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1.有6盒钙片,其中一盒稍轻,用天平称,要想2次保证找到次品,第一次称时有三个方案:
①按(3,3)分成两份,②按(2,2,2)分成三份,③按(1,1,4)分成三份。三种方案可行的是(
A.①②
B.①③
C.②③
①按(3,3)分成两份,②按(2,2,2)分成三份,③按(1,1,4)分成三份。三种方案可行的是(
A
)。A.①②
B.①③
C.②③
答案
1.A
解析
【分析】
要判断三种分组方案能不能2次保证找到次品，首先要明确：天平称1次最多可以从3个物品中找出次品，所以第一次称量后，次品所在分组的数量最多不能超过3个，才能保证第二次称量找出次品，我们逐一验证三个方案即可。
【解析】
我们逐个分析三种方案：
1. 方案①：按(3,3)分成两份
第一次把两个3盒分别放在天平两端，次品在轻的那3盒里。第二次从这3盒中任取2盒称量，若平衡，剩下的1盒是次品；若不平衡，轻的那盒是次品，刚好2次就能保证找到次品，方案可行。
2. 方案②：按(2,2,2)分成三份
第一次取任意两份2盒的放在天平两端，若平衡，次品在剩下的2盒里；若不平衡，次品在轻的那2盒里。第二次称量有次品的那2盒，轻的就是次品，2次就能保证找到次品，方案可行。
3. 方案③：按(1,1,4)分成三份
第一次称量两个1盒的，若不平衡，1次就找到次品，但如果平衡，次品在剩下的4盒里，此时1次称量没法从4盒里找出次品，至少还需要2次，总共就需要3次，不能保证2次找到次品，方案不可行。
所以可行的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
找次品问题，优化分组策略
【点评】
解决这类找次品问题的核心是合理分组，尽量让每次称量后次品所在的范围尽可能小，才能用最少的称量次数保证找到次品，要注意题目要求是“保证”找到，需要考虑最不利的情况。
【难度系数】
0.7
要判断三种分组方案能不能2次保证找到次品，首先要明确：天平称1次最多可以从3个物品中找出次品，所以第一次称量后，次品所在分组的数量最多不能超过3个，才能保证第二次称量找出次品，我们逐一验证三个方案即可。
【解析】
我们逐个分析三种方案：
1. 方案①：按(3,3)分成两份
第一次把两个3盒分别放在天平两端，次品在轻的那3盒里。第二次从这3盒中任取2盒称量，若平衡，剩下的1盒是次品；若不平衡，轻的那盒是次品，刚好2次就能保证找到次品，方案可行。
2. 方案②：按(2,2,2)分成三份
第一次取任意两份2盒的放在天平两端，若平衡，次品在剩下的2盒里；若不平衡，次品在轻的那2盒里。第二次称量有次品的那2盒，轻的就是次品，2次就能保证找到次品，方案可行。
3. 方案③：按(1,1,4)分成三份
第一次称量两个1盒的，若不平衡，1次就找到次品，但如果平衡，次品在剩下的4盒里，此时1次称量没法从4盒里找出次品，至少还需要2次，总共就需要3次，不能保证2次找到次品，方案不可行。
所以可行的是①②，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
找次品问题，优化分组策略
【点评】
解决这类找次品问题的核心是合理分组，尽量让每次称量后次品所在的范围尽可能小，才能用最少的称量次数保证找到次品，要注意题目要求是“保证”找到，需要考虑最不利的情况。
【难度系数】
0.7
2.25个乒乓球中混有1个质量较重的次品，东东用天平称，第一次称量结果如图所示。他接着用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第二次称量分组方法正确的是（
B
）。答案
2.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要根据第一次天平称量的结果确定次品所在的范围，再结合找次品的最优分组思路选择正确的分组方法。首先，天平下沉的一侧重量更大，说明较重的次品就在这一侧的乒乓球中，其余的乒乓球都是正品可以排除。其次，找次品要保证用最少次数找到的最优策略是：把待检测的物品分成3份，每份的数量尽可能接近，这样每次称量后能排除最多的正品，把次品的范围缩小到最小。
