=144$。
【答案】
144
【知识点】
圆锥侧面展开图性质，弧长公式应用
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“圆锥底面周长等于其侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，再结合弧长公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1.若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
D
）。A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.6 cm
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题的核心是明确半圆形纸片围成圆锥侧面时的等量关系：半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路可分为两步：第一步先计算出半圆形纸片的弧长，第二步结合圆的周长公式，利用上述等量关系列等式求解圆锥底面圆的半径。
【解析】
解：已知半圆形纸片的半径为12 cm，
首先计算半圆的弧长：半圆的弧长是对应整圆周长的一半，即
$L=\frac{1}{2}×2π R=π×12=12π\ \mathrm{cm}$（其中$R=12\ \mathrm{cm}$是半圆的半径）
设圆锥底面圆的半径为$r$，因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$2π r=12π$
两边同时除以$2π$，解得$r=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常考题，解题的突破口是抓住圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应等量关系，熟记弧长、周长公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确半圆形纸片围成圆锥侧面时的等量关系：半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路可分为两步：第一步先计算出半圆形纸片的弧长，第二步结合圆的周长公式，利用上述等量关系列等式求解圆锥底面圆的半径。
【解析】
解：已知半圆形纸片的半径为12 cm，
首先计算半圆的弧长：半圆的弧长是对应整圆周长的一半，即
$L=\frac{1}{2}×2π R=π×12=12π\ \mathrm{cm}$（其中$R=12\ \mathrm{cm}$是半圆的半径）
设圆锥底面圆的半径为$r$，因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得：
$2π r=12π$
两边同时除以$2π$，解得$r=6\ \mathrm{cm}$
【答案】
D
【知识点】
圆锥侧面展开图性质、弧长计算、圆的周长公式
【点评】
本题属于圆锥相关的基础常考题，解题的突破口是抓住圆锥侧面展开图与圆锥本身的对应等量关系，熟记弧长、周长公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.已知直角三角形ABC的一条直角边AB=12 cm，另一条直角边BC=5 cm，则以AB为轴旋转一周，所得到的圆锥的全面积是（
A.$90π \ \mathrm{cm}^2$
B.$209π \ \mathrm{cm}^2$
C.$155π \ \mathrm{cm}^2$
D.$65π \ \mathrm{cm}^2$
A
）。A.$90π \ \mathrm{cm}^2$
B.$209π \ \mathrm{cm}^2$
C.$155π \ \mathrm{cm}^2$
D.$65π \ \mathrm{cm}^2$
答案
2. A
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步明确旋转后圆锥各部分与直角三角形边的对应关系，以AB为轴旋转时，AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥底面半径，斜边AC是圆锥的母线；第二步用勾股定理计算母线长度；第三步分别计算圆锥侧面积和底面积，二者相加即为全面积，对应选项即可。
【解析】
解：
∵以AB为轴旋转一周得到圆锥，
∴圆锥的底面半径$r=BC=5\ \mathrm{cm}$，高$h=AB=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得圆锥的母线长$l=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{cm}$，
圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴圆锥的全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=65π+25π=90π\ \mathrm{cm}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题考查旋转形成的圆锥的相关计算，解题核心是正确识别旋转后圆锥的底面半径、母线的对应长度，熟记圆锥面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按三步思考：第一步明确旋转后圆锥各部分与直角三角形边的对应关系，以AB为轴旋转时，AB是圆锥的高，另一条直角边BC是圆锥底面半径，斜边AC是圆锥的母线；第二步用勾股定理计算母线长度；第三步分别计算圆锥侧面积和底面积，二者相加即为全面积，对应选项即可。
【解析】
解：
∵以AB为轴旋转一周得到圆锥，
∴圆锥的底面半径$r=BC=5\ \mathrm{cm}$，高$h=AB=12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得圆锥的母线长$l=AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=13\ \mathrm{cm}$，
圆锥侧面积$S_{\mathrm{侧}}=π rl=π×5×13=65π\ \mathrm{cm}^2$，
圆锥底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×5^2=25π\ \mathrm{cm}^2$，
∴圆锥的全面积$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=65π+25π=90π\ \mathrm{cm}^2$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题考查旋转形成的圆锥的相关计算，解题核心是正确识别旋转后圆锥的底面半径、母线的对应长度，熟记圆锥面积公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3.如图是一个废弃的扇形统计图，小明利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是(
A.3.6
B.1.8
C.3
D.6
A
).A.3.6
B.1.8
C.3
D.6
答案
3. A
解析
【分析】
解题的核心是明确圆锥侧面展开图为扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先计算阴影扇形的圆心角，再利用弧长公式求出阴影扇形的弧长，最后根据弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求解圆锥底面圆的半径即可。
【解析】
第一步：求阴影扇形的圆心角
整个圆周角为$360°$，空白部分圆心角为$252°$，因此阴影部分圆心角为：
$n = 360° - 252° = 108°$
第二步：计算阴影扇形的弧长
已知扇形半径$R=12$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l=\frac{108× π × 12}{180}=7.2π$
第三步：求圆锥底面圆半径
