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知识点 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且这一点和圆心的连线平分 。
从圆外一点引圆的两条切线，它们的 相等，并且这一点和圆心的连线平分 。
答案
切线长 两条切线的夹角
解析
【分析】
本题考查切线长定理的基础内容识记，解题时直接回忆切线长定理的完整表述即可作答。首先明确切线长定理包含两个核心结论：一是圆外一点引出的两条切线的长度相等，二是该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，对应空缺位置依次填入对应内容即可。
【解析】
根据切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空缺处填“切线长”，后两个空缺处组合为“两条切线的夹角”。
【答案】
切线长；两条切线的夹角
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查核心定理的内容，熟练记忆课本基础定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长定理的基础内容识记，解题时直接回忆切线长定理的完整表述即可作答。首先明确切线长定理包含两个核心结论：一是圆外一点引出的两条切线的长度相等，二是该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，对应空缺位置依次填入对应内容即可。
【解析】
根据切线长定理的内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空缺处填“切线长”，后两个空缺处组合为“两条切线的夹角”。
【答案】
切线长；两条切线的夹角
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，直接考查核心定理的内容，熟练记忆课本基础定理是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.9
·练习 如图，PA，PB，DE分别切$\odot O$于点A，B，C，点D在PA上，点E在PB上.若$PA=10$，求$△ PDE$的周长.
答案
20
解析
【分析】
首先观察图形，PA、PB、DE都是$\odot O$的切线，且存在多个从圆外同一点引出两条切线的情况，优先使用切线长定理推导相等的线段。要求$△ PDE$的周长，可先将周长拆分为三条边的和，再利用切线长相等的结论，把未知线段替换为已知长度的切线长，即可计算出周长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ PA、PB都是从点P引出的$\odot O$的切线，
∴ $PB = PA = 10$，
同理，DA、DC是从点D引出的$\odot O$的切线，故$DA = DC$；
EB、EC是从点E引出的$\odot O$的切线，故$EB = EC$。
$△ PDE$的周长$= PD + DE + PE$，
又
∵ $DE = DC + CE$，
∴ 周长$= PD + DC + CE + PE$，
将DC替换为DA、CE替换为EB，可得：
周长$= PD + DA + PE + EB = (PD + DA) + (PE + EB) = PA + PB = 10 + 10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、等量代换、周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的核心是利用切线长相等的性质，将三角形的周长转化为两条已知切线长的和，解题思路清晰，属于基础类考题，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，PA、PB、DE都是$\odot O$的切线，且存在多个从圆外同一点引出两条切线的情况，优先使用切线长定理推导相等的线段。要求$△ PDE$的周长，可先将周长拆分为三条边的和，再利用切线长相等的结论，把未知线段替换为已知长度的切线长，即可计算出周长。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
∵ PA、PB都是从点P引出的$\odot O$的切线，
∴ $PB = PA = 10$，
同理，DA、DC是从点D引出的$\odot O$的切线，故$DA = DC$；
EB、EC是从点E引出的$\odot O$的切线，故$EB = EC$。
$△ PDE$的周长$= PD + DE + PE$，
又
∵ $DE = DC + CE$，
∴ 周长$= PD + DC + CE + PE$，
将DC替换为DA、CE替换为EB，可得：
周长$= PD + DA + PE + EB = (PD + DA) + (PE + EB) = PA + PB = 10 + 10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
切线长定理、等量代换、周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的核心是利用切线长相等的性质，将三角形的周长转化为两条已知切线长的和，解题思路清晰，属于基础类考题，熟练掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图，PA，PB为$\odot O$的两条切线，切点分别为A，B，连接OP交$\odot O$于点C，交弦AB于点D。下列结论中错误的是(
A.$PA=PB$
B.$OP⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
D
)。A.$PA=PB$
B.$OP⊥ AB$
C.$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
D.$△ APB$是等边三角形
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查切线长定理的应用，解题时可结合切线长定理、等腰三角形性质、垂径定理逐个判断选项：首先回忆切线长定理内容判断A选项；再结合等腰三角形三线合一的性质判断B选项；接着根据垂径定理判断C选项；最后看是否有足够条件证明三角形为等边三角形判断D选项。
【解析】
解：
1. 判断A选项：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$PA=PB$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断B选项：
由$PA=PB$可知$△ APB$是等腰三角形，又根据切线长定理，OP平分$∠ APB$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OP⊥ AB$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：
∵OP是过圆心O的直线，且$OP⊥ AB$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断D选项：
题目中未给出$∠ APB=60°$或$PA=AB$等可证明等边三角形的条件，无法判定$△ APB$是等边三角形，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；垂径定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握切线长定理相关的性质，注意不要自行添加题目未给出的条件进行判断。
【难度系数】
0.8
