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8.随着生产技术的进步,某款药品的生产成本逐年下降。两年前生产1吨该药品的成本是5 000元,现在生产1吨该款药品的成本是3 000元,设药品成本的年平均下降率为$ x $,则可列方程 （
A.$ 2× 3\ 000(1-x)=5\ 000 $
B.$ 3\ 000(1-x)^2=5\ 000 $
C.$ 2× 5\ 000(1-x)=3\ 000 $
D.$ 5\ 000(1-x)^2=3\ 000 $
D
）A.$ 2× 3\ 000(1-x)=5\ 000 $
B.$ 3\ 000(1-x)^2=5\ 000 $
C.$ 2× 5\ 000(1-x)=3\ 000 $
D.$ 5\ 000(1-x)^2=3\ 000 $
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，需掌握年平均下降率的计算逻辑：对于年平均变化率问题，若初始值为$a$，年平均变化率为$x$，经过$n$年后的终值公式为$a(1\pm x)^n$（下降用“$-$”，增长用“$+$”）。本题中，初始值是两年前的生产成本$5000$元，经过$2$年下降后，现在的成本为$3000$元，据此可列出方程。
【解析】
设药品成本的年平均下降率为$x$：
1. 一年后该药品的成本为：$5000(1 - x)$元；
2. 两年后（现在）该药品的成本为：在一年后成本的基础上再次下降$x$，即$5000(1 - x)(1 - x) = 5000(1 - x)^2$元；
3. 已知现在成本为$3000$元，因此可列方程：$5000(1 - x)^2 = 3000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（年平均变化率问题）
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查年平均下降率的公式应用，关键在于明确“经过2年变化需平方”，避免混淆初始值和终值，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需掌握年平均下降率的计算逻辑：对于年平均变化率问题，若初始值为$a$，年平均变化率为$x$，经过$n$年后的终值公式为$a(1\pm x)^n$（下降用“$-$”，增长用“$+$”）。本题中，初始值是两年前的生产成本$5000$元，经过$2$年下降后，现在的成本为$3000$元，据此可列出方程。
【解析】
设药品成本的年平均下降率为$x$：
1. 一年后该药品的成本为：$5000(1 - x)$元；
2. 两年后（现在）该药品的成本为：在一年后成本的基础上再次下降$x$，即$5000(1 - x)(1 - x) = 5000(1 - x)^2$元；
3. 已知现在成本为$3000$元，因此可列方程：$5000(1 - x)^2 = 3000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（年平均变化率问题）
【点评】
本题是一元二次方程应用的基础题型，核心考查年平均下降率的公式应用，关键在于明确“经过2年变化需平方”，避免混淆初始值和终值，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,将它向右平移得到$Rt△ A'B'C'$,AC和$A'B'$交于点D,延长$BA,C'A'$交于点E,若$BC'=7,B'C=3$,则线段$DE$的长为 （
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.A
解析
【分析】
要解决本题，需利用平移的核心性质：平移后对应线段平行且相等，对应点连线平行且相等。先结合同一直线上的线段长度关系求出BB'的长度，再通过平行线的关系推导DE的长度，最终得出结果。
【解析】
1. 根据平移的性质，Rt△ABC向右平移得到Rt△A'B'C'，因此BB' = CC'，BC = B'C'，且AB//A'B'，AC//A'C'。
2. 点B、B'、C、C'在同一直线上，故BC' = BB' + B'C + CC'。设BB' = CC' = x，代入已知BC'=7，B'C=3，得方程：x + 3 + x =7，解得x=2，即BB'=2。
3. 由AB//A'B'、AC//A'C'，结合图形的平行关系，可推得DE与BB'长度相等，因此DE=2。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合平移性质与线段长度计算，重点考查学生对平移基本性质的理解和应用，需理清图形中线段的位置关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平移的核心性质：平移后对应线段平行且相等，对应点连线平行且相等。先结合同一直线上的线段长度关系求出BB'的长度，再通过平行线的关系推导DE的长度，最终得出结果。
【解析】
1. 根据平移的性质，Rt△ABC向右平移得到Rt△A'B'C'，因此BB' = CC'，BC = B'C'，且AB//A'B'，AC//A'C'。
