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10.一块长方形的铁皮长30厘米，宽25厘米，如果从四个角各切掉边长为5厘米的正方形，然后做成一个无盖的长方体盒子，这个盒子的容积是多少毫升？
答案
$30 - 5×2 = 20$（厘米）
$25 - 5×2 = 15$（厘米）
$20×15×5 = 1500$（立方厘米）
1500立方厘米 = 1500毫升
答：这个盒子的容积是1500毫升。
$25 - 5×2 = 15$（厘米）
$20×15×5 = 1500$（立方厘米）
1500立方厘米 = 1500毫升
答：这个盒子的容积是1500毫升。
解析
【分析】
要计算无盖长方体盒子的容积，首先需要确定盒子的长、宽、高。四个角各切掉边长5厘米的正方形后，原长方形的长和宽都会减少2个5厘米（因为左右、上下各切掉1个正方形），盒子的高就是切掉的正方形的边长5厘米。再根据长方体容积=长×宽×高计算容积，最后换算成毫升单位即可。
【解析】
首先计算盒子的长：
$30 - 5×2 = 20$（厘米）
再计算盒子的宽：
$25 - 5×2 = 15$（厘米）
盒子的高等于切掉的正方形边长，即5厘米。
根据长方体容积公式计算容积：
$20×15×5 = 1500$（立方厘米）
因为1立方厘米=1毫升，所以1500立方厘米 = 1500毫升。
【答案】
这个盒子的容积是1500毫升。
【知识点】
长方体容积计算、体积与容积单位换算、图形裁剪实际应用
【点评】
本题属于几何实际应用类题目，解题的核心是准确推导裁剪后长方体的长宽高，需注意长和宽均要减去2倍的切掉正方形的边长，避免只减去单段长度的错误，同时要牢记立方厘米和毫升的等量换算关系。
【难度系数】
0.7
要计算无盖长方体盒子的容积，首先需要确定盒子的长、宽、高。四个角各切掉边长5厘米的正方形后，原长方形的长和宽都会减少2个5厘米（因为左右、上下各切掉1个正方形），盒子的高就是切掉的正方形的边长5厘米。再根据长方体容积=长×宽×高计算容积，最后换算成毫升单位即可。
【解析】
首先计算盒子的长：
$30 - 5×2 = 20$（厘米）
再计算盒子的宽：
$25 - 5×2 = 15$（厘米）
盒子的高等于切掉的正方形边长，即5厘米。
根据长方体容积公式计算容积：
$20×15×5 = 1500$（立方厘米）
因为1立方厘米=1毫升，所以1500立方厘米 = 1500毫升。
【答案】
这个盒子的容积是1500毫升。
【知识点】
长方体容积计算、体积与容积单位换算、图形裁剪实际应用
【点评】
本题属于几何实际应用类题目，解题的核心是准确推导裁剪后长方体的长宽高，需注意长和宽均要减去2倍的切掉正方形的边长，避免只减去单段长度的错误，同时要牢记立方厘米和毫升的等量换算关系。
【难度系数】
0.7
11.今年小林的爷爷、爸爸和小林本人的年龄和为 110 岁,而小林的爸爸的年龄相当于总和的$\frac{7}{22}$,相当于小林爷爷年龄的$\frac{7}{13}$,则小林的爷爷比小林大多少岁?