本题考查切线长定理的应用，解题时可结合切线长定理、等腰三角形性质、垂径定理逐个判断选项：首先回忆切线长定理内容判断A选项；再结合等腰三角形三线合一的性质判断B选项；接着根据垂径定理判断C选项；最后看是否有足够条件证明三角形为等边三角形判断D选项。
【解析】
解：
1. 判断A选项：
∵PA、PB是$\odot O$的两条切线，切点分别为A、B，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴$PA=PB$，A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断B选项：
由$PA=PB$可知$△ APB$是等腰三角形，又根据切线长定理，OP平分$∠ APB$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$OP⊥ AB$，B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：
∵OP是过圆心O的直线，且$OP⊥ AB$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断D选项：
题目中未给出$∠ APB=60°$或$PA=AB$等可证明等边三角形的条件，无法判定$△ APB$是等边三角形，D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；等腰三角形的性质；垂径定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是熟练掌握切线长定理相关的性质，注意不要自行添加题目未给出的条件进行判断。
【难度系数】
0.8
2.如图,从$\odot O$外一点P引$\odot O$的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果$∠ APB=60°$,PA=8,那么弦AB的长是(
A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
B
).A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先观察图形，已知PA、PB是⊙O的两条切线，首先联想到切线长定理，可得两条切线长PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠APB=60°，根据等边三角形的判定定理，可推出△PAB是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出弦AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：PA=PB
又
∵∠APB=60°
∴△PAB是有一个内角为60°的等腰三角形，即△PAB为等边三角形
∴AB=PA
∵PA=8
∴AB=8
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，结合切线的性质与特殊三角形的判定即可求解，熟练掌握相关基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形，已知PA、PB是⊙O的两条切线，首先联想到切线长定理，可得两条切线长PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知∠APB=60°，根据等边三角形的判定定理，可推出△PAB是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出弦AB的长度。
【解析】
解：
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：PA=PB
又
∵∠APB=60°
∴△PAB是有一个内角为60°的等腰三角形，即△PAB为等边三角形
∴AB=PA
∵PA=8
∴AB=8
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，结合切线的性质与特殊三角形的判定即可求解，熟练掌握相关基础定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(教材P154练习T1变式)如图，AB是$\odot O$的直径，C为$\odot O$外一点，CA，CD是$\odot O$的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若$∠ ACD=30°$，则$∠ DBA$的度数是(
A.$15°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$75°$
D
).A.$15°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先看到C点引圆的两条切线，优先运用切线长定理得到CA=CD，结合已知∠ACD=30°求出∠CAD的度数；再利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到CA与AB垂直，进而求出∠DAB的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角，在Rt△ADB中利用两锐角互余即可求得∠DBA的度数。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴根据切线长定理可得CA=CD，△CAD为等腰三角形，
又
∵∠ACD=30°，
∴$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵CA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴根据切线的性质，CA⊥AB，即$∠ CAB=90°$，
∴$∠ DAB=∠ CAB-∠ CAD=90°-75°=15°$。
∵AB是⊙O的直径，
∴根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$∠ DBA+∠ DAB=90°$，
∴$∠ DBA=90°-15°=75°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的角度计算基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线相关性质和圆周角定理，通过等腰三角形、直角三角形的角度关系逐步推导，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先看到C点引圆的两条切线，优先运用切线长定理得到CA=CD，结合已知∠ACD=30°求出∠CAD的度数；再利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到CA与AB垂直，进而求出∠DAB的度数；最后根据直径所对的圆周角是直角，在Rt△ADB中利用两锐角互余即可求得∠DBA的度数。
【解析】
解：
∵CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，
∴根据切线长定理可得CA=CD，△CAD为等腰三角形，
又
∵∠ACD=30°，
∴$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵CA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴根据切线的性质，CA⊥AB，即$∠ CAB=90°$，
∴$∠ DAB=∠ CAB-∠ CAD=90°-75°=15°$。
∵AB是⊙O的直径，
∴根据直径所对的圆周角为直角，得$∠ ADB=90°$，