【解析】
1. 分析第一次称量结果：天平左右各放了8个乒乓球，右侧下沉，说明较重的次品在右侧的8个乒乓球中，剩下的17个都是正品，无需再检测。
2. 按照找次品最优分组原则，把8个乒乓球分成3份，尽可能平均分：8=3+3+2，这样分成3个、3个、2个三份，接下来称量两份3个的，如果天平平衡，次品在剩下的2个里，再称1次就能找到；如果不平衡，次品在下沉的3个里，再称1次也能找到，总共只需要再称2次就能保证找到次品。
3. 观察选项：
A选项分组是4、4、1，不符合尽量均分的原则，需要的称量次数更多；
B选项分组是3、3、2，符合最优分组要求；
C选项分组是2、2、4，不符合尽量均分的原则，需要的称量次数更多。
因此正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 找次品最优策略
2. 天平称重原理
【点评】
本题核心考查找次品的最优分组方法，需要先通过天平称量结果锁定次品范围，再遵循“分3组、尽量均分”的原则选择分组方法，熟练掌握该原则就能快速做出判断。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要根据第一次天平称量的结果确定次品所在的范围，再结合找次品的最优分组思路选择正确的分组方法。首先，天平下沉的一侧重量更大，说明较重的次品就在这一侧的乒乓球中，其余的乒乓球都是正品可以排除。其次，找次品要保证用最少次数找到的最优策略是：把待检测的物品分成3份，每份的数量尽可能接近，这样每次称量后能排除最多的正品，把次品的范围缩小到最小。
【解析】
1. 分析第一次称量结果：天平左右各放了8个乒乓球，右侧下沉，说明较重的次品在右侧的8个乒乓球中，剩下的17个都是正品，无需再检测。
2. 按照找次品最优分组原则，把8个乒乓球分成3份，尽可能平均分：8=3+3+2，这样分成3个、3个、2个三份，接下来称量两份3个的，如果天平平衡，次品在剩下的2个里，再称1次就能找到；如果不平衡，次品在下沉的3个里，再称1次也能找到，总共只需要再称2次就能保证找到次品。
3. 观察选项：
A选项分组是4、4、1，不符合尽量均分的原则，需要的称量次数更多；
B选项分组是3、3、2，符合最优分组要求；
C选项分组是2、2、4，不符合尽量均分的原则，需要的称量次数更多。
因此正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 找次品最优策略
2. 天平称重原理
【点评】
本题核心考查找次品的最优分组方法，需要先通过天平称量结果锁定次品范围，再遵循“分3组、尽量均分”的原则选择分组方法，熟练掌握该原则就能快速做出判断。
【难度系数】
0.7
3.5瓶药片中有1瓶是次品(次品轻一些),用天平称重的结果如图,可以发现(
A.①②⑤
B.③④⑤
C.③④
A
)一定不是次品。A.①②⑤
B.③④⑤
C.③④
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先明确次品的特征是比正品轻，天平下沉的一侧物品总重量更大，上翘的一侧总重量更小。我们可以通过假设法逐一验证：第一步先看天平上的①②，如果它们其中有次品，天平左侧应该更轻而上翘，和实际左侧下沉的情况矛盾，可排除①②是次品的可能；第二步看未放在天平上的⑤，如果⑤是次品，那么天平上的①②③④都是正品，两侧重量应该相等，天平应该平衡，和实际不平衡的情况矛盾，可排除⑤是次品的可能，最终就能确定一定不是次品的选项。
【解析】
1. 已知次品比正品轻，天平下沉一侧的物品总重量更大。观察天平可得：左侧①②下沉，右侧③④上翘，因此①和②的总重量 ＞ ③和④的总重量。
2. 假设①或②是次品，因为次品更轻，那么①②的总重量会小于③④的总重量，天平应该左侧上翘，与实际情况矛盾，因此①、②一定不是次品。
3. 假设⑤是次品，那么①②③④都是正品，重量均相等，①②的总重量应该等于③④的总重量，天平应该保持平衡，与实际天平不平衡的情况矛盾，因此⑤也一定不是次品。
