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【针对演练1】下列式子:①$\frac{5}{x}$;②$\frac{1}{2}x^2y$;③$-\frac{1}{4}$;④$\frac{1}{5+a}$;⑤$\frac{m-n}{π}$. 其中是分式的是 (
A.①③④
B.①②⑤
C.③⑤
D.①④
D
)A.①③④
B.①②⑤
C.③⑤
D.①④
答案
1.D
解析
【分析】
要判断给出的式子哪些是分式，首先明确分式的判定核心：式子的分母中含有字母的就是分式，注意圆周率π是固定常数，不属于字母。接下来我们逐个分析每个式子的分母是否含字母，就能筛选出符合要求的分式。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式，判定分式的关键是看分母是否含有字母。
逐个分析5个式子：
①$\frac{5}{x}$：分母为$x$，含有字母，是分式；
②$\frac{1}{2}x^2y$：无分母（或分母为1，不含字母），属于整式，不是分式；
③$-\frac{1}{4}$：是常数，属于整式，不是分式；
④$\frac{1}{5+a}$：分母为$5+a$，含有字母$a$，是分式；
⑤$\frac{m-n}{π}$：分母为$π$，$π$是常数，不是字母，属于整式，不是分式。
因此是分式的为①④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，错判⑤为分式，解题时紧扣“分母含字母”这一分式的判定核心即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断给出的式子哪些是分式，首先明确分式的判定核心：式子的分母中含有字母的就是分式，注意圆周率π是固定常数，不属于字母。接下来我们逐个分析每个式子的分母是否含字母，就能筛选出符合要求的分式。
【解析】
根据分式的定义：形如$\frac{A}{B}$（$A$、$B$是整式，$B$中含有字母且$B≠0$）的式子叫做分式，判定分式的关键是看分母是否含有字母。
逐个分析5个式子：
①$\frac{5}{x}$：分母为$x$，含有字母，是分式；
②$\frac{1}{2}x^2y$：无分母（或分母为1，不含字母），属于整式，不是分式；
③$-\frac{1}{4}$：是常数，属于整式，不是分式；
④$\frac{1}{5+a}$：分母为$5+a$，含有字母$a$，是分式；
⑤$\frac{m-n}{π}$：分母为$π$，$π$是常数，不是字母，属于整式，不是分式。
因此是分式的为①④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将常数$π$当作字母，错判⑤为分式，解题时紧扣“分母含字母”这一分式的判定核心即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
【针对演练2】下列等式中正确的是（
A.$\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
A
）A.$\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{a-1}{b-1}$
C.$\frac{a}{b}=\frac{a+1}{b+1}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{b^2}$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先明确分式基本性质的内容，再逐一验证每个选项是否符合性质要求，也可以通过举符合条件的特殊值代入计算，比较等式左右两边是否相等，快速排除错误选项。
【解析】
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们逐个分析选项：
A选项：分子、分母同时乘不为0的数2，符合分式基本性质，因此$\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}$成立，该选项正确。
B选项：是分子、分母同时减1，不符合分式基本性质中“乘除同一个非零整式”的要求，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1-1}{2-1}=0$，两边不相等，该选项错误。
C选项：是分子、分母同时加1，不符合分式基本性质，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，两边不相等，该选项错误。
D选项：是分子、分母同时平方，不符合分式基本性质，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，两边不相等，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对分式基本性质的准确理解，要注意只有分子分母同时乘除同一个不为0的数或整式时，分式的值才保持不变，遇到等式正误判断类题目时，采用举特殊值的方法可以快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式基本性质的应用，解题思路为：首先明确分式基本性质的内容，再逐一验证每个选项是否符合性质要求，也可以通过举符合条件的特殊值代入计算，比较等式左右两边是否相等，快速排除错误选项。
【解析】
分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们逐个分析选项：
A选项：分子、分母同时乘不为0的数2，符合分式基本性质，因此$\frac{a}{b}=\frac{2a}{2b}$成立，该选项正确。
B选项：是分子、分母同时减1，不符合分式基本性质中“乘除同一个非零整式”的要求，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1-1}{2-1}=0$，两边不相等，该选项错误。
C选项：是分子、分母同时加1，不符合分式基本性质，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1+1}{2+1}=\frac{2}{3}$，两边不相等，该选项错误。