设圆锥底面圆半径为$r$，圆锥底面圆周长等于扇形弧长，圆的周长公式为$C=2π r$，因此：
$2π r = 7.2π$
两边同时除以$π$，解得$r=3.6$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图特征，圆周长计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的等量关系，牢记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心是明确圆锥侧面展开图为扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先计算阴影扇形的圆心角，再利用弧长公式求出阴影扇形的弧长，最后根据弧长等于底面圆周长的等量关系，列方程求解圆锥底面圆的半径即可。
【解析】
第一步：求阴影扇形的圆心角
整个圆周角为$360°$，空白部分圆心角为$252°$，因此阴影部分圆心角为：
$n = 360° - 252° = 108°$
第二步：计算阴影扇形的弧长
已知扇形半径$R=12$，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入数据得：
$l=\frac{108× π × 12}{180}=7.2π$
第三步：求圆锥底面圆半径
设圆锥底面圆半径为$r$，圆锥底面圆周长等于扇形弧长，圆的周长公式为$C=2π r$，因此：
$2π r = 7.2π$
两边同时除以$π$，解得$r=3.6$
【答案】
A
【知识点】
弧长计算，圆锥展开图特征，圆周长计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的等量关系，牢记相关公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.若圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长是
$4π$
，圆锥的侧面积$ S_{\mathrm{侧}} = $$8π$
，圆锥的全面积$ S_{\mathrm{全}} = $$12π$
.(结果均保留π)答案
4. $4π$ $8π$ $12π$
解析
【分析】
解题时先明确三个核心对应关系：第一，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长；第二，圆锥的侧面积等于侧面展开后扇形的面积；第三，圆锥的全面积等于侧面积加底面圆的面积。将已知的底面半径r=2、母线长l=4依次代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算侧面展开图的弧长：
圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=2$得：
弧长$=2π×2=4π$
2. 计算圆锥的侧面积：
圆锥侧面积即展开扇形的面积，可使用公式$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{母线长}$，代入弧长$4π$、母线长$4$得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×4π×4=8π$
3. 计算圆锥的全面积：
圆锥全面积为侧面积加底面积，先算底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=8π+4π=12π$
【答案】
$4π$；$8π$；$12π$
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是基础运算题，解题关键是理清圆锥和其侧面展开图的参数对应关系，熟练记忆相关周长、面积公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先明确三个核心对应关系：第一，圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长；第二，圆锥的侧面积等于侧面展开后扇形的面积；第三，圆锥的全面积等于侧面积加底面圆的面积。将已知的底面半径r=2、母线长l=4依次代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算侧面展开图的弧长：
圆锥侧面展开图的弧长与底面圆周长相等，根据圆的周长公式$C=2π r$，代入$r=2$得：
弧长$=2π×2=4π$
2. 计算圆锥的侧面积：
圆锥侧面积即展开扇形的面积，可使用公式$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×\mathrm{弧长}×\mathrm{母线长}$，代入弧长$4π$、母线长$4$得：
$S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}×4π×4=8π$
3. 计算圆锥的全面积：
圆锥全面积为侧面积加底面积，先算底面积$S_{\mathrm{底}}=π r^2=π×2^2=4π$，因此：
$S_{\mathrm{全}}=S_{\mathrm{侧}}+S_{\mathrm{底}}=8π+4π=12π$
【答案】
$4π$；$8π$；$12π$
【知识点】
圆锥与展开图的对应关系；圆锥侧面积计算；圆锥全面积计算
【点评】
本题是基础运算题，解题关键是理清圆锥和其侧面展开图的参数对应关系，熟练记忆相关周长、面积公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，用一张半径为20 cm，面积为$150π \ \mathrm{cm}^2$的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则该圆锥的底面圆的半径$r$为
7.5
cm.答案
5. 7.5
解析
【分析】
解题时首先明确圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。第一步先利用扇形面积公式求出扇形的弧长，第二步根据弧长与圆锥底面周长相等的等量关系列方程，即可求出底面半径r。
【解析】
已知扇形的半径$R=20\ \mathrm{cm}$，面积$S=150π\ \mathrm{cm}^2$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}Rl$（$l$为扇形弧长）：
代入数据得：$150π=\frac{1}{2}×20× l$
解得：$l=15π\ \mathrm{cm}$
因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，圆的周长公式为$C=2π r$，因此：
$2π r=15π$
两边同时除以$π$得：$2r=15$
解得：$r=7.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
7.5
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形面积计算；圆周长计算
【点评】
本题重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题核心是找准“扇形弧长与圆锥底面周长相等”的等量关系，属于基础题型，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆锥侧面展开图与圆锥的对应关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。第一步先利用扇形面积公式求出扇形的弧长，第二步根据弧长与圆锥底面周长相等的等量关系列方程，即可求出底面半径r。
【解析】
已知扇形的半径$R=20\ \mathrm{cm}$，面积$S=150π\ \mathrm{cm}^2$，根据扇形面积公式$S=\frac{1}{2}Rl$（$l$为扇形弧长）：
代入数据得：$150π=\frac{1}{2}×20× l$
解得：$l=15π\ \mathrm{cm}$
因为圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长，圆的周长公式为$C=2π r$，因此：
$2π r=15π$
两边同时除以$π$得：$2r=15$
解得：$r=7.5\ \mathrm{cm}$