在Rt△ADB中，$∠ DBA+∠ DAB=90°$，
∴$∠ DBA=90°-15°=75°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的角度计算基础综合题，解题的核心是熟练掌握切线相关性质和圆周角定理，通过等腰三角形、直角三角形的角度关系逐步推导，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示的方式放置在桌面上，$∠ CAB = 60°$.若量出$AD = 6\ \mathrm{cm}$，则圆形螺母的外直径是(
A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D
).A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时我们结合切线相关定理分析：首先圆形螺母的外圆与桌面（直线DC）、三角尺的边AB均相切，我们设外圆圆心为O，连接切点与圆心的半径OD、圆心与点A的连线OA。根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角，先求出两条切线的夹角∠DAB：由于D、A、C共线，∠CAB=60°，因此∠DAB=180°-60°=120°，可得∠OAD=60°。再结合切线垂直于过切点的半径，可知△ODA为直角三角形，已知AD长度，通过锐角三角函数即可求出半径，进而得到外直径。
【解析】
设圆形螺母的外圆圆心为$ O $，连接$ OD $、$ OA $。
∵ $ AD $和$ AB $都是$ \odot O $的切线，
∴ $ OD ⊥ AD $，$ OA $平分$ ∠ DAB $。
∵ 点$ D,A,C $共线，$ ∠ CAB=60° $，
∴ $ ∠ DAB=180°-∠ CAB=120° $，
∴ $ ∠ OAD=\frac{1}{2}∠ DAB=60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ODA $中，$ ∠ ODA=90° $，$ AD=6\ \mathrm{cm} $，
由$ \tan∠ OAD=\frac{OD}{AD} $得：
$ OD=AD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，
∴ 圆形螺母的外直径为$ 2OD=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查切线相关定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，利用切线长定理得到角的数量关系，再结合直角三角形的边角关系计算，需要学生熟练掌握切线的相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.6
解题时我们结合切线相关定理分析：首先圆形螺母的外圆与桌面（直线DC）、三角尺的边AB均相切，我们设外圆圆心为O，连接切点与圆心的半径OD、圆心与点A的连线OA。根据切线长定理，OA平分两条切线的夹角，先求出两条切线的夹角∠DAB：由于D、A、C共线，∠CAB=60°，因此∠DAB=180°-60°=120°，可得∠OAD=60°。再结合切线垂直于过切点的半径，可知△ODA为直角三角形，已知AD长度，通过锐角三角函数即可求出半径，进而得到外直径。
【解析】
设圆形螺母的外圆圆心为$ O $，连接$ OD $、$ OA $。
∵ $ AD $和$ AB $都是$ \odot O $的切线，
∴ $ OD ⊥ AD $，$ OA $平分$ ∠ DAB $。
∵ 点$ D,A,C $共线，$ ∠ CAB=60° $，
∴ $ ∠ DAB=180°-∠ CAB=120° $，
∴ $ ∠ OAD=\frac{1}{2}∠ DAB=60° $。
在$ \mathrm{Rt}△ ODA $中，$ ∠ ODA=90° $，$ AD=6\ \mathrm{cm} $，
由$ \tan∠ OAD=\frac{OD}{AD} $得：
$ OD=AD·\tan60°=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $，
∴ 圆形螺母的外直径为$ 2OD=2×6\sqrt{3}=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm} $。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查切线相关定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，利用切线长定理得到角的数量关系，再结合直角三角形的边角关系计算，需要学生熟练掌握切线的相关性质并灵活应用。
【难度系数】
0.6
5.如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B.若$∠ APB=60°$，$OA=2\ \mathrm{cm}$，则$OP=$
4
cm.答案
5. 4
解析
【分析】
首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA，得到直角三角形OAP；再根据切线长定理，可知OP平分∠APB，可求出∠APO的度数；最后利用含30°角的直角三角形的边长关系，即可求出OP的长度。
【解析】
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
根据切线长定理，OP平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，30°角所对的直角边为OA，
∴$OA=\frac{1}{2}OP$，
已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，
∴$OP=2OA=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是切线相关性质的基础应用题，解题的关键是结合切线性质和切线长定理构造特殊直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系计算，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OA⊥PA，得到直角三角形OAP；再根据切线长定理，可知OP平分∠APB，可求出∠APO的度数；最后利用含30°角的直角三角形的边长关系，即可求出OP的长度。
【解析】
∵PA是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥ PA$，即$∠ OAP=90°$。
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
根据切线长定理，OP平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在$Rt△ OAP$中，$∠ APO=30°$，30°角所对的直角边为OA，
∴$OA=\frac{1}{2}OP$，
已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，
∴$OP=2OA=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；切线长定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是切线相关性质的基础应用题，解题的关键是结合切线性质和切线长定理构造特殊直角三角形，再利用特殊直角三角形的边长关系计算，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
