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6.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，C是⊙O上的一点，且∠ACB = 65°，则∠P 的度数为
50°
。答案
6. 50°
解析
【分析】
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接圆心与切点，利用切线性质得到直角；已知圆周角∠ACB的度数，可通过圆周角定理求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数；最后在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×65°=130°$。
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-130°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察切线性质与圆周角定理的结合应用，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合角度关系计算即可，属于圆部分的常规基础考题。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线相关问题，优先考虑连接圆心与切点，利用切线性质得到直角；已知圆周角∠ACB的度数，可通过圆周角定理求出同弧对应的圆心角∠AOB的度数；最后在四边形OAPB中，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可求出∠P的度数。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
∵$∠ ACB$是弧AB所对的圆周角，$∠ AOB$是弧AB所对的圆心角，
∴根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ACB=2×65°=130°$。
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-130°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考察切线性质与圆周角定理的结合应用，解题关键是正确作出连接圆心和切点的辅助线，结合角度关系计算即可，属于圆部分的常规基础考题。
【难度系数】
0.7
7. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C=90°$, O 是边 AC 上一点, 以点 O 为圆心, OC 为半径的圆与边 AB 相切于点 D. 若 $BD=5$, $AD=8$, 则 OC 的长为(
A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
B
).A.$\frac{8}{3}$
B.$\frac{10}{3}$
C.$\frac{16}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
答案
7. B
解析
【分析】
首先观察图形，BC垂直于半径OC，可判断BC是⊙O的切线，结合AB也是⊙O的切线，利用切线长定理可得BC=BD，先求出BC的长度，再结合AB的总长用勾股定理算出AC的长度；接下来连接OD，根据切线的性质得OD⊥AB，可证明△AOD与△ABC相似，设OC=r，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出OC的长度。
【解析】
连接OD，
∵∠C=90°，OC为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又
∵AB与⊙O相切于点D，
根据切线长定理可得：BC=BD=5，
∴AB=AD+BD=8+5=13，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
∵AB是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥AB，即∠ADO=∠C=90°，
又
∵∠A为公共角，
∴△AOD∽△ABC，
设OC=r，则OD=r，AO=AC-OC=12-r，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
代入数据得：$\frac{r}{5}=\frac{8}{12}$，
解得：$r=\frac{10}{3}$，即OC的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是灵活运用切线相关性质，通过相似三角形建立边长之间的关系，结合方程思想求解，是圆的综合应用中的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，BC垂直于半径OC，可判断BC是⊙O的切线，结合AB也是⊙O的切线，利用切线长定理可得BC=BD，先求出BC的长度，再结合AB的总长用勾股定理算出AC的长度；接下来连接OD，根据切线的性质得OD⊥AB，可证明△AOD与△ABC相似，设OC=r，利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出OC的长度。
【解析】
连接OD，
∵∠C=90°，OC为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线，
又
∵AB与⊙O相切于点D，
根据切线长定理可得：BC=BD=5，
∴AB=AD+BD=8+5=13，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$，
∵AB是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥AB，即∠ADO=∠C=90°，
又
∵∠A为公共角，
∴△AOD∽△ABC，
设OC=r，则OD=r，AO=AC-OC=12-r，
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{OD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
代入数据得：$\frac{r}{5}=\frac{8}{12}$，
解得：$r=\frac{10}{3}$，即OC的长为$\frac{10}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题的关键是灵活运用切线相关性质，通过相似三角形建立边长之间的关系，结合方程思想求解，是圆的综合应用中的常考题型。
【难度系数】
0.7
8.如图,已知P是$\odot O$外一点.
(1)尺规作图:过点P作出$\odot O$的两条切线PA,PB,切点分别为A,B(保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)的条件下,若点C在$\odot O$上(点C不与A,B两点重合),且$∠ APB=40°$,则$∠ ACB$的度数为
(1)尺规作图:过点P作出$\odot O$的两条切线PA,PB,切点分别为A,B(保留作图痕迹,不要求写作法).
