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7. 在同一平面直角坐标系中, 函数 $y=-mx(m ≠ 0)$与 $y=2x+m$ 的图象大致是(
B
).答案
7.B [解析]当 $m＞0$ 时, $-m＜0$, 函数 $y=-m x(m ≠ 0)$ 的图象过原点且经过第二、四象限, $y=2 x+m$ 的图象经过第一、二、三象限,选项 B 符合;
当 $m＜0$ 时, $-m＞0$, 函数 $y=-m x(m ≠ 0)$ 的图象过原点且经过第一、三象限, $y=2 x+m$ 的图象经过第一、三、四象限,没有符合选项. 故选 B.
关键提醒 本题考查了正比例函数及一次函数的图象,解题的关键是了解这两种函数的性质.
当 $m＜0$ 时, $-m＞0$, 函数 $y=-m x(m ≠ 0)$ 的图象过原点且经过第一、三象限, $y=2 x+m$ 的图象经过第一、三、四象限,没有符合选项. 故选 B.
关键提醒 本题考查了正比例函数及一次函数的图象,解题的关键是了解这两种函数的性质.
8. 若直线 $l_1$ 经过点 $(0,4)$，$l_2$ 经过点 $(3,2)$，且$l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点坐标为（
A.$(-2,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-6,0)$
D.$(6,0)$
B
）.A.$(-2,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-6,0)$
D.$(6,0)$
答案
8.B [解析]
∵直线 $l_1$ 经过点 $(0,4)$,$l_2$ 经过点 $(3,2)$,且 $l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称,
∴两直线相交于 $x$ 轴上,直线 $l_1$ 经过点 $(3,-2)$,$l_2$ 经过点 $(0,-4)$.
设直线 $l_1$ 的表达式为 $y=k x+b$,把 $(0,4)$ 和 $(3,-2)$ 代入,
得 $\begin{cases}b=4, \\ 3 k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2, \\ b=4,\end{cases}$
∴直线 $l_1$ 的表达式为 $y=-2 x+4$.
令 $y=0$,则 $-2 x+4=0$,解得 $x=2$,即 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点坐标为 $(2,0)$. 故选 B.
∵直线 $l_1$ 经过点 $(0,4)$,$l_2$ 经过点 $(3,2)$,且 $l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称,
∴两直线相交于 $x$ 轴上,直线 $l_1$ 经过点 $(3,-2)$,$l_2$ 经过点 $(0,-4)$.
设直线 $l_1$ 的表达式为 $y=k x+b$,把 $(0,4)$ 和 $(3,-2)$ 代入,
得 $\begin{cases}b=4, \\ 3 k+b=-2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-2, \\ b=4,\end{cases}$
∴直线 $l_1$ 的表达式为 $y=-2 x+4$.
令 $y=0$,则 $-2 x+4=0$,解得 $x=2$,即 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点坐标为 $(2,0)$. 故选 B.
二、填空题
9. (2024·大庆中考)写出一个过点$(1,1)$且$y$的值随着$x$值增大而减小的函数表达式:
9. (2024·大庆中考)写出一个过点$(1,1)$且$y$的值随着$x$值增大而减小的函数表达式:
$y=-x+2$(答案不唯一)
.答案
9.$y=-x+2$(答案不唯一) [解析]由题意,可令这个函数的表达式为 $y=-x+b$,
将点 $(1,1)$ 代入函数表达式,得 $b=2$,
所以函数表达式为 $y=-x+2$.
归纳总结 本题主要考查了一次函数的性质:当 $k＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,函数图象从左到右呈上升趋势;当 $k＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,函数图象从左到右呈下降趋势.
将点 $(1,1)$ 代入函数表达式,得 $b=2$,
所以函数表达式为 $y=-x+2$.
归纳总结 本题主要考查了一次函数的性质:当 $k＞0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,函数图象从左到右呈上升趋势;当 $k＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,函数图象从左到右呈下降趋势.
10. (2024·镇江中考)点 $A(1,y_1),B(2,y_2)$ 在一次函数 $y=3x+1$ 的图象上, 则 $y_1$
$＜$
$y_2$(用“$＜$”“$=$”或“$＞$”填空).答案
10.$＜$ [解析]
∵$k=3＞0$,
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
又点 $A(1,y_1),B(2,y_2)$ 在一次函数 $y=3 x+1$ 的图象上,且 $1＜2$,
∴$y_1＜y_2$.
∵$k=3＞0$,
∴$y$ 随 $x$ 的增大而增大.
又点 $A(1,y_1),B(2,y_2)$ 在一次函数 $y=3 x+1$ 的图象上,且 $1＜2$,
∴$y_1＜y_2$.