答案
$110×\frac{7}{22}=35$（岁）
$35÷\frac{7}{13}=65$（岁）
$110-35-65=10$（岁）
$65-10=55$（岁）
答：小林的爷爷比小林大55岁。
$35÷\frac{7}{13}=65$（岁）
$110-35-65=10$（岁）
$65-10=55$（岁）
答：小林的爷爷比小林大55岁。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要先分别求出爸爸、爷爷、小林的年龄，再计算爷爷和小林的年龄差。解题思路如下：首先，已知三人年龄总和，且爸爸年龄占总和的$\frac{7}{22}$，将三人年龄总和看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法可算出爸爸的年龄；其次，爸爸年龄是爷爷年龄的$\frac{7}{13}$，将爷爷年龄看作单位“1”，单位“1”未知，用已求出的爸爸年龄除以对应分率就能算出爷爷的年龄；然后用三人总年龄减去爸爸、爷爷的年龄，得到小林的年龄；最后用爷爷年龄减去小林年龄，即可求出年龄差。
【解析】
1. 计算爸爸的年龄：
$110×\frac{7}{22}=35$（岁）
2. 计算爷爷的年龄：
$35÷\frac{7}{13}=65$（岁）
3. 计算小林的年龄：
$110-35-65=10$（岁）
4. 计算爷爷比小林大的岁数：
$65-10=55$（岁）
【答案】
小林的爷爷比小林大55岁。
【知识点】
分数乘法应用、分数除法应用、年龄差计算
【点评】
本题结合生活中的年龄场景考查分数乘除法的实际运用，解题关键是找准每一步分数对应的单位“1”，先求出爸爸年龄这个中间过渡量，再依次推导其余量即可得出结果，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要先分别求出爸爸、爷爷、小林的年龄，再计算爷爷和小林的年龄差。解题思路如下：首先，已知三人年龄总和，且爸爸年龄占总和的$\frac{7}{22}$，将三人年龄总和看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法可算出爸爸的年龄；其次，爸爸年龄是爷爷年龄的$\frac{7}{13}$，将爷爷年龄看作单位“1”，单位“1”未知，用已求出的爸爸年龄除以对应分率就能算出爷爷的年龄；然后用三人总年龄减去爸爸、爷爷的年龄，得到小林的年龄；最后用爷爷年龄减去小林年龄，即可求出年龄差。
【解析】
1. 计算爸爸的年龄：
$110×\frac{7}{22}=35$（岁）
2. 计算爷爷的年龄：
$35÷\frac{7}{13}=65$（岁）
3. 计算小林的年龄：
$110-35-65=10$（岁）
4. 计算爷爷比小林大的岁数：
$65-10=55$（岁）
【答案】
小林的爷爷比小林大55岁。
【知识点】
分数乘法应用、分数除法应用、年龄差计算
【点评】
本题结合生活中的年龄场景考查分数乘除法的实际运用，解题关键是找准每一步分数对应的单位“1”，先求出爸爸年龄这个中间过渡量，再依次推导其余量即可得出结果，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
12.一个无盖的长方体木箱,从外面量,长6dm,宽4.2dm,高3.2dm。如果这个木箱是用厚1cm的木板做的,木箱的容积是多少?
答案
1 cm=0.1 dm
(6-0.1×2)×(4.2-0.1×2)×(3.2-0.1)=71.92(dm³)=71.92 L
答:木箱的容积是71.92 L。
(6-0.1×2)×(4.2-0.1×2)×(3.2-0.1)=71.92(dm³)=71.92 L
答:木箱的容积是71.92 L。
解析
【分析】
要计算木箱的容积，首先要明确容积是容器内部可容纳的体积，需要先求出木箱内部的长、宽、高。首先统一单位，把木板厚度1cm换算成以dm为单位的数；其次注意木箱是无盖的，内部的长和宽都需要减去两侧木板的厚度，内部的高只需要减去底部一块木板的厚度；最后用“内部长×内部宽×内部高”算出容积，再换算成容积单位即可。
【解析】
1. 单位换算：$1\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{dm}$
2. 计算木箱内部尺寸：
内部长：$6 - 0.1×2 = 5.8\ \mathrm{dm}$
内部宽：$4.2 - 0.1×2 = 4\ \mathrm{dm}$
内部高（无盖仅底部有木板）：$3.2 - 0.1 = 3.1\ \mathrm{dm}$
3. 计算容积：
$5.8×4×3.1 = 71.92\ \mathrm{dm}^3$
因为$1\ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{L}$，所以$71.92\ \mathrm{dm}^3=71.92\ \mathrm{L}$
【答案】
木箱的容积是71.92 L。
【知识点】
长方体容积计算，长度单位换算，立体图形实际应用
【点评】
本题易错点有两个，一是忘记统一长度单位直接计算，二是忽略木箱无盖的特点，误将内部高减去2倍木板厚度，解题时要结合容器的实际结构分析内部尺寸。
【难度系数】
0.6
要计算木箱的容积，首先要明确容积是容器内部可容纳的体积，需要先求出木箱内部的长、宽、高。首先统一单位，把木板厚度1cm换算成以dm为单位的数；其次注意木箱是无盖的，内部的长和宽都需要减去两侧木板的厚度，内部的高只需要减去底部一块木板的厚度；最后用“内部长×内部宽×内部高”算出容积，再换算成容积单位即可。
【解析】
1. 单位换算：$1\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{dm}$
2. 计算木箱内部尺寸：
内部长：$6 - 0.1×2 = 5.8\ \mathrm{dm}$
内部宽：$4.2 - 0.1×2 = 4\ \mathrm{dm}$