D选项：是分子、分母同时平方，不符合分式基本性质，举反例验证：当a=1，b=2时，左边$\frac{1}{2}$，右边$\frac{1^2}{2^2}=\frac{1}{4}$，两边不相等，该选项错误。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对分式基本性质的准确理解，要注意只有分子分母同时乘除同一个不为0的数或整式时，分式的值才保持不变，遇到等式正误判断类题目时，采用举特殊值的方法可以快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
【针对演练3】下列分式的约分不正确的是（
A.$\frac{x^3}{x^2}=x$
B.$\frac{a^2}{2a}=a$
C.$\frac{-x+y}{x-y}=-1$
D.$\frac{-m^2n}{mn}=-m$
B
）A.$\frac{x^3}{x^2}=x$
B.$\frac{a^2}{2a}=a$
C.$\frac{-x+y}{x-y}=-1$
D.$\frac{-m^2n}{mn}=-m$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查分式约分的正误判断，解题思路为：首先明确分式约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来逐一分析每个选项的约分过程是否符合规则，找出约分错误的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\frac{x^3}{x^2}$，分子分母的公因式为$x^2$，将分子分母同时除以$x^2$，得$\frac{x^3÷ x^2}{x^2÷ x^2}=x$，约分正确。
B选项：$\frac{a^2}{2a}$，分子分母的公因式为$a$，将分子分母同时除以$a$，得$\frac{a^2÷ a}{2a÷ a}=\frac{a}{2}$，不等于$a$，约分错误。
C选项：先将分子变形，$-x+y=-(x-y)$，因此$\frac{-x+y}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}$，分子分母同时除以公因式$x-y$（$x≠ y$），得$-1$，约分正确。
D选项：$\frac{-m^2n}{mn}$，分子分母的公因式为$mn$，将分子分母同时除以$mn$，得$\frac{-m^2n÷ mn}{mn÷ mn}=-m$，约分正确。
综上，约分不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
分式的约分、分式的基本性质、公因式提取
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意约分需将分子分母的公因式全部约去，若分子或分母带有负号，可先处理符号再约分，避免因忽略系数或符号导致错误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式约分的正误判断，解题思路为：首先明确分式约分的依据是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变。接下来逐一分析每个选项的约分过程是否符合规则，找出约分错误的选项即可。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\frac{x^3}{x^2}$，分子分母的公因式为$x^2$，将分子分母同时除以$x^2$，得$\frac{x^3÷ x^2}{x^2÷ x^2}=x$，约分正确。
B选项：$\frac{a^2}{2a}$，分子分母的公因式为$a$，将分子分母同时除以$a$，得$\frac{a^2÷ a}{2a÷ a}=\frac{a}{2}$，不等于$a$，约分错误。
C选项：先将分子变形，$-x+y=-(x-y)$，因此$\frac{-x+y}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}$，分子分母同时除以公因式$x-y$（$x≠ y$），得$-1$，约分正确。
D选项：$\frac{-m^2n}{mn}$，分子分母的公因式为$mn$，将分子分母同时除以$mn$，得$\frac{-m^2n÷ mn}{mn÷ mn}=-m$，约分正确。
综上，约分不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
分式的约分、分式的基本性质、公因式提取
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题时要注意约分需将分子分母的公因式全部约去，若分子或分母带有负号，可先处理符号再约分，避免因忽略系数或符号导致错误。
【难度系数】
0.8
【针对演练4】对于$\frac{8x}{x-y} · \frac{y-x}{8y}$，计算结果正确的是 （
A.$\frac{y}{x}$
B.$-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$-\frac{y}{x}$
B
）A.$\frac{y}{x}$
B.$-\frac{x}{y}$
C.$\frac{x}{y}$
D.$-\frac{y}{x}$
答案
4.B
解析
【分析】
这是分式乘法的计算题，解题思路为先观察两个分式的分子和分母，发现因式$x-y$和$y-x$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再按照分式乘法的运算规则，将分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，之后约掉分子分母的公因式，化简得到结果，解题过程中要重点注意符号的变化。
【解析】