2. 点B、B'、C、C'在同一直线上，故BC' = BB' + B'C + CC'。设BB' = CC' = x，代入已知BC'=7，B'C=3，得方程：x + 3 + x =7，解得x=2，即BB'=2。
3. 由AB//A'B'、AC//A'C'，结合图形的平行关系，可推得DE与BB'长度相等，因此DE=2。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、平行线的性质
【点评】
本题结合平移性质与线段长度计算，重点考查学生对平移基本性质的理解和应用，需理清图形中线段的位置关系，难度中等。
【难度系数】
0.5
10. 如图,在矩形ABCD中,AD=7,CD=4,点E,F分别在BC,CD上,BE=3,CF=2,若G是AE的中点,H是BF的中点,连结GH,则GH的长为 （
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
D
）A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$\sqrt{5}$
答案
10.D 解析:如图,连结BG并延长,交AD于点N,连结NF,因为四边形ABCD是矩形,所以$AD// BC$,所以$∠DAE=∠AEB$。因为G是AE的中点。所以$AG=GE$,又因为$∠AGN=∠BGE$,所以$△ AGN ≌ △ EGB$(ASA),所以$BG=GN$,$AN=BE=3$。因为$AD=7$,$CD=4$,$CF=2$,所以$DF=2$,$DN=4$,所以$NF=\sqrt{DN^2+DF^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$。因为H是BF的中点,$BG=GN$,所以$GH=\frac{1}{2}NF=\sqrt{5}$。
解析
【分析】要计算GH的长度，已知G、H分别是AE、BF的中点，可通过构造三角形中位线转化GH。先延长BG交AD于点N，构造全等三角形得到G为BN中点，进而GH是△BNF的中位线，只需计算NF的长度即可。
【解析】如图，连结BG并延长，交AD于点N，连结NF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GAN=∠GEB。
∵G是AE的中点，
∴AG=GE。
又
∵∠AGN=∠EGB，
∴△AGN≌△EGB（ASA），
∴BG=GN，AN=BE=3，即G为BN的中点。
∵H是BF的中点，
∴GH是△BNF的中位线，
∴GH=½NF。
已知AD=7，CD=4，BE=3，CF=2，
∴DN=AD - AN=7 - 3=4，DF=CD - CF=4 - 2=2。
在Rt△DNF中，由勾股定理得：NF=√(DN² + DF²)=√(4² + 2²)=√20=2√5，
∴GH=½×2√5=√5。
【答案】D
【知识点】矩形性质、全等三角形判定、三角形中位线定理
【点评】本题通过构造全等三角形和三角形中位线，将所求线段转化为易计算的线段，辅助线的构造是解题关键，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】如图，连结BG并延长，交AD于点N，连结NF。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠GAN=∠GEB。
∵G是AE的中点，
∴AG=GE。
又
∵∠AGN=∠EGB，
∴△AGN≌△EGB（ASA），
∴BG=GN，AN=BE=3，即G为BN的中点。
∵H是BF的中点，
∴GH是△BNF的中位线，
∴GH=½NF。
已知AD=7，CD=4，BE=3，CF=2，
∴DN=AD - AN=7 - 3=4，DF=CD - CF=4 - 2=2。
在Rt△DNF中，由勾股定理得：NF=√(DN² + DF²)=√(4² + 2²)=√20=2√5，
∴GH=½×2√5=√5。
【答案】D
【知识点】矩形性质、全等三角形判定、三角形中位线定理
【点评】本题通过构造全等三角形和三角形中位线，将所求线段转化为易计算的线段，辅助线的构造是解题关键，考查学生对几何图形性质的综合运用能力。
【难度系数】0.5
11.要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，则$x$的值可以是________。（写出一个符合条件的值）
答案
11.2(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数。对于题目中的二次根式$\sqrt{x-2}$，其被开方数为$x-2$，因此只需让被开方数满足非负的要求，解出$x$的取值范围后，在范围内任选一个数即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列出不等式：
$x - 2 ≥ 0$，
解这个不等式可得：$x ≥ 2$。
只要取一个大于等于2的数都符合要求，例如取$x=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础概念，属于概念识记类题目，难度较低，学生只要掌握二次根式的定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需先明确二次根式有意义的核心条件：二次根式的被开方数必须是非负数。对于题目中的二次根式$\sqrt{x-2}$，其被开方数为$x-2$，因此只需让被开方数满足非负的要求，解出$x$的取值范围后，在范围内任选一个数即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，因此列出不等式：