11. (2024·黑龙江中考)在函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-3}}{x+2}$ 中，自变量$x$的取值范围是
$x≥3$
。答案
11.$x≥3$ [解析]由题意,得 $x-3≥0$ 且 $x+2≠0$,解得 $x≥3$.
12. 中考新考法 满足结论的条件开放 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为$(1,3)$，$(n,3)$，若直线$y=2x$与线段AB有公共点，则$n$的值可以为
2(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
12.2(答案不唯一) [解析]
∵直线 $y=2 x$ 与线段 $AB$ 有公共点,
∴$2 n ≥ 3$,
∴$n ≥ \dfrac{3}{2}$,
∴$n=2$ 符合题意.
归纳总结 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,用一次函数图象上点的坐标特征,找出关于 $n$ 的一元一次不等式是解题的关键.
∵直线 $y=2 x$ 与线段 $AB$ 有公共点,
∴$2 n ≥ 3$,
∴$n ≥ \dfrac{3}{2}$,
∴$n=2$ 符合题意.
归纳总结 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,用一次函数图象上点的坐标特征,找出关于 $n$ 的一元一次不等式是解题的关键.
13. 如图,三角形$ABC$的高$AD=4,BC=6$,点$E$在$BC$上运动,若设$BE$的长为$x$,三角形$ACE$的面积为$y$,则$y$关于$x$的函数表达式为
$y=-2x+12$
.答案
13.$y=-2x+12$ [解析]
∵$BC=6$,$BE=x$,
∴$CE=6-x$.
∴$y=\dfrac{1}{2} × 4 ×(6-x)=-2 x+12$.
∵$BC=6$,$BE=x$,
∴$CE=6-x$.
∴$y=\dfrac{1}{2} × 4 ×(6-x)=-2 x+12$.
14. 如图,直线$y = -x + m$与$y = nx + 4n(n ≠ 0)$的交点的横坐标为$-2$,则关于$x$的不等式$-x + m ＞ nx + 4n ＞ 0$的整数解是
$-3$
.答案
14.$-3$ [解析]
∵直线 $y=-x+m$ 与 $y=n x+4 n$ 的交点的横坐标为 $-2$,
∴关于 $x$ 的不等式 $-x+m＞n x+4 n$ 的解集为 $x＜-2$.
∵当 $y=n x+4 n=0$ 时, $x=-4$,
∴$n x+4 n＞0$ 的解集为 $x＞-4$.
∴$-x+m＞n x+4 n＞0$ 的解集为 $-4＜x＜-2$.
∴整数解是 $-3$.
∵直线 $y=-x+m$ 与 $y=n x+4 n$ 的交点的横坐标为 $-2$,
∴关于 $x$ 的不等式 $-x+m＞n x+4 n$ 的解集为 $x＜-2$.
∵当 $y=n x+4 n=0$ 时, $x=-4$,
∴$n x+4 n＞0$ 的解集为 $x＞-4$.
∴$-x+m＞n x+4 n＞0$ 的解集为 $-4＜x＜-2$.
∴整数解是 $-3$.
15. (2024·潍坊中考)请写出同时满足以下两个条件的一个函数
$y=-x+2$(答案不唯一)
.①$y$随着$x$的增大而减小；②函数图象与$y$轴正半轴相交.答案
15.$y=-x+2$(答案不唯一) [解析]
∵$y$ 随着 $x$ 的增大而减小,
∴一次函数的比例系数 $k＜0$,
又函数图象与 $y$ 轴正半轴相交,
∴$b＞0$,
∴同时满足题中两个条件的一次函数可以是 $y=-x+2$.
∵$y$ 随着 $x$ 的增大而减小,
∴一次函数的比例系数 $k＜0$,
又函数图象与 $y$ 轴正半轴相交,
∴$b＞0$,
∴同时满足题中两个条件的一次函数可以是 $y=-x+2$.
16. 如图(1),在长方形$ABCD$中,动点$P$从点$B$出发,沿$BC,CD,DA$运动至点$A$停止,设点$P$运动的路程为$x$,$△ ABP$的面积为$y$,如果$y$关于$x$的函数图象如图(2)所示,那么$△ ABC$的周长是
$8+\sqrt{34}$
.答案
16.$8+\sqrt{34}$ [解析]由题意可知,动点 $P$ 从点 $B$ 出发,沿 $BC,CD,DA$ 运动至点 $A$ 停止,而当点 $P$ 运动到点 $C,D$ 之间时,$△ ABP$ 的面积不变.
函数图象上横轴表示点 $P$ 运动的路程,当 $x=3$ 时,$y$ 开始不变,说明 $BC=3$;当 $x=8$ 时,$y$ 接着变化,说明 $CD=8-3=5$,
∴$AB=5$,$BC=3$.
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{34}$,
∴$△ ABC$ 的周长是 $AB+BC+AC=8+\sqrt{34}$.