(2)在(1)的条件下,若点C在$\odot O$上(点C不与A,B两点重合),且$∠ APB=40°$,则$∠ ACB$的度数为
70°或 110°
.答案
8. (1)略 (2)70°或 110°
解析
【分析】
(1) 作过圆外点P的⊙O切线，依据切线性质：切线与过切点的半径垂直，因此构造90°圆周角即可：以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点就是切点A、B，连接PA、PB即可得到两条切线。(2) 求∠ACB度数时，先连接OA、OB，利用切线性质得到两个直角，先求出圆心角∠AOB的度数，再分点C在优弧AB、劣弧AB两种情况，结合圆周角定理或圆内接四边形对角互补的性质计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 作图略，按思路保留作图痕迹即可。
(2) 解：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ APB=40°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-40°=140°$
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
②当点C在劣弧AB上时，此时$∠ ACB$与优弧AB所对的圆周角互补，
∴$∠ ACB=180°-70°=110°$
综上，$∠ ACB$的度数为$70°$或$110°$。
【答案】
(1) 略；(2) $70°$或$110°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，尺规作图作切线
【点评】
本题重点考查切线相关性质的应用，易错点是忽略点C的位置有两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 作过圆外点P的⊙O切线，依据切线性质：切线与过切点的半径垂直，因此构造90°圆周角即可：以OP为直径作圆，该圆与⊙O的交点就是切点A、B，连接PA、PB即可得到两条切线。(2) 求∠ACB度数时，先连接OA、OB，利用切线性质得到两个直角，先求出圆心角∠AOB的度数，再分点C在优弧AB、劣弧AB两种情况，结合圆周角定理或圆内接四边形对角互补的性质计算即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 作图略，按思路保留作图痕迹即可。
(2) 解：连接OA、OB
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$
四边形OAPB内角和为$360°$，已知$∠ APB=40°$
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ APB=360°-90°-90°-40°=140°$
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$
②当点C在劣弧AB上时，此时$∠ ACB$与优弧AB所对的圆周角互补，
∴$∠ ACB=180°-70°=110°$
综上，$∠ ACB$的度数为$70°$或$110°$。
【答案】
(1) 略；(2) $70°$或$110°$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，尺规作图作切线
【点评】
本题重点考查切线相关性质的应用，易错点是忽略点C的位置有两种情况，导致漏解。
【难度系数】
0.65
9. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，点 $O$ 在边 $AC$ 上，以点 $O$ 为圆心，$OC$ 为半径的半圆与斜边 $AB$ 相切于点 $D$，交 $OA$ 于点 $E$，连接 $OB$。
(1)求证：$BD=BC$；
(2)已知 $OC=1$，$∠ A=30°$，求 $AB$ 的长。
(1)求证：$BD=BC$；
(2)已知 $OC=1$，$∠ A=30°$，求 $AB$ 的长。
答案
(1)略 (2)$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1)要证明$BD=BC$，可先结合切线的性质判断$BC$、$BD$都是圆$O$的切线，再利用切线长定理直接得到结论，也可通过连接$OD$，证明$\mathrm{Rt}△OBC≌\mathrm{Rt}△OBD$，利用全等三角形对应边相等得证。
(2)求$AB$的长时，已知$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB=2BC$，因此先根据含$30°$角的直角三角形性质求出$AO$的长度，进而得到$AC$的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接$OD$，
∵ 半圆$O$与$AB$相切于点$D$，
∴ $OD⊥AB$，即$∠ ODB=90°$，
∵ $∠ ACB=90°$，$OC$是半圆$O$的半径，
∴ $BC$是半圆$O$的切线，
又
∵ $BD$、$BC$都是过圆外一点$B$的圆$O$的切线，
根据切线长定理，可得$BD=BC$。
(2)解：
∵ $OC$、$OD$都是半圆$O$的半径，$OC=1$，
∴ $OD=OC=1$，
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $AO=2OD=2×1=2$，
∴ $AC=AO+OC=2+1=3$，
设$BC=x$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=2x$，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$3^2+x^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，解得$x=\sqrt{3}$（线段长度为正，舍去负根），
∴ $AB=2x=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线长定理，30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将圆的切线性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握切线相关定理，灵活运用勾股定理建立方程求解未知线段。
【难度系数】
0.7
(1)要证明$BD=BC$，可先结合切线的性质判断$BC$、$BD$都是圆$O$的切线，再利用切线长定理直接得到结论，也可通过连接$OD$，证明$\mathrm{Rt}△OBC≌\mathrm{Rt}△OBD$，利用全等三角形对应边相等得证。
(2)求$AB$的长时，已知$∠ A=30°$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB=2BC$，因此先根据含$30°$角的直角三角形性质求出$AO$的长度，进而得到$AC$的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：连接$OD$，
∵ 半圆$O$与$AB$相切于点$D$，
∴ $OD⊥AB$，即$∠ ODB=90°$，
∵ $∠ ACB=90°$，$OC$是半圆$O$的半径，
∴ $BC$是半圆$O$的切线，
又
∵ $BD$、$BC$都是过圆外一点$B$的圆$O$的切线，
根据切线长定理，可得$BD=BC$。
(2)解：
∵ $OC$、$OD$都是半圆$O$的半径，$OC=1$，
∴ $OD=OC=1$，
在$\mathrm{Rt}△AOD$中，$∠ ADO=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $AO=2OD=2×1=2$，
∴ $AC=AO+OC=2+1=3$，
设$BC=x$，在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $AB=2BC=2x$，
由勾股定理得：$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$3^2+x^2=(2x)^2$，
整理得$3x^2=9$，解得$x=\sqrt{3}$（线段长度为正，舍去负根），
∴ $AB=2x=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线长定理，30°直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将圆的切线性质与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握切线相关定理，灵活运用勾股定理建立方程求解未知线段。
【难度系数】
0.7
10.(1)如图1,在正方形ABCD中,O为对角线的交点,⊙O的半径为正方形边长的一半,求证:⊙O与AD相切;
(2)如图2,在正方形ABCD中,AB=4,DN,BM,BD分别与⊙O相切于点N,M,E,且DN=BM=2√2,OC=2√2−1,求⊙O的半径.
