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1. ★★★ 若$8^{10}$是$8^{8}$的$n$倍,则$n$的值是 (
A.$2$
B.$8$
C.$16$
D.$64$
D
)A.$2$
B.$8$
C.$16$
D.$64$
答案
D
【解析】因为$8^{10}=8×8×8×8×8×8×8×8×8×8=8^8×8×8=8^8×64$,又因为$8^{10}$是$8^8$的$n$倍,所以$n=64$.故选D.
【解析】因为$8^{10}=8×8×8×8×8×8×8×8×8×8=8^8×8×8=8^8×64$,又因为$8^{10}$是$8^8$的$n$倍,所以$n=64$.故选D.
2. ★★★ 已知$|a-2|+(b+3)^2=0$，则$\dfrac{a}{b}-b^a$的值是________。
答案
$-\dfrac{29}{3}$
【解析】根据题意得 $a-2=0$ 且 $b+3=0$,得 $a=2$,$b=-3$,所以$\dfrac{a}{b}-b^a=\dfrac{2}{-3}-(-3)^2=-\dfrac{2}{3}-9=-\dfrac{29}{3}$.
【解析】根据题意得 $a-2=0$ 且 $b+3=0$,得 $a=2$,$b=-3$,所以$\dfrac{a}{b}-b^a=\dfrac{2}{-3}-(-3)^2=-\dfrac{2}{3}-9=-\dfrac{29}{3}$.
3. (2025·镇江校级月考)观察下列算式: $2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,···,3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2187,3^8=6561,···,$ 根据上述算式中的规律，$2^{1000}+(-3)^{999}$的末位数字是________。
答案
1
【解析】由题知,因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,\dots$,所以$2^n$的末位数字按2,4,8,6循环出现.又$1000÷4=250$,所以$2^{1000}$的末位数字是6.
因为$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2\ 187,3^8=6\ 561,\dots$,所以$3^n$的末位数字按3,9,7,1循环出现.又$999÷4=249······3$,所以$3^{999}$的末位数字是7.因为$2^{1000}+(-3)^{999}=2^{1\ 000}-3^{999}=-(3^{999}-2^{1\ 000})$,所以其末位数字为$7-6=1$.
【解析】由题知,因为$2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,\dots$,所以$2^n$的末位数字按2,4,8,6循环出现.又$1000÷4=250$,所以$2^{1000}$的末位数字是6.
因为$3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81,3^5=243,3^6=729,3^7=2\ 187,3^8=6\ 561,\dots$,所以$3^n$的末位数字按3,9,7,1循环出现.又$999÷4=249······3$,所以$3^{999}$的末位数字是7.因为$2^{1000}+(-3)^{999}=2^{1\ 000}-3^{999}=-(3^{999}-2^{1\ 000})$,所以其末位数字为$7-6=1$.
4. (1)(2026·临汾模拟)据悉,某国产高端单台服务器搭载的自研芯片,每秒可以完成8 600亿次浮点运算,具备支撑超大规模工业仿真计算的能力.数据8 600亿用科学记数法表示为$\underline{8.6×10^{11}}$.
答案
$8.6×10^{11}$
【解析】数据8 600亿用科学记数法表示为$8.6×10^{11}$.
【解析】数据8 600亿用科学记数法表示为$8.6×10^{11}$.
(2)某企业今年 1—10 月的产值为 $1.2× 10^{8}$ 元,11—12 月的产值比 1—10 月的产值少 $3× 10^{7}$ 元,则该企业今年全年的产值为 ______ 元(用科学记数法表示).
答案
$2.1×10^8$
【解析】全年的产值为$1.2×10^8+(1.2×10^8-3×10^7)=1.2×10^8+9×10^7=2.1×10^8$(元).
【解析】全年的产值为$1.2×10^8+(1.2×10^8-3×10^7)=1.2×10^8+9×10^7=2.1×10^8$(元).
5. (1)长白山天池是一座休眠火山,火山口积水成湖,天池湖水碧蓝,水平如镜,群峰倒映,风景秀丽,总蓄水量约达$2.04×10^{9}\ \mathrm{m}^3$.数据$2.04×10^{9}$表示为________亿；
(2)(2025·泰州月考)已知$2.68×10^{n}$是19位数,那么$n$的值为________.
(2)(2025·泰州月考)已知$2.68×10^{n}$是19位数,那么$n$的值为________.
答案
(1)20.4 (2)18
【解析】(1) 1 亿$=1×10^8$,$2.04×10^9=20.4×10^8$,即20.4亿.
(2) 因为$2.68×10^n$是19位数,所以$n=18$.
【解析】(1) 1 亿$=1×10^8$,$2.04×10^9=20.4×10^8$,即20.4亿.
(2) 因为$2.68×10^n$是19位数,所以$n=18$.
6. 如果规定：$0.1=\frac{1}{10}=10^{-1},0.01=\frac{1}{100}=10^{-2},0.001=\frac{1}{1000}=10^{-3}……$
(1)你能用幂的形式表示 0.000 001 吗？
(2)你能将 0.000 000 103 7 表示成 $a×10^{n}$ 的形式吗？(其中 $1＜a＜10,n$ 是负整数)
(3)纳米技术是 21 世纪新兴技术,1 纳米是 1 米的十亿分之一,那么 1 纳米 $=10^{-n}$ 米中, n 的值为
(1)你能用幂的形式表示 0.000 001 吗？
(2)你能将 0.000 000 103 7 表示成 $a×10^{n}$ 的形式吗？(其中 $1＜a＜10,n$ 是负整数)
(3)纳米技术是 21 世纪新兴技术,1 纳米是 1 米的十亿分之一,那么 1 纳米 $=10^{-n}$ 米中, n 的值为
9
.答案
(1)$0.000\ 001=\dfrac{1}{1\ 000\ 000}=10^{-6}$.
(2)$0.000\ 000\ 103\ 7=1.037×0.000\ 000\ 1=1.037×\dfrac{1}{10\ 000\ 000}=1.037×10^{-7}$.
(3)9
【解析】由题意得1纳米$=\dfrac{1}{1\ 000\ 000\ 000}$米$=10^{-9}$米,所以$n=9$.
(2)$0.000\ 000\ 103\ 7=1.037×0.000\ 000\ 1=1.037×\dfrac{1}{10\ 000\ 000}=1.037×10^{-7}$.
(3)9
【解析】由题意得1纳米$=\dfrac{1}{1\ 000\ 000\ 000}$米$=10^{-9}$米,所以$n=9$.