【答案】
7.5
【知识点】
圆锥侧面展开图性质；扇形面积计算；圆周长计算
【点评】
本题重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，解题核心是找准“扇形弧长与圆锥底面周长相等”的等量关系，属于基础题型，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
6.若圆锥的底面圆的半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为
$\sqrt{15}$
cm.答案
6. $\sqrt{15}$
解析
【分析】
解答本题需先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：1. 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；2. 扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先设母线长为l，利用弧长公式结合已知的底面半径、展开图圆心角求出母线长，再根据圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $，已知圆锥底面半径$ r=1\,\mathrm{cm} $，侧面展开图的圆心角$ n=90° $。
1. 求底面圆周长：
底面圆周长$ C=2π r = 2π × 1 = 2π \, \mathrm{cm} $
2. 利用弧长公式求母线长：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于底面圆周长，根据扇形弧长公式$ \frac{nπ l}{180}=C $，代入数据得：
$ \frac{90π l}{180}=2π $
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边同时除以$ π $得$ \frac{l}{2}=2 $，解得$ l=4\,\mathrm{cm} $
3. 用勾股定理求圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数据得：
$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}\,\mathrm{cm} $
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的常见基础题型，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解答本题需先明确圆锥与侧面展开扇形的对应关系：1. 扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；2. 扇形的半径等于圆锥的母线长。解题时先设母线长为l，利用弧长公式结合已知的底面半径、展开图圆心角求出母线长，再根据圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
设圆锥的母线长为$ l \, \mathrm{cm} $，已知圆锥底面半径$ r=1\,\mathrm{cm} $，侧面展开图的圆心角$ n=90° $。
1. 求底面圆周长：
底面圆周长$ C=2π r = 2π × 1 = 2π \, \mathrm{cm} $
2. 利用弧长公式求母线长：
圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长等于底面圆周长，根据扇形弧长公式$ \frac{nπ l}{180}=C $，代入数据得：
$ \frac{90π l}{180}=2π $
化简得$ \frac{π l}{2}=2π $，两边同时除以$ π $得$ \frac{l}{2}=2 $，解得$ l=4\,\mathrm{cm} $
3. 用勾股定理求圆锥的高：
圆锥的高$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足勾股定理$ h=\sqrt{l^2 - r^2} $，代入数据得：
$ h=\sqrt{4^2 - 1^2}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}\,\mathrm{cm} $
【答案】
$\sqrt{15}$
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、勾股定理
【点评】
本题是圆锥计算的常见基础题型，解题核心是抓住扇形弧长与圆锥底面周长的等量关系，熟练掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
7.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,AB为半径画弧,得到扇形纸片ABD,用这个扇形纸片围成一个无底的圆锥.若正方形的边长为$\sqrt{3}$,则圆锥的底面圆的半径为
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
. 答案
7. $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确扇形围成圆锥的核心等量关系：扇形的弧长等于围成圆锥的底面圆周长。第一步先根据正方形的性质确定扇形ABD的半径和圆心角，第二步利用弧长公式计算出弧BD的长度，第三步将弧长等于底面圆周长作为等量关系列方程，求解即可得到底面圆的半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$\sqrt{3}$
∴扇形ABD的半径$R=AB=\sqrt{3}$，圆心角$∠ BAD=90°$
根据弧长公式，弧BD的长度为：
$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长
∴$2π r = \frac{\sqrt{3}π}{2}$
两边同时除以$π$得：$2r=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：$r=\frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
弧长计算，圆锥与扇形的转化关系，正方形的性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系，熟练掌握弧长公式和圆周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确扇形围成圆锥的核心等量关系：扇形的弧长等于围成圆锥的底面圆周长。第一步先根据正方形的性质确定扇形ABD的半径和圆心角，第二步利用弧长公式计算出弧BD的长度，第三步将弧长等于底面圆周长作为等量关系列方程，求解即可得到底面圆的半径。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，边长为$\sqrt{3}$
∴扇形ABD的半径$R=AB=\sqrt{3}$，圆心角$∠ BAD=90°$
根据弧长公式，弧BD的长度为：
$l_{\overset{\frown}{BD}}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，
∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长
∴$2π r = \frac{\sqrt{3}π}{2}$
两边同时除以$π$得：$2r=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：$r=\frac{\sqrt{3}}{4}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
弧长计算，圆锥与扇形的转化关系，正方形的性质
【点评】
本题是圆锥相关计算的基础题型，解题的核心是抓住“扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一等量关系，熟练掌握弧长公式和圆周长公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
