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1.9个相同的零件中，有一个次品比其他零件要轻，用天平至少称(
2
)次保证可以找出次品。答案
1.2
解析
【分析】要保证用最少的次数找出次品，最优策略是把待检测物品尽可能平均分成3份，因为天平一次可以比较2份的重量，能同时确定次品在3份中的哪一份，最大程度缩小次品的范围。本题共9个零件，刚好可以平均分成3份，按照这个思路就能快速排查出次品。
【解析】我们用三分法逐步称量：
1. 第一次称量：将9个零件平均分成3份，每份3个，取其中2份分别放在天平的左右两端。
若天平平衡，说明次品在剩下未称的3个零件中；
若天平不平衡，次品在较轻一侧的3个零件中。
2. 第二次称量：从含有次品的3个零件中，任取2个放在天平左右两端。
若天平平衡，剩下未称的那个零件就是次品；
若天平不平衡，较轻一侧的零件就是次品。
因此至少称2次就可以保证找出次品。
【答案】2
【知识点】找次品问题、三分法策略
【点评】本题是找次品类的典型基础题，核心解题技巧是每次将待测物品尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理快速缩小次品所在范围，能帮助大家理解优化思想在实际问题中的应用。
【难度系数】0.8
【解析】我们用三分法逐步称量：
1. 第一次称量：将9个零件平均分成3份，每份3个，取其中2份分别放在天平的左右两端。
若天平平衡，说明次品在剩下未称的3个零件中；
若天平不平衡，次品在较轻一侧的3个零件中。
2. 第二次称量：从含有次品的3个零件中，任取2个放在天平左右两端。
若天平平衡，剩下未称的那个零件就是次品；
若天平不平衡，较轻一侧的零件就是次品。
因此至少称2次就可以保证找出次品。
【答案】2
【知识点】找次品问题、三分法策略
【点评】本题是找次品类的典型基础题，核心解题技巧是每次将待测物品尽可能平均分成3份，利用天平的平衡原理快速缩小次品所在范围，能帮助大家理解优化思想在实际问题中的应用。
【难度系数】0.8
2. 下列数量的物品应该怎样分才能保证用最少的次数找出较轻的那一个次品？请把分的数量填在○里。
答案
2.2 2 3(或1 3 3) 4 4 5 13 13 12
解析
【分析】
找次品保证称量次数最少的核心策略是：将待测物品分成3份，尽可能平均分，若总数不能被3整除，要让最多的一份和最少的一份相差1，这样每次称量后可以把次品所在的范围缩小到最小，进而保证称量次数最少。我们按照这个规则分别对7、13、38个物品进行拆分即可。
【解析】
1. 拆分7个物品：计算得7÷3=2余1，将余下的1个加到其中一份，得到分法2、2、3，也可调整为1、3、3，两种分法都满足最多份和最少份相差1，属于最优分法。
2. 拆分13个物品：计算得13÷3=4余1，将余下的1个加到其中一份，得到分法4、4、5，符合最优分法要求。
3. 拆分38个物品：计算得38÷3=12余2，将余下的2个分别加到两份中，得到分法13、13、12，符合最优分法要求。
【答案】
2 2 3(或1 3 3)；4 4 5；13 13 12
【知识点】
找次品最优策略，三分法，优化思想
【点评】
本题考查找次品的最优拆分方法，理解“尽可能平均分成3份”的核心逻辑，就能快速得出正确分法，该知识点是解决找次品称量次数问题的基础。
【难度系数】
0.7
找次品保证称量次数最少的核心策略是：将待测物品分成3份，尽可能平均分，若总数不能被3整除，要让最多的一份和最少的一份相差1，这样每次称量后可以把次品所在的范围缩小到最小，进而保证称量次数最少。我们按照这个规则分别对7、13、38个物品进行拆分即可。
【解析】
1. 拆分7个物品：计算得7÷3=2余1，将余下的1个加到其中一份，得到分法2、2、3，也可调整为1、3、3，两种分法都满足最多份和最少份相差1，属于最优分法。
2. 拆分13个物品：计算得13÷3=4余1，将余下的1个加到其中一份，得到分法4、4、5，符合最优分法要求。
3. 拆分38个物品：计算得38÷3=12余2，将余下的2个分别加到两份中，得到分法13、13、12，符合最优分法要求。
【答案】
2 2 3(或1 3 3)；4 4 5；13 13 12
【知识点】
找次品最优策略，三分法，优化思想
【点评】
本题考查找次品的最优拆分方法，理解“尽可能平均分成3份”的核心逻辑，就能快速得出正确分法，该知识点是解决找次品称量次数问题的基础。
【难度系数】
0.7
3.王阿姨买了7袋白糖，有1袋是次品，轻一些。她设计了用天平找次品的方案，如图所示。请把括号里的内容填写完整。王阿姨至少称(
2
)次才能保证找出这袋次品。答案
3.2 3 平衡 剩下的一袋
解析
【分析】