综上，①②⑤一定不是次品，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
找次品问题，天平称重原理，逻辑推理
【点评】
本题结合天平的称重特点考查找次品的推理能力，解题的核心是利用天平的倾斜状态，通过假设法反向排除不可能是次品的对象，解题时注意不要遗漏对未放在天平上的物品的分析。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确次品的特征是比正品轻，天平下沉的一侧物品总重量更大，上翘的一侧总重量更小。我们可以通过假设法逐一验证：第一步先看天平上的①②，如果它们其中有次品，天平左侧应该更轻而上翘，和实际左侧下沉的情况矛盾，可排除①②是次品的可能；第二步看未放在天平上的⑤，如果⑤是次品，那么天平上的①②③④都是正品，两侧重量应该相等，天平应该平衡，和实际不平衡的情况矛盾，可排除⑤是次品的可能，最终就能确定一定不是次品的选项。
【解析】
1. 已知次品比正品轻，天平下沉一侧的物品总重量更大。观察天平可得：左侧①②下沉，右侧③④上翘，因此①和②的总重量 ＞ ③和④的总重量。
2. 假设①或②是次品，因为次品更轻，那么①②的总重量会小于③④的总重量，天平应该左侧上翘，与实际情况矛盾，因此①、②一定不是次品。
3. 假设⑤是次品，那么①②③④都是正品，重量均相等，①②的总重量应该等于③④的总重量，天平应该保持平衡，与实际天平不平衡的情况矛盾，因此⑤也一定不是次品。
综上，①②⑤一定不是次品，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
找次品问题，天平称重原理，逻辑推理
【点评】
本题结合天平的称重特点考查找次品的推理能力，解题的核心是利用天平的倾斜状态，通过假设法反向排除不可能是次品的对象，解题时注意不要遗漏对未放在天平上的物品的分析。
【难度系数】
0.6
三、生活中的数学。
妈妈买了8 kg的茶叶，分成了8袋，其中7袋质量相等，有1袋不知轻些还是重一些，怎样用天平找出这一袋？这袋是轻些还是重些？
妈妈买了8 kg的茶叶，分成了8袋，其中7袋质量相等，有1袋不知轻些还是重一些，怎样用天平找出这一袋？这袋是轻些还是重些？
答案
将8袋茶叶分成3份：3袋、3袋、2袋。
第一次称量：把两份3袋的分别放在天平两端。
1. 若天平平衡：
特殊袋在剩下的2袋中，从6袋合格茶叶中取1袋，与2袋中的第1袋称量：
天平平衡：剩余的第2袋是特殊袋，将其与合格袋称量，即可判断轻重。
天平不平衡：该第1袋是特殊袋，直接可判断轻重。
2. 若天平不平衡：
把重的一侧的3袋，和已知合格的3袋称量：
天平平衡：特殊袋在之前轻的一侧的3袋中，且特殊袋更轻，从这3袋中任取2袋称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则轻的一端是特殊袋。
天平不平衡：特殊袋在原本重的这3袋中，且特殊袋更重，从这3袋中任取2袋称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则重的一端是特殊袋。
答：至少称3次就可以保证找出这一袋，同时确定这袋是轻些还是重些。
第一次称量：把两份3袋的分别放在天平两端。
1. 若天平平衡：
特殊袋在剩下的2袋中，从6袋合格茶叶中取1袋，与2袋中的第1袋称量：
天平平衡：剩余的第2袋是特殊袋，将其与合格袋称量，即可判断轻重。
天平不平衡：该第1袋是特殊袋，直接可判断轻重。
2. 若天平不平衡：
把重的一侧的3袋，和已知合格的3袋称量：
天平平衡：特殊袋在之前轻的一侧的3袋中，且特殊袋更轻，从这3袋中任取2袋称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则轻的一端是特殊袋。
天平不平衡：特殊袋在原本重的这3袋中，且特殊袋更重，从这3袋中任取2袋称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则重的一端是特殊袋。
