9. (2024·连云港)杠杆平衡时,有“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1600 N和0.5 m,动力为 F(单位:N),动力臂为 l(单位:m),则动力 F 关于动力臂 l 的函数表达式为.

9. $F=\dfrac{800}{l}$

【分析】首先明确题目给出的杠杆平衡条件：阻力×阻力臂=动力×动力臂，将已知的阻力、阻力臂，以及动力F、动力臂l代入该等式，通过计算和整理即可得到F关于l的函数表达式。
【解析】根据杠杆平衡条件：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂，代入已知数据：1600 N × 0.5 m = F × l，计算左边得800，因此F × l = 800，整理得F = $\dfrac{800}{l}$。
【答案】$F=\dfrac{800}{l}$
【知识点】反比例函数的应用、杠杆平衡原理
【点评】本题结合物理杠杆平衡条件考查反比例函数表达式的求解，属于跨学科基础题，只需代入公式计算整理即可，难度较低。
【难度系数】0.7

10. 如图,直线 AB 交双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 于 A、B 两点,交 x 轴于点 C,且 B 恰为线段 AC 的中点,连接 O A. 若 $S_{△ OAC}=\dfrac{7}{2}$, 则 k 的值为.

10. $\dfrac{7}{3}$ 解析:设点 $A$ 的坐标为 $(a,\dfrac{k}{a})$,点 $C$ 的坐标为 $(b,0)$. $\because B$ 恰为线段 $AC$ 的中点,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{k}{2a})$. $\because$ 点 $B$ 在反比例函数的图象上,$\therefore \dfrac{a+b}{2}·\dfrac{k}{2a}=k$,$\therefore b=3a$. $\because S_{△ OAC}=\dfrac{7}{2}$,$\therefore \dfrac{1}{2}b·\dfrac{k}{a}=\dfrac{7}{2}$,$\therefore \dfrac{1}{2}· 3a·\dfrac{k}{a}=\dfrac{7}{2}$,$\therefore k=\dfrac{7}{3}$.

【分析】
要解决本题，我们可以通过设点坐标，利用中点坐标公式表示出点B的坐标，结合反比例函数的性质和三角形面积公式推导k的值。步骤如下：1.设点A、C的坐标；2.根据中点坐标公式得到点B的坐标；3.利用点B在双曲线上的条件，求出参数间的关系；4.结合△OAC的面积公式，计算k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，点C的坐标为$(b,0)$。
因为B是线段AC的中点，根据中点坐标公式，点B的坐标为$( \frac{a+b}{2}, \frac{\frac{k}{a} + 0}{2} ) = ( \frac{a+b}{2}, \frac{k}{2a} )$。
由于点B在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，将B点坐标代入双曲线解析式得：
$\frac{k}{2a} = \frac{k}{\frac{a+b}{2}}$，约去$k$（$k≠0$），交叉相乘化简得：$a+b=4a$，即$b=3a$。
已知$S_{△ OAC}=\frac{7}{2}$，△OAC的底为OC的长度$b$，高为点A的纵坐标$\frac{k}{a}$，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × b × \frac{k}{a} = \frac{7}{2}$，将$b=3a$代入得：
$\frac{1}{2} × 3a × \frac{k}{a} = \frac{7}{2}$，约去$a$后计算得：$\frac{3k}{2}=\frac{7}{2}$，解得$k=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\frac{7}{3}$
【知识点】
反比例函数、中点坐标公式、三角形面积
【点评】
本题结合反比例函数、中点坐标与三角形面积的知识点，需要灵活运用坐标与图形的关系，通过设参推导参数关系求解，是一道综合性中等的题目，重点考查学生对函数性质和几何知识的结合应用能力。
【难度系数】
0.5

三、解答题（共 40 分）
11.（20 分）(2024·镇江)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,一次函数$y=2x+m$的图象与 x 轴、y 轴分别交于$A(-3,0)$、B 两点,与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$C(1,n)$.
(1)求 m 和 k 的值.
(2)已知四边形 OBDE 是正方形,连接 BE,点 P 在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象上.当$△ OBP$的面积与$△ OBE$的面积相等时,直接写出点 P 的坐标:.

11. (1)$\because$ 一次函数 $y=2x+m$ 的图象过点 $A(-3,0)$,$\therefore 0=2×(-3)+m$,解得 $m=6$. $\because$ 点 $C(1,n)$ 在一次函数 $y=2x+6$ 的图象上,$\therefore n=8$. 又 $\because$ 点 $C(1,8)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,$\therefore k=8$. (2)$(6,\dfrac{4}{3})$ 或 $(-6,-\dfrac{4}{3})$ 解析:由(1)得,一次函数的表达式为 $y=2x+6$,令 $x=0$,得 $y=6$,$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(0,6)$. $\because$ 四边形 $OBDE$ 是正方形,$\therefore OE=OB$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(6,0)$. $\because S_{△ OBP}=S_{△ OBE}$,$\therefore \dfrac{1}{2}OB·|x_P|=\dfrac{1}{2}OB·|x_E|$,$\therefore$ 点 $P$ 的横坐标为 $6$ 或 $-6$. $\because$ 点 $P$ 在反比例函数 $y=\dfrac{8}{x}$ 的图象上,$\therefore$ 当点 $P$ 的横坐标为 $6$ 时,$y_P=\dfrac{4}{3}$;当点 $P$ 的横坐标为 $-6$ 时,$y_P=-\dfrac{4}{3}$,$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(6,\dfrac{4}{3})$ 或 $(-6,-\dfrac{4}{3})$.