解：先对第二个分式的分子做符号变形，可得$y-x=-(x-y)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{8x}{x-y}·\frac{y-x}{8y}&=\frac{8x}{x-y}·\frac{-(x-y)}{8y}\\&=\frac{8x×[-(x-y)]}{(x-y)×8y}\\&\mathrm{约去分子分母的公因式8和}(x-y)\mathrm{，化简得：}\\&=-\frac{x}{y}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘法运算，符号变形，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘法的运算规则，以及互为相反数的因式的符号处理能力，做题时容易因忽略符号变化出错，解题时需要细心处理符号问题。
【难度系数】
0.7
这是分式乘法的计算题，解题思路为先观察两个分式的分子和分母，发现因式$x-y$和$y-x$互为相反数，先将$y-x$变形为$-(x-y)$，再按照分式乘法的运算规则，将分子相乘的积作为新分子、分母相乘的积作为新分母，之后约掉分子分母的公因式，化简得到结果，解题过程中要重点注意符号的变化。
【解析】
解：先对第二个分式的分子做符号变形，可得$y-x=-(x-y)$，代入原式计算：
$\begin{aligned}\frac{8x}{x-y}·\frac{y-x}{8y}&=\frac{8x}{x-y}·\frac{-(x-y)}{8y}\\&=\frac{8x×[-(x-y)]}{(x-y)×8y}\\&\mathrm{约去分子分母的公因式8和}(x-y)\mathrm{，化简得：}\\&=-\frac{x}{y}\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
分式乘法运算，符号变形，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，主要考查分式乘法的运算规则，以及互为相反数的因式的符号处理能力，做题时容易因忽略符号变化出错，解题时需要细心处理符号问题。
【难度系数】
0.7
【针对演练5】化简$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -1}$的结果是 （
A.$\frac{2}{x -1}$
B.$\frac{2}{x^3 -1}$
C.$\frac{2}{x +1}$
D.$2(x+1)$
C
）A.$\frac{2}{x -1}$
B.$\frac{2}{x^3 -1}$
C.$\frac{2}{x +1}$
D.$2(x+1)$
答案
5.C
解析
【分析】
这是分式化简的基础题，解题思路如下：第一步先对多项式$x^2-1$因式分解，它符合平方差公式的结构，可以分解为$(x+1)(x-1)$；第二步根据分式除法的运算规则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，把除法运算转化为乘法运算；第三步找出分子和分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
1. 因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，原式可写为：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{1}{x-1}$
2. 将除法转化为乘法：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x-1)$
3. 约去分子和分母的公因式$x-1$，得到结果：
$\frac{2}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
分式除法法则、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法的转化规则，以及常见多项式的因式分解方法，运算时注意公因式要找全，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简的基础题，解题思路如下：第一步先对多项式$x^2-1$因式分解，它符合平方差公式的结构，可以分解为$(x+1)(x-1)$；第二步根据分式除法的运算规则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，把除法运算转化为乘法运算；第三步找出分子和分母的公因式进行约分，即可得到最简结果。
【解析】
1. 因式分解分母：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，原式可写为：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{1}{x-1}$
2. 将除法转化为乘法：
$\frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x-1)$
3. 约去分子和分母的公因式$x-1$，得到结果：
$\frac{2}{x+1}$
【答案】
C
【知识点】
分式除法法则、平方差公式、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法的转化规则，以及常见多项式的因式分解方法，运算时注意公因式要找全，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
【针对演练6】化简$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} - \frac{b}{a - b}$的结果是（
A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{b}{a - b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$
A
）A.$\frac{a}{a - b}$
B.$\frac{b}{a - b}$
C.$\frac{a}{a + b}$
D.$\frac{b}{a + b}$
答案
6.A
解析
【分析】
这是分式化简类题目，解题思路如下：首先观察第一个分式的分子和分母，分别可以用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，先对第一个分式约分；约分后两个分式的分母相同，按照同分母分式减法的规则计算；最后化简计算结果，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：第一步先对第一个分式的分子、分母因式分解：