$x - 2 ≥ 0$，
解这个不等式可得：$x ≥ 2$。
只要取一个大于等于2的数都符合要求，例如取$x=2$。
【答案】
2(答案不唯一)
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础概念，属于概念识记类题目，难度较低，学生只要掌握二次根式的定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
12.若一个八边形的每个外角都相等，则它的一个内角等于
135
度。答案
12.135
解析
【分析】要计算八边形的一个内角度数，需先利用多边形外角和的性质求出单个外角的度数，再根据“内角与相邻外角互补”的关系，即可算出内角的度数。
【解析】解：任意多边形的外角和恒为360°，已知该八边形每个外角相等，因此单个外角的度数为 $360° ÷ 8 = 45°$。由于多边形的内角与相邻外角之和为 $180°$，所以一个内角的度数为 $180° - 45° = 135°$。
【答案】135
【知识点】多边形外角和、多边形内角与外角的关系
【点评】本题是多边形相关的基础题，核心考查多边形外角和的应用，解题关键是利用外角和求出单个外角，再结合内外角互补的性质计算内角，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】解：任意多边形的外角和恒为360°，已知该八边形每个外角相等，因此单个外角的度数为 $360° ÷ 8 = 45°$。由于多边形的内角与相邻外角之和为 $180°$，所以一个内角的度数为 $180° - 45° = 135°$。
【答案】135
【知识点】多边形外角和、多边形内角与外角的关系
【点评】本题是多边形相关的基础题，核心考查多边形外角和的应用，解题关键是利用外角和求出单个外角，再结合内外角互补的性质计算内角，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8
13.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BC,若AC=4,AB=5,则对角线BD的长为
$2\sqrt{13}$
。答案
13.$2\sqrt{13}$
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的对角线BD的长，首先利用AC⊥BC的条件，在直角三角形ABC中用勾股定理求出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC的长度；接着在直角三角形OBC中用勾股定理算出OB的长度，最后由BD=2OB即可求出BD的长。
【解析】
∵ AC⊥BC，
∴ △ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，根据勾股定理：
BC = √(AB² - AC²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OC = AC/2 = 4/2 = 2，且OB = OD，即BD = 2OB。
在Rt△OBC中，BC=3，OC=2，根据勾股定理：
OB = √(BC² + OC²) = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13。
∴ BD = 2OB = 2√13。
【答案】
2√13
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题结合平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理进行计算，属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用平行四边形的性质和勾股定理，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算平行四边形ABCD的对角线BD的长，首先利用AC⊥BC的条件，在直角三角形ABC中用勾股定理求出BC的长度；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到OC的长度；接着在直角三角形OBC中用勾股定理算出OB的长度，最后由BD=2OB即可求出BD的长。
【解析】
∵ AC⊥BC，
∴ △ABC是直角三角形。
在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，根据勾股定理：
BC = √(AB² - AC²) = √(5² - 4²) = √(25 - 16) = √9 = 3。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴ OC = AC/2 = 4/2 = 2，且OB = OD，即BD = 2OB。
在Rt△OBC中，BC=3，OC=2，根据勾股定理：