这是找次品类问题，解题核心是用最少的称量次数保证找到次品，需要遵循尽量将待测物品平均分成3份的最优策略，这样每次称量能排除最多的合格物品，减少称量次数。首先7袋白糖被分成(3,3,1)三份，第一次称量要选择数量相等的两份对比，所以天平两边各放3袋；如果第一次称量不平衡，次品就在轻的3袋中，接下来将这3袋分成(1,1,1)三份，第二次称量两边各放1袋，若天平平衡，没放上天平的那袋就是次品，若不平衡，轻的就是次品，因此最多2次就能保证找到次品，对应填写括号内容即可。
【解析】
第一步：将7袋白糖分成(3,3,1)三份，第一次在天平两边各放3袋：
①若天平平衡，剩下没放的1袋就是次品；
②若天平不平衡，次品在较轻的那3袋中。
第二步：把较轻的3袋分成(1,1,1)三份，第二次在天平两边各放1袋：
①若天平平衡，剩下的一袋就是质量不足的次品；
②若天平不平衡，轻的一边是质量不足的次品。
因此流程图的括号依次填3、平衡、剩下的一袋，至少需要称2次才能保证找出次品。
【答案】
3；平衡；剩下的一袋；2
【知识点】
找次品问题；最优称量策略；天平称量原理
【点评】
本题重点考察找次品的分组规律，只要掌握将待测物品尽可能平均分成3份的方法，就能快速确定最少称量次数，解题难度不高。
【难度系数】
0.7
这是找次品类问题，解题核心是用最少的称量次数保证找到次品，需要遵循尽量将待测物品平均分成3份的最优策略，这样每次称量能排除最多的合格物品，减少称量次数。首先7袋白糖被分成(3,3,1)三份，第一次称量要选择数量相等的两份对比，所以天平两边各放3袋；如果第一次称量不平衡，次品就在轻的3袋中，接下来将这3袋分成(1,1,1)三份，第二次称量两边各放1袋，若天平平衡，没放上天平的那袋就是次品，若不平衡，轻的就是次品，因此最多2次就能保证找到次品，对应填写括号内容即可。
【解析】
第一步：将7袋白糖分成(3,3,1)三份，第一次在天平两边各放3袋：
①若天平平衡，剩下没放的1袋就是次品；
②若天平不平衡，次品在较轻的那3袋中。
第二步：把较轻的3袋分成(1,1,1)三份，第二次在天平两边各放1袋：
①若天平平衡，剩下的一袋就是质量不足的次品；
②若天平不平衡，轻的一边是质量不足的次品。
因此流程图的括号依次填3、平衡、剩下的一袋，至少需要称2次才能保证找出次品。
【答案】
3；平衡；剩下的一袋；2
【知识点】
找次品问题；最优称量策略；天平称量原理
【点评】
本题重点考察找次品的分组规律，只要掌握将待测物品尽可能平均分成3份的方法，就能快速确定最少称量次数，解题难度不高。
【难度系数】
0.7
4.8个球编号是1~8，其中6个球一样重，另外2个球都轻1克。为了找出这2个轻球，用天平称了3次，3次情况如图所示，2个轻球编号分别是(
④
)和(⑦
)。答案
4.④ ⑦
解析
【分析】
解题时先根据前两次天平的倾斜情况排除正常球，确定轻球的所在范围：第一次天平左端下沉，说明1、2是正常球，3、4中至少有1个轻球；第二次天平左端下沉，说明5、6是正常球，7、8中至少有1个轻球。结合总共有2个轻球的条件，可知2个轻球分别在{3,4}和{7,8}中，各1个。再根据第三次天平平衡的条件，判断两边各有1个轻球，先推出4是轻球，再推出7是另一个轻球。
【解析】
1. 分析第一次称量：天平左端（放1、2）下沉，可得重量关系$1+2＞3+4$，说明1、2都是正常重量的球，3和4中至少有1个轻球。
2. 分析第二次称量：天平左端（放5、6）下沉，可得重量关系$5+6＞7+8$，说明5、6都是正常重量的球，7和8中至少有1个轻球。
3. 已知总共有2个轻球，因此2个轻球的分布为：1个在3、4中，1个在7、8中。
4. 分析第三次称量：天平平衡，可得$1+3+7=2+4+6$。由于只有2个轻球，要让两边重量相等，必然两边各有1个轻球。
5. 右侧的球只有4属于可疑范围（2、6都是正常球），因此4是轻球；那么3就是正常球，左侧的可疑范围只剩7，因此7是另一个轻球。
6. 验证：轻球为4和7时，三次称量结果均符合题意，推理成立。
【答案】
④；⑦
【知识点】
逻辑推理；天平平衡原理；等量代换
【点评】
本题需要结合天平的倾斜特点判断重量大小，逐步缩小轻球范围，再通过平衡关系推理得出结论，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时先根据前两次天平的倾斜情况排除正常球，确定轻球的所在范围：第一次天平左端下沉，说明1、2是正常球，3、4中至少有1个轻球；第二次天平左端下沉，说明5、6是正常球，7、8中至少有1个轻球。结合总共有2个轻球的条件，可知2个轻球分别在{3,4}和{7,8}中，各1个。再根据第三次天平平衡的条件，判断两边各有1个轻球，先推出4是轻球，再推出7是另一个轻球。
【解析】
1. 分析第一次称量：天平左端（放1、2）下沉，可得重量关系$1+2＞3+4$，说明1、2都是正常重量的球，3和4中至少有1个轻球。
2. 分析第二次称量：天平左端（放5、6）下沉，可得重量关系$5+6＞7+8$，说明5、6都是正常重量的球，7和8中至少有1个轻球。