(2)如图2,在正方形ABCD中,AB=4,DN,BM,BD分别与⊙O相切于点N,M,E,且DN=BM=2√2,OC=2√2−1,求⊙O的半径.
答案
10. (1)略 (2)1
解析
【分析】
(1)要证明⊙O与AD相切，根据切线判定定理，只需证圆心O到AD的距离等于⊙O的半径即可。利用正方形对角线交点到各边距离等于边长一半的性质，结合题目给出的半径条件即可完成证明。
(2)求⊙O半径时，先根据切线长定理得DN=DE，再结合正方形性质求出对角线长度，利用切线性质得ON⊥DN，同时结合O在对角线上的位置关系，通过勾股定理两种方式表示DO的长度，列方程即可求解半径。
【解析】
(1)证明：过O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，O为对角线交点，
∴O到AD的距离OH等于正方形边长的一半，
又
∵⊙O的半径为正方形边长的一半，
∴OH等于⊙O的半径，
∴⊙O与AD相切。
(2)解：设⊙O的半径为r，
∵正方形ABCD中AB=4，
∴对角线AC=BD=√(4²+4²)=4√2，
设AC、BD交于点P，则DP=BD/2=2√2，AC⊥BD，PC=AC/2=2√2，
已知OC=2√2-1，
∴OP=PC-OC=2√2-(2√2-1)=1，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DO²=DP²+OP²=(2√2)²+1²=9，
∵DN是⊙O的切线，切点为N，
∴ON⊥DN，ON=r，
由切线长定理得DN=DE=2√2，
在Rt△DNO中，由勾股定理得：DO²=DN²+ON²=(2√2)²+r²=8+r²，
∴8+r²=9，解得r=1（负值舍去），
即⊙O的半径为1。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)1
【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题将正方形性质和圆的切线相关知识结合考查，第一问是切线判定定理的基础应用，第二问需要灵活结合切线长定理和勾股定理列方程求解，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明⊙O与AD相切，根据切线判定定理，只需证圆心O到AD的距离等于⊙O的半径即可。利用正方形对角线交点到各边距离等于边长一半的性质，结合题目给出的半径条件即可完成证明。
(2)求⊙O半径时，先根据切线长定理得DN=DE，再结合正方形性质求出对角线长度，利用切线性质得ON⊥DN，同时结合O在对角线上的位置关系，通过勾股定理两种方式表示DO的长度，列方程即可求解半径。
【解析】
(1)证明：过O作OH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是正方形，O为对角线交点，
∴O到AD的距离OH等于正方形边长的一半，
又
∵⊙O的半径为正方形边长的一半，
∴OH等于⊙O的半径，
∴⊙O与AD相切。
(2)解：设⊙O的半径为r，
∵正方形ABCD中AB=4，
∴对角线AC=BD=√(4²+4²)=4√2，
设AC、BD交于点P，则DP=BD/2=2√2，AC⊥BD，PC=AC/2=2√2，
已知OC=2√2-1，
∴OP=PC-OC=2√2-(2√2-1)=1，
在Rt△DPO中，由勾股定理得：DO²=DP²+OP²=(2√2)²+1²=9，
∵DN是⊙O的切线，切点为N，
∴ON⊥DN，ON=r，
由切线长定理得DN=DE=2√2，
在Rt△DNO中，由勾股定理得：DO²=DN²+ON²=(2√2)²+r²=8+r²，
∴8+r²=9，解得r=1（负值舍去），
即⊙O的半径为1。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)1
【知识点】
切线的判定，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题将正方形性质和圆的切线相关知识结合考查，第一问是切线判定定理的基础应用，第二问需要灵活结合切线长定理和勾股定理列方程求解，能较好地考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.65