【分析】
要解决本题，分两小步分析：
1. 第(1)问：利用一次函数过点$A(-3,0)$，代入一次函数解析式求出$m$；再将点$C(1,n)$代入已得的一次函数，求出$n$；最后把$C$点坐标代入反比例函数，求出$k$。
2. 第(2)问：先求一次函数与$y$轴交点$B$的坐标，结合正方形性质得到$E$点坐标；再根据$△ OBP$与$△ OBE$面积相等，确定点$P$的横坐标（两三角形同底$OB$，面积相等则高相等，即$P$到$y$轴距离等于$E$到$y$轴距离）；最后将横坐标代入反比例函数，求出纵坐标，得到$P$的坐标。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=2x+m$过点$A(-3,0)$，将$A(-3,0)$代入解析式：
$0=2×(-3)+m$，解得$m=6$，因此一次函数解析式为$y=2x+6$。
点$C(1,n)$在一次函数上，代入得：$n=2×1+6=8$，即$C(1,8)$。
又因为$C(1,8)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$上，代入得：$k=1×8=8$。
(2) 由一次函数$y=2x+6$，令$x=0$，得$y=6$，故$B(0,6)$。
因为四边形$OBDE$是正方形，所以$OE=OB=6$，且$OE$在$x$轴上，故$E(6,0)$。
$△ OBP$和$△ OBE$同以$OB$为底，若面积相等，则它们的高相等，即点$P$到$y$轴的距离等于点$E$到$y$轴的距离，因此点$P$的横坐标为$6$或$-6$。
又因为点$P$在反比例函数$y=\dfrac{8}{x}$上：
当$x=6$时，$y=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}$；
当$x=-6$时，$y=\dfrac{8}{-6}=-\dfrac{4}{3}$。
故点$P$的坐标为$(6,\dfrac{4}{3})$或$(-6,-\dfrac{4}{3})$。
【答案】
(1) $m=6$，$k=8$；(2) $(6,\dfrac{4}{3})$或$(-6,-\dfrac{4}{3})$
【知识点】
一次函数、反比例函数、正方形性质、三角形面积
【点评】
本题综合考查一次函数与反比例函数的交点问题，结合正方形性质和三角形面积关系求解点的坐标，需熟练掌握函数解析式的求解及几何性质的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

12. (20 分)(2025·江西) 如图,直线 $l: y=\dfrac{2}{3}x+m$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象交于点 $A(6,2)$.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式.
(2)将直线 $l$ 向上平移,在 $x$ 轴上方与反比例函数图象交于点 $C$,连接 $OA$、$OC$,当 $∠ 1=∠ 2$ 时,求点 $C$ 的坐标及直线 $l$ 平移的距离.

12. (1)将点 $A(6,2)$ 代入一次函数和反比例函数的表达式,得 $\dfrac{2}{3}×6+m=2$,$2=\dfrac{k}{6}$,解得 $m=-2$,$k=12$,$\therefore$ 一次函数和反比例函数的表达式分别为 $y=\dfrac{2}{3}x-2$、$y=\dfrac{12}{x}$. (2)$\because ∠ 1=∠ 2$,反比例函数的图象关于直线 $y=x$ 对称,$\therefore$ 点 $A$ 与点 $C$ 关于直线 $y=x$ 对称. $\because A(6,2)$,$\therefore C(2,6)$. 设直线 $l$ 平移后的直线对应的表达式为 $y=\dfrac{2}{3}x+n$,将点 $C(2,6)$ 代入,得 $\dfrac{2}{3}×2+n=6$,解得 $n=\dfrac{14}{3}$,$\therefore$ 直线 $l$ 向上平移的距离为 $\dfrac{14}{3}-(-2)=\dfrac{20}{3}$.

【分析】
第(1)问利用“函数图象上的点满足函数解析式”，将点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，即可求出参数，得到两个函数的表达式；第(2)问根据∠1=∠2，结合反比例函数关于直线y=x对称的性质，得出点A与点C关于直线y=x对称，进而求出点C坐标；再设平移后直线解析式，代入点C坐标求出平移后的纵截距，通过平移前后纵截距的差得到平移距离。
【解析】
(1) 将点$A(6,2)$代入一次函数$y=\dfrac{2}{3}x+m$，得：
$\dfrac{2}{3}×6 + m = 2$，
计算得$4 + m = 2$，解得$m=-2$；
将点$A(6,2)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得：
$2=\dfrac{k}{6}$，解得$k=12$；
因此，一次函数表达式为$y=\dfrac{2}{3}x - 2$，反比例函数表达式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 因为$∠1=∠2$，且反比例函数$y=\dfrac{12}{x}$的图象关于直线$y=x$对称，所以点$A$与点$C$关于直线$y=x$对称；
已知$A(6,2)$，则点$C$的坐标为$(2,6)$（关于直线$y=x$对称的点，横、纵坐标互换）；
设直线$l$平移后的表达式为$y=\dfrac{2}{3}x + n$，将$C(2,6)$代入得：
$\dfrac{2}{3}×2 + n = 6$，
计算得$\dfrac{4}{3} + n =6$，解得$n=\dfrac{14}{3}$；
直线$l$原纵截距为$-2$，平移后纵截距为$\dfrac{14}{3}$，故平移距离为$\dfrac{14}{3} - (-2)=\dfrac{20}{3}$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=\dfrac{2}{3}x - 2$，反比例函数表达式为$y=\dfrac{12}{x}$；
(2) 点$C$的坐标为$(2,6)$，直线$l$平移的距离为$\dfrac{20}{3}$。
【知识点】
反比例函数的对称性；一次函数的平移；函数解析式的确定
【点评】
本题结合一次函数与反比例函数的性质，利用反比例函数的对称性解决角相等的问题，同时考查一次函数平移的规律，需要学生掌握函数图象上点与解析式的关系、对称点的坐标特征，是一道综合性的中档题。
【难度系数】
0.6