3. 已知总共有2个轻球，因此2个轻球的分布为：1个在3、4中，1个在7、8中。
4. 分析第三次称量：天平平衡，可得$1+3+7=2+4+6$。由于只有2个轻球，要让两边重量相等，必然两边各有1个轻球。
5. 右侧的球只有4属于可疑范围（2、6都是正常球），因此4是轻球；那么3就是正常球，左侧的可疑范围只剩7，因此7是另一个轻球。
6. 验证：轻球为4和7时，三次称量结果均符合题意，推理成立。
【答案】
④；⑦
【知识点】
逻辑推理；天平平衡原理；等量代换
【点评】
本题需要结合天平的倾斜特点判断重量大小，逐步缩小轻球范围，再通过平衡关系推理得出结论，能有效锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
5.端午节,是我国传统节日之一,也是我国首个入选世界非遗的节日。端午前夕,小惠家一共包了16个蛋黄粽和24个蜜枣粽。
(1)妈妈把这些粽子分别放在对应口味的包装盒里,要使每盒的数量相等,每盒最多放(
(2)在16个蛋黄粽中,有一个是小惠学着包的,质量轻一些,妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平秤,至少要称(
(1)妈妈把这些粽子分别放在对应口味的包装盒里,要使每盒的数量相等,每盒最多放(
8
)个。(2)在16个蛋黄粽中,有一个是小惠学着包的,质量轻一些,妈妈包的每个粽子一样重。如果用天平秤,至少要称(
3
)次才能保证把小惠包的粽子找出来。答案
5.(1)8 (2)3
解析
【分析】
(1) 要将两种不同口味的粽子分别装盒，且每盒数量相等、每盒数量最多，说明每盒的数量需要同时能整除16和24，本题本质是求16和24的最大公因数。
(2) 找质量偏轻的次品粽子，遵循找次品的最优策略：每次尽量将待测物品平均分成3份，每次称重可排除占比2/3的正常物品，按该思路即可推导出保证找到次品的最少称重次数。
【解析】
(1) 先分别列出16和24的所有因数：
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
16和24的公因数为1、2、4、8，其中最大的公因数是8，因此每盒最多放8个。
(2) 16个粽子中找较轻次品的步骤：
第一次：把16个粽子分成5个、5个、6个共3份，将两份5个的放在天平两端称重：
①若天平平衡，次品在剩下的6个中。第二次：把6个分成2个、2个、2个，取任意两份2个的称重，若平衡则次品在剩余2个中，若不平衡则次品在较轻的2个中。第三次：把含次品的2个放在天平两端称重，较轻的就是次品。
②若天平不平衡，次品在较轻的5个中。第二次：把5个分成2个、2个、1个，取两份2个的称重，若平衡则剩余1个就是次品，若不平衡则次品在较轻的2个中。第三次：把含次品的2个放在天平两端称重，较轻的就是次品。
综上，至少称3次才能保证找到小惠包的粽子。
【答案】
(1)8 (2)3
【知识点】
最大公因数的应用，找次品策略
【点评】
本题结合传统节日的生活场景命题，将数学知识和实际生活紧密结合，既考察了公因数的实际应用，也考察了找次品的优化策略，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要将两种不同口味的粽子分别装盒，且每盒数量相等、每盒数量最多，说明每盒的数量需要同时能整除16和24，本题本质是求16和24的最大公因数。
(2) 找质量偏轻的次品粽子，遵循找次品的最优策略：每次尽量将待测物品平均分成3份，每次称重可排除占比2/3的正常物品，按该思路即可推导出保证找到次品的最少称重次数。
【解析】
(1) 先分别列出16和24的所有因数：
16的因数：1、2、4、8、16
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
16和24的公因数为1、2、4、8，其中最大的公因数是8，因此每盒最多放8个。
(2) 16个粽子中找较轻次品的步骤：
第一次：把16个粽子分成5个、5个、6个共3份，将两份5个的放在天平两端称重：
①若天平平衡，次品在剩下的6个中。第二次：把6个分成2个、2个、2个，取任意两份2个的称重，若平衡则次品在剩余2个中，若不平衡则次品在较轻的2个中。第三次：把含次品的2个放在天平两端称重，较轻的就是次品。
②若天平不平衡，次品在较轻的5个中。第二次：把5个分成2个、2个、1个，取两份2个的称重，若平衡则剩余1个就是次品，若不平衡则次品在较轻的2个中。第三次：把含次品的2个放在天平两端称重，较轻的就是次品。
综上，至少称3次才能保证找到小惠包的粽子。
【答案】
(1)8 (2)3
【知识点】
最大公因数的应用，找次品策略
【点评】
本题结合传统节日的生活场景命题，将数学知识和实际生活紧密结合，既考察了公因数的实际应用，也考察了找次品的优化策略，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
