3 [2026 天津]已知抛物线 $ y=ax^2+bx+c $（$ a,b,c $ 为常数，$ a＜0,c＞0 $）的顶点为 $ P $。
（1）当 $ a=-1,b=-2,c=3 $ 时，求点 $ P $ 的坐标。
（2）已知 $ A(-c,0) $ 和 $ B $ 为抛物线与 $ x $ 轴的两个交点，$ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
① 当 $ a=-\dfrac{1}{2} $ 时，若 $ ∠ PCA=90° $，求 $ c $ 的值。
② 若点 $ B(m,0) $，$ ∠ ACB=75° $，$ D $ 为线段 $ BC $ 的中点，点 $ M $ 在线段 $ AC $ 上（不与点 $ A,C $ 重合），点 $ N $ 在线段 $ AB $ 上，且 $ CM=\sqrt{2}BN $。当 $ MN+ND $ 取得最小值 5 时，求 $ c $ 的值。

3. (1) $\because a=-1,b=-2,c=3$,$\therefore$ 该抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2-2x+3$. $\because y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$,
$\therefore$ 该抛物线顶点 $P$ 的坐标为 $(-1,4)$
(2) ① 由 $a=-\dfrac{1}{2}$,得 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c=-\dfrac{1}{2}(x-b)^2+\dfrac{b^2}{2}+c$,$\therefore$ 该抛物线顶点 $P$ 的坐标为 $(b,\dfrac{b^2}{2}+c)$. $\because$ 点 $A(-c,0)$,点 $C(0,c)$,
$\therefore OA=OC$. $\therefore ∠ ACO=45°$. 根据题意,易知点 $P$ 在第二象限.
如图①,过点 $P$ 作 $PE⊥ y$ 轴于点 $E$,则 $∠ PCE=45°$,$\therefore PE=CE$. $\therefore -b=\dfrac{b^2}{2}+c-c$,解得 $b_1=-2$,$b_2=0$(不合题意,舍去).
$\because$ 点 $A(-c,0)$ 在抛物线 $y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$ 上, $\therefore 0=-\dfrac{1}{2}c^2-bc+c$. 又 $\because c＞0$,$\therefore -\dfrac{1}{2}c-b+1=0$. $\therefore c=2-2b$.
$\therefore c=6$
② 由 $∠ ACB=75°$,得 $∠ OCB=∠ ACB-∠ ACO=30°$,$m＞0$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBC$ 中, $∠ OCB=30°$,$OB=m$,$OC=c$,
$\therefore BC=2OB=2m$. 根据勾股定理,得 $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3}c$. 如图②,过点 $M$ 作 $MF⊥ y$ 轴于点 $F$,连接 $BF$. 可得 $FM// BN$,$CM=\sqrt{2}MF=\sqrt{2}CF$. 又 $\because CM=\sqrt{2}BN$,$\therefore MF=CF=BN$. $\therefore$ 四边形 $BFMN$ 为平行四边形. $\therefore BF=MN$. 在 $△ OBC$ 的外部,作 $∠ OBG=∠ OCB$,且 $BG=BC$,连接 $GN$,$DG$. $\therefore △ CFB≌△ BNG$. $\therefore BF=GN$. $\therefore MN=GN$. $\therefore MN+ND=GN+ND≥ GD$. 当满足条件的点 $N$ 落在线段 $GD$ 上时,$MN+ND$ 取得最小值 5,即 $GD=5$. $\because ∠ OBC+∠ OCB=90°$,$\therefore ∠ OBC+∠ OBG=90°$,即 $∠ DBG=90°$. $\because D$ 为线段 $BC$ 的中点,
$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC$. 在 $\mathrm{Rt}△ DBG$ 中,由 $GD^2=BD^2+BG^2$,得 $GD^2=\dfrac{5}{4}BC^2=25$,即 $BC^2=20$, 在 $\mathrm{Rt}△ OBC$ 中,由 $BC^2=OB^2+OC^2$,得 $m^2+c^2=20$,再将 $m=\dfrac{\sqrt{3}}{3}c$ 代入,得 $c^2=15$,解得 $c_1=\sqrt{15}$,$c_2=-\sqrt{15}$(不合题意,舍去). $\therefore c=\sqrt{15}$

4 如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A$，$B(1,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,3)$。
（1）求抛物线对应的函数表达式.
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点$P$，使得$△ APC$的面积最大？若存在，请求出点$P$的坐标和$△ APC$的最大面积；若不存在，请说明理由.

4. (1) $\because$ 点 $B(1,0),C(0,3)$ 在抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 上,
$\therefore \begin{cases}-1+b+c=0,\\c=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=3.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2-2x+3$
(2) 存在 令 $y=0$,则 $0=-x^2-2x+3$,解得 $x_1=-3$,$x_2=1$. $\therefore A(-3,0)$. 由 $A,C$ 两点的坐标,可得直线 $AC$ 对应的函数表达式为 $y=x+3$. 如图,过点 $P$ 作 $PE⊥ x$ 轴于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$. 设 $P(m,-m^2-2m+3)(-3＜m＜0)$,则 $F(m,m+3)$. $\therefore PF=y_P-y_F=(-m^2-2m+3)-(m+3)=-m^2-3m$. $\therefore S_{△ APC}=S_{△ APF}+S_{△ CPF}=\dfrac{1}{2}PF· AE+\dfrac{1}{2}PF· OE=\dfrac{1}{2}PF· OA=\dfrac{1}{2}(-m^2-3m)×3=-\dfrac{3}{2}m^2-\dfrac{9}{2}m=-\dfrac{3}{2}(m+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{27}{8}$. $\because -\dfrac{3}{2}＜0$,$-3＜m＜0$,$\therefore$ 当 $m=-\dfrac{3}{2}$ 时,$S_{△ APC}$ 取得最大值,为 $\dfrac{27}{8}$,此时 $-m^2-2m+3=\dfrac{15}{4}$,即此时点 $P$ 的坐标为 $(-\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$