答：至少称3次就可以保证找出这一袋，同时确定这袋是轻些还是重些。
解析
【分析】
这是一道次品轻重未知的找次品问题，解题核心是利用天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小次品范围，同时判断次品的轻重。解题时首先要将待测物品尽量平均分成3份，这样每次称量可以排除最多的合格物品，提高查找效率。我们先把8袋茶叶分成3袋、3袋、2袋共3份，先称量两份3袋的，再分天平平衡和不平衡两种情况逐步分析，最终既找到质量不同的那袋，也能判断它的轻重。
【解析】
将8袋茶叶分成3份：3袋、3袋、2袋。
第一次称量：把两份3袋的分别放在天平两端。
1. 若天平平衡：
特殊袋在剩下的2袋中，其余6袋均为合格茶叶。从6袋合格茶叶中取1袋，与剩下2袋中的第1袋进行第二次称量：
若天平平衡：剩余的第2袋是特殊袋，将其与合格袋进行第三次称量，即可判断轻重。
若天平不平衡：该第1袋是特殊袋，直接通过本次称量结果可判断轻重。
2. 若天平不平衡：
特殊袋在本次称量的6袋中，剩下的2袋为合格茶叶。把重的一侧的3袋，和已知合格的3袋进行第二次称量：
若天平平衡：特殊袋在之前轻的一侧的3袋中，且特殊袋更轻。从这3袋中任取2袋进行第三次称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则轻的一端是特殊袋。
若天平不平衡：特殊袋在原本重的这3袋中，且特殊袋更重。从这3袋中任取2袋进行第三次称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则重的一端是特殊袋。
【答案】
至少称3次就可以保证找出这一袋，同时确定这袋是轻些还是重些。
【知识点】
找次品问题，天平平衡原理，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景，考查找次品的分组策略和逻辑推理能力，相比已知次品轻重的常规题型，本题多了判断次品轻重的步骤，需要分情况逐步推导，能够锻炼严谨的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道次品轻重未知的找次品问题，解题核心是利用天平平衡原理，通过合理分组逐步缩小次品范围，同时判断次品的轻重。解题时首先要将待测物品尽量平均分成3份，这样每次称量可以排除最多的合格物品，提高查找效率。我们先把8袋茶叶分成3袋、3袋、2袋共3份，先称量两份3袋的，再分天平平衡和不平衡两种情况逐步分析，最终既找到质量不同的那袋，也能判断它的轻重。
【解析】
将8袋茶叶分成3份：3袋、3袋、2袋。
第一次称量：把两份3袋的分别放在天平两端。
1. 若天平平衡：
特殊袋在剩下的2袋中，其余6袋均为合格茶叶。从6袋合格茶叶中取1袋，与剩下2袋中的第1袋进行第二次称量：
若天平平衡：剩余的第2袋是特殊袋，将其与合格袋进行第三次称量，即可判断轻重。
若天平不平衡：该第1袋是特殊袋，直接通过本次称量结果可判断轻重。
2. 若天平不平衡：
特殊袋在本次称量的6袋中，剩下的2袋为合格茶叶。把重的一侧的3袋，和已知合格的3袋进行第二次称量：
若天平平衡：特殊袋在之前轻的一侧的3袋中，且特殊袋更轻。从这3袋中任取2袋进行第三次称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则轻的一端是特殊袋。
若天平不平衡：特殊袋在原本重的这3袋中，且特殊袋更重。从这3袋中任取2袋进行第三次称量，平衡则剩余的是特殊袋，不平衡则重的一端是特殊袋。
【答案】
至少称3次就可以保证找出这一袋，同时确定这袋是轻些还是重些。
【知识点】
找次品问题，天平平衡原理，分类讨论思想
【点评】
本题结合生活场景，考查找次品的分组策略和逻辑推理能力，相比已知次品轻重的常规题型，本题多了判断次品轻重的步骤，需要分情况逐步推导，能够锻炼严谨的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