分子$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，分母$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
原式可变形为：
$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b}$
约去公因式$(a+b)$（需满足$a+b≠0$），得：
$\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{(a+b)-b}{a-b}$
化简分子得$a+b-b=a$，因此原式$=\frac{a}{a-b}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解，分式约分，分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对可因式分解的分子、分母分解后约分，将异分母分式减法转化为同分母分式减法再计算，计算时要注意分子合并同类项不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这是分式化简类题目，解题思路如下：首先观察第一个分式的分子和分母，分别可以用完全平方公式、平方差公式进行因式分解，先对第一个分式约分；约分后两个分式的分母相同，按照同分母分式减法的规则计算；最后化简计算结果，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：第一步先对第一个分式的分子、分母因式分解：
分子$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，分母$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
原式可变形为：
$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a-b)} - \frac{b}{a-b}$
约去公因式$(a+b)$（需满足$a+b≠0$），得：
$\frac{a+b}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\frac{(a+b)-b}{a-b}$
化简分子得$a+b-b=a$，因此原式$=\frac{a}{a-b}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解，分式约分，分式加减运算
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对可因式分解的分子、分母分解后约分，将异分母分式减法转化为同分母分式减法再计算，计算时要注意分子合并同类项不要出现符号错误。
【难度系数】
0.8
【针对演练7】甲、乙二人做某种零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，若设乙每小时做$ x $个，则可列方程为（
A.$\frac{90}{x} = \frac{60}{x - 6}$
B.$\frac{90}{x - 6} = \frac{60}{x}$
C.$\frac{90}{x + 6} = \frac{60}{x}$
D.$\frac{90}{x} = \frac{60}{x + 6}$
C
）A.$\frac{90}{x} = \frac{60}{x - 6}$
B.$\frac{90}{x - 6} = \frac{60}{x}$
C.$\frac{90}{x + 6} = \frac{60}{x}$
D.$\frac{90}{x} = \frac{60}{x + 6}$
答案
7.C
解析
【分析】
这是一道分式方程实际应用类题目，解题时先根据设出的乙的工作效率表示出甲的工作效率，再抓住核心等量关系“甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”，结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，最后根据时间相等列出方程即可。
【解析】
已知设乙每小时做$x$个，甲每小时比乙多做6个，因此甲每小时做$(x+6)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲做90个的时间为$\frac{90}{x+6}$，乙做60个的时间为$\frac{60}{x}$。
由题中两个时间相等的条件，可列方程：$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题核心是找准等量关系，易错点是容易混淆甲乙的工作效率，导致列式错误，只要理清两个主体的效率、总量、时间三者的对应关系就能正确解题。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程实际应用类题目，解题时先根据设出的乙的工作效率表示出甲的工作效率，再抓住核心等量关系“甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”，结合“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出两人的工作时间，最后根据时间相等列出方程即可。
【解析】
已知设乙每小时做$x$个，甲每小时比乙多做6个，因此甲每小时做$(x+6)$个。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”可得：
甲做90个的时间为$\frac{90}{x+6}$，乙做60个的时间为$\frac{60}{x}$。
由题中两个时间相等的条件，可列方程：$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；工程问题基本公式
【点评】
本题是工程类分式方程的基础题型，解题核心是找准等量关系，易错点是容易混淆甲乙的工作效率，导致列式错误，只要理清两个主体的效率、总量、时间三者的对应关系就能正确解题。
【难度系数】
0.8
