1. (教材例题变式)在特定的温度下,某容器充满一定量的气体,该容器内气体的压强 $p$(单位:$kPa$)是气体体积$V$(单位:mL)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)求 $p$ 与 $V$ 的函数表达式.
(2)若 $300 ≤ p ≤ 400$,求该容器体积 $V$ 的取值范围.

(1)设 p 与 V 的函数表达式为 $p=\dfrac{k}{V}(k≠0)$,将$(30,200)$代入,得 $200=\dfrac{k}{30},∴k=6\ 000,∴p$ 与 $V$ 的函数表达式为 $p=\dfrac{6\ 000}{V}$.
(2)当 $p=300$ 时,$V=\dfrac{6\ 000}{300}=20$,当 $p=400$ 时,$V=\dfrac{6\ 000}{400}=15$. $∵k=6\ 000＞0,∴$ 当 $V＞0$ 时,$p$ 随 $V$ 的增大而减小,$∴$ 当 $300≤p≤400$ 时,$15≤V≤20$.

【分析】本题是反比例函数在实际问题中的应用，首先根据题意确定压强$p$与体积$V$成反比例函数关系，用待定系数法设出函数表达式，代入图像上的已知点求出常数$k$，得到函数解析式；第二问利用反比例函数的单调性（$k＞0$时，$V＞0$，$p$随$V$增大而减小），分别代入$p$的两个端点值，计算对应的$V$，从而确定$V$的取值范围。
【解析】
(1) 因为$p$是$V$的反比例函数，设函数表达式为 $ p = \frac{k}{V} (k ≠ 0) $。
将点$(30, 200)$代入表达式，得 $ 200 = \frac{k}{30} $，解得 $ k = 200 × 30 = 6000 $。
因此，$p$与$V$的函数表达式为 $ p = \frac{6000}{V} $。
(2) 当 $ p = 300 $ 时，代入 $ p = \frac{6000}{V} $，得 $ V = \frac{6000}{300} = 20 $；
当 $ p = 400 $ 时，代入得 $ V = \frac{6000}{400} = 15 $。
因为 $ k = 6000 ＞ 0 $，且 $ V ＞ 0 $，所以$p$随$V$的增大而减小。
因此，当 $ 300 ≤ p ≤ 400 $ 时，对应的$V$的取值范围是 $ 15 ≤ V ≤ 20 $。
【答案】
(1) $ p = \frac{6000}{V} $；
(2) $ 15 ≤ V ≤ 20 $
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法、反比例函数性质
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，核心考查待定系数法求解析式和反比例函数单调性的应用，题型常规，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.7

2. 小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系,发现镜片的度数 $y$(单位:度)是镜片焦距 $x$(单位:$ \mathrm{cm}$)($x＞0$)的反比例函数,调查数据如下表所示.

(1)求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式.
(2)若小明所戴近视眼镜镜片的度数为 500 度,求该镜片的焦距.

(1)由表格可知，$y$ 与 $x$ 之积恒为 10 000,则 $y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{10\ 000}{x}$.
(2)令 $y=500$,则 $500=\dfrac{10\ 000}{x}$,解得 $x=20$,即该镜片的焦距是 20 cm.

【分析】
题目明确镜片度数y是焦距x的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式，再利用表格中的对应数据求出比例系数，得到函数表达式；第二问只需将已知度数代入已求的函数表达式，解方程即可得到对应焦距。
【解析】
(1) 因为y是x的反比例函数，设函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
选取表格中一组对应值，如$x=25$，$y=400$，代入表达式得：
$400=\dfrac{k}{25}$，解得$k=400×25=10000$。
因此y与x的函数表达式为$y=\dfrac{10000}{x}(x＞0)$。
(2) 将$y=500$代入$y=\dfrac{10000}{x}$，得：
$500=\dfrac{10000}{x}$，
两边同乘$x$得$500x=10000$，
解得$x=20$。
即该镜片的焦距是20 cm。
【答案】
(1) $y=\dfrac{10000}{x}(x＞0)$；(2) 20 cm
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题考查反比例函数在实际问题中的应用，解题核心是利用反比例函数的定义和表格数据确定解析式，再代入求值，属于基础题型，注重对反比例函数基本应用的考查。
【难度系数】
0.6

3.【跨学科】由物理学知识知道,在力$F$(单位:N)的作用下,物体会在力$F$的方向上发生位移$s$(单位:m),力$F$所做的功$W$(单位:J)满足:$W=Fs$,当$W$为定值时,$F$与$s$之间的图象如图所示.
(1)力所做的功是多少?
(2)试确定$F$与$s$之间的函数表达式.
(3)当$F=4\ {N}$时,求$s$的值.
(4)若$s$不足$3\ {m}$时,求$F$的范围.

(1)把 $s=2,F=10$ 代入公式,得 $W=2×10=20(\mathrm{J})$.答:力所做的功是 20 J.
(2)由(1)可知,$F$ 与 $s$ 之间的函数表达式为 $F=\dfrac{20}{s}(s＞0)$.
(3)当 $F=4\ \mathrm{N}$ 时,$s=\dfrac{20}{4}=5(\mathrm{m})$.
(4)$∵s＜3\ \mathrm{m}$,即 $\dfrac{20}{F}＜3\ \mathrm{m},∴F＞\dfrac{20}{3}\ \mathrm{N}$.

【分析】
本题结合物理功的计算与数学反比例函数的应用，解题思路如下：
1. 求力做的功：根据公式$W=Fs$，从图像中找到对应$F$和$s$的值，代入计算得到定值$W$；
2. 确定函数表达式：因$W$为定值，故$F$与$s$成反比例关系，将$W$代入反比例函数形式即可得到表达式；
3. 已知$F$求$s$：将$F=4$代入函数表达式，解方程得$s$；
4. 已知$s$范围求$F$范围：利用反比例函数$F=\frac{20}{s}$的性质（$s$越小，$F$越大），先求$s=3$时的$F$，再结合$s＜3$得到$F$的范围。
【解析】
(1) 由图像可知，当$s=2\ \mathrm{m}$时，$F=10\ \mathrm{N}$，根据功的公式$W=Fs$，代入得：
$W=Fs=10\ \mathrm{N} × 2\ \mathrm{m}=20\ \mathrm{J}$。
(2) 因$W$为定值，故$F$与$s$成反比例关系，设函数表达式为$F=\frac{k}{s}(k≠0)$，将$W=20\ \mathrm{J}$代入得$k=20$，因此函数表达式为$F=\frac{20}{s}(s＞0)$。
(3) 当$F=4\ \mathrm{N}$时，代入$F=\frac{20}{s}$，得：
$4=\frac{20}{s}$，解得$s=5\ \mathrm{m}$。
(4) 已知$s＜3\ \mathrm{m}$，由$F=\frac{20}{s}$可知，$F$随$s$减小而增大。当$s=3\ \mathrm{m}$时，$F=\frac{20}{3}\ \mathrm{N}$，故$s＜3\ \mathrm{m}$时，$F＞\frac{20}{3}\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1) 力所做的功是20 J；
(2) $F=\frac{20}{s}(s＞0)$；
(3) $s=5\ \mathrm{m}$；
(4) $F＞\frac{20}{3}\ \mathrm{N}$。
【知识点】
功的计算、反比例函数的应用
【点评】
本题为跨学科题目，结合物理功的公式与数学反比例函数知识，考查学生对反比例函数性质的应用能力，解题关键是利用图像确定函数关系，结合物理公式求解。
【难度系数】
0.6