OB = √(BC² + OC²) = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13。
∴ BD = 2OB = 2√13。
【答案】
2√13
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理
【点评】
本题结合平行四边形对角线互相平分的性质与勾股定理进行计算，属于基础几何计算题，解题关键是熟练运用平行四边形的性质和勾股定理，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
14.数据组$\{6,7,8\},\{10,11,12\}$的组间离差平方和为________。
答案
14.24
解析
【分析】要计算组间离差平方和，需按以下思路进行：先分别计算两个数据组的均值，再计算所有数据的总均值，最后代入组间离差平方和公式（每组数据个数×（组均值-总均值）²，两组结果相加）求解。
【解析】1.计算组均值：第一组{6,7,8}的均值为$\frac{6+7+8}{3}=7$，第二组{10,11,12}的均值为$\frac{10+11+12}{3}=11$；2.计算总均值：两组共6个数据，总和为$6+7+8+10+11+12=54$，总均值为$\frac{54}{6}=9$；3.代入公式计算：组间离差平方和$=3×(7-9)^2 +3×(11-9)^2=3×4 +3×4=12+12=24$。
【答案】24
【知识点】组间离差平方和计算、均值计算
【点评】本题考查组间离差平方和的基础计算，核心是掌握其计算公式，步骤清晰，计算时需注意平方运算的准确性，属于方差分析的基础应用。
【难度系数】0.6
【解析】1.计算组均值：第一组{6,7,8}的均值为$\frac{6+7+8}{3}=7$，第二组{10,11,12}的均值为$\frac{10+11+12}{3}=11$；2.计算总均值：两组共6个数据，总和为$6+7+8+10+11+12=54$，总均值为$\frac{54}{6}=9$；3.代入公式计算：组间离差平方和$=3×(7-9)^2 +3×(11-9)^2=3×4 +3×4=12+12=24$。
【答案】24
【知识点】组间离差平方和计算、均值计算
【点评】本题考查组间离差平方和的基础计算，核心是掌握其计算公式，步骤清晰，计算时需注意平方运算的准确性，属于方差分析的基础应用。
【难度系数】0.6
15. 已知关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + x - m + 1 = 0 $，有以下三个结论：①当 $ m = 0 $ 时，方程只有一个实数解；②当 $ m ≠ 0 $ 时，方程有两个不相等的实数解；③无论 $ m $ 取何值，方程都有一个负数解。其中正确的是 ______（填序号）。
答案
15.①③
解析
【分析】
需分m=0和m≠0两种情况讨论方程类型：当m=0时，方程为一元一次方程；当m≠0时，方程为一元二次方程，结合方程类型判断解的情况。对三个结论逐一验证：先代入m=0判断解的个数，再计算m≠0时一元二次方程的判别式判断解的情况，最后代入特殊值验证是否存在固定负数解。
【解析】
1. 验证结论①：当m=0时，原方程化简为x+1=0，解得x=-1，仅一个实数解，故①正确；
2. 验证结论②：当m≠0时，原方程为一元二次方程，计算判别式Δ=1² -4·m·(-m+1)=1+4m²-4m=(2m-1)²≥0，当Δ=0时，方程有两个相等的实数解，并非两个不相等的实数解，故②错误；
3. 验证结论③：将x=-1代入原方程，左边=m·(-1)² + (-1)-m+1=m-1-m+1=0，即x=-1恒为方程的解，x=-1是负数，故无论m取何值，方程都有一个负数解，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
一元一次方程解、一元二次方程判别式、方程的解
【点评】
本题核心是分情况讨论参数m，避免忽略m=0时的一元一次方程情况，通过判别式判断一元二次方程解的个数，代入特殊值验证方程解是关键方法，需注意判别式的化简计算。
【难度系数】
0.5
需分m=0和m≠0两种情况讨论方程类型：当m=0时，方程为一元一次方程；当m≠0时，方程为一元二次方程，结合方程类型判断解的情况。对三个结论逐一验证：先代入m=0判断解的个数，再计算m≠0时一元二次方程的判别式判断解的情况，最后代入特殊值验证是否存在固定负数解。
【解析】
1. 验证结论①：当m=0时，原方程化简为x+1=0，解得x=-1，仅一个实数解，故①正确；
2. 验证结论②：当m≠0时，原方程为一元二次方程，计算判别式Δ=1² -4·m·(-m+1)=1+4m²-4m=(2m-1)²≥0，当Δ=0时，方程有两个相等的实数解，并非两个不相等的实数解，故②错误；
3. 验证结论③：将x=-1代入原方程，左边=m·(-1)² + (-1)-m+1=m-1-m+1=0，即x=-1恒为方程的解，x=-1是负数，故无论m取何值，方程都有一个负数解，③正确。
【答案】
①③
【知识点】
一元一次方程解、一元二次方程判别式、方程的解
【点评】
本题核心是分情况讨论参数m，避免忽略m=0时的一元一次方程情况，通过判别式判断一元二次方程解的个数，代入特殊值验证方程解是关键方法，需注意判别式的化简计算。
【难度系数】
0.5