内部高（无盖仅底部有木板）：$3.2 - 0.1 = 3.1\ \mathrm{dm}$
3. 计算容积：
$5.8×4×3.1 = 71.92\ \mathrm{dm}^3$
因为$1\ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{L}$，所以$71.92\ \mathrm{dm}^3=71.92\ \mathrm{L}$
【答案】
木箱的容积是71.92 L。
【知识点】
长方体容积计算，长度单位换算，立体图形实际应用
【点评】
本题易错点有两个，一是忘记统一长度单位直接计算，二是忽略木箱无盖的特点，误将内部高减去2倍木板厚度，解题时要结合容器的实际结构分析内部尺寸。
【难度系数】
0.6
13. 分别算出下面三个算式的得数。从中你能发现什么规律？
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}=$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}=$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=$
答案
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{10})=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{10})=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
观察算式中每个加数的特点：分子都是2，分母是两个相差2的相邻偶数的乘积。我们可以用裂项法把每个加数拆成两个分数的差，即$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，拆分后相加时，中间的减项和对应的加项会相互抵消，最后仅需计算首尾剩余两项的差即可快速得出结果，无需逐个通分计算。
【解析】
1. 计算第一个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
2. 计算第二个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
3. 计算第三个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{10})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{5}{10}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
规律：形如$\frac{2}{n(n+2)}$（n为正整数）的分数可以拆成$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$的形式，多个符合该形式的分数相加时，中间项会相互抵消，最终结果等于第一个拆分出的被减数减去最后一个拆分出的减数。
【答案】
三个算式的得数依次为$\frac{1}{3}$、$\frac{3}{8}$、$\frac{2}{5}$；规律为：$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，多个该类相邻形式的分数相加，中间项抵消，结果为拆分后的首项减末项。
【知识点】
裂项相消法，分数简便运算，分数加减法
【点评】
本题重点考察分数简便计算的裂项技巧，掌握裂项拆分规律可以避免繁琐的通分运算，大幅提升计算效率，解题时需注意拆分的正确性，不要遗漏首尾两项。
【难度系数】
0.6
观察算式中每个加数的特点：分子都是2，分母是两个相差2的相邻偶数的乘积。我们可以用裂项法把每个加数拆成两个分数的差，即$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，拆分后相加时，中间的减项和对应的加项会相互抵消，最后仅需计算首尾剩余两项的差即可快速得出结果，无需逐个通分计算。
【解析】
1. 计算第一个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
2. 计算第二个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$
3. 计算第三个算式：
$\frac{2}{2×4}+\frac{2}{4×6}+\frac{2}{6×8}+\frac{2}{8×10}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{8}-\frac{1}{10})$
$=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{5}{10}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$
规律：形如$\frac{2}{n(n+2)}$（n为正整数）的分数可以拆成$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$的形式，多个符合该形式的分数相加时，中间项会相互抵消，最终结果等于第一个拆分出的被减数减去最后一个拆分出的减数。
【答案】
三个算式的得数依次为$\frac{1}{3}$、$\frac{3}{8}$、$\frac{2}{5}$；规律为：$\frac{2}{n(n+2)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，多个该类相邻形式的分数相加，中间项抵消，结果为拆分后的首项减末项。
【知识点】
裂项相消法，分数简便运算，分数加减法
【点评】
本题重点考察分数简便计算的裂项技巧，掌握裂项拆分规律可以避免繁琐的通分运算，大幅提升计算效率，解题时需注意拆分的正确性，不要遗漏首尾两项。
【难度系数】
0.6