归纳总结 本题主要考查了动点问题的函数图象,根据函数的图象求出线段的长度从而得出三角形的周长是解题的关键.
函数图象上横轴表示点 $P$ 运动的路程,当 $x=3$ 时,$y$ 开始不变,说明 $BC=3$;当 $x=8$ 时,$y$ 接着变化,说明 $CD=8-3=5$,
∴$AB=5$,$BC=3$.
∴$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{34}$,
∴$△ ABC$ 的周长是 $AB+BC+AC=8+\sqrt{34}$.
归纳总结 本题主要考查了动点问题的函数图象,根据函数的图象求出线段的长度从而得出三角形的周长是解题的关键.
17. 若一次函数 $y=kx+b$（$k$ 为常数且 $k ≠ 0$）的图象经过点$(-2,0)$，则关于 $x$ 的方程 $k(x-5)+b=0$ 的解为
$x=3$
.答案
17.$x=3$ [解析]
∵直线 $y=k(x-5)+b$ 是由直线 $y=k x+b$ 向右平移 5 个单位长度所得,$y=k x+b$ 与 $x$ 轴交点为 $(-2,0)$,
∴直线 $y=k(x-5)+b$ 与 $x$ 轴交点坐标为 $(3,0)$,
∴$k(x-5)+b=0$ 的解为 $x=3$.
∵直线 $y=k(x-5)+b$ 是由直线 $y=k x+b$ 向右平移 5 个单位长度所得,$y=k x+b$ 与 $x$ 轴交点为 $(-2,0)$,
∴直线 $y=k(x-5)+b$ 与 $x$ 轴交点坐标为 $(3,0)$,
∴$k(x-5)+b=0$ 的解为 $x=3$.
18. 如图, 在坐标轴上取点$A_{1}(2,0)$,作$x$轴的垂线与直线$y=2x$交于点$B_{1}$,作等腰直角三角形$A_{1}B_{1}A_{2}$;又过点$A_{2}$作$x$轴的垂线与直线$y=2x$交于点$B_{2}$,作等腰直角三角形$A_{2}B_{2}A_{3}$;…,如此反复作等腰直角三角形,当作到点$A_{n}$($n$为正整数)时,则点$A_{n}$的坐标是
$(2×3^{n-1},0)$
.答案
18.$(2×3^{n-1},0)$ [解析]
∵点 $B_1,B_2,B_3,\dots,B_n$ 在直线 $y=2x$ 的图象上,
∴$A_1B_1=4$,$A_2B_2=2×(2+4)=12$,$A_3B_3=2×(2+4+12)=36$,$A_4B_4=2×(2+4+12+36)=108$,$\dots$,
∴$A_nB_n=4×3^{n-1}$($n$ 为正整数).
∵$OA_n=\dfrac{1}{2}A_nB_n$,
∴点 $A_n$ 的坐标为 $(2×3^{n-1},0)$.
∵点 $B_1,B_2,B_3,\dots,B_n$ 在直线 $y=2x$ 的图象上,
∴$A_1B_1=4$,$A_2B_2=2×(2+4)=12$,$A_3B_3=2×(2+4+12)=36$,$A_4B_4=2×(2+4+12+36)=108$,$\dots$,
∴$A_nB_n=4×3^{n-1}$($n$ 为正整数).
∵$OA_n=\dfrac{1}{2}A_nB_n$,
∴点 $A_n$ 的坐标为 $(2×3^{n-1},0)$.
三、解答题
19. 已知直线 $y_1 = -x + 1$ 与直线 $y_2 = 2x - 2$ 相交于点 $P$, 它们与 $y$ 轴分别交于点 $A,B$.
(1)在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)观察图象,分别求出当 $x$ 为何值时,$y_1 = y_2$,$y_1 ≥ y_2$；
(3)求$△ ABP$的面积.
19. 已知直线 $y_1 = -x + 1$ 与直线 $y_2 = 2x - 2$ 相交于点 $P$, 它们与 $y$ 轴分别交于点 $A,B$.
(1)在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象；
(2)观察图象,分别求出当 $x$ 为何值时,$y_1 = y_2$,$y_1 ≥ y_2$；
(3)求$△ ABP$的面积.
答案
19.(1)
∵当 $x=0$ 时,$y_1=1$;当 $y_1=0$ 时,$x=1$,
∴直线 $y_1=-x+1$ 经过点 $(0,1),(1,0)$.
同理,直线 $y_2=2x-2$ 经过点 $(0,-2),(1,0)$.
画出 $y_1,y_2$ 的图象如图所示：
(2)由(1)可知这两个函数图象的交点坐标是 $(1,0)$.
由图中的两条直线知,当 $x=1$ 时,$y_1=y_2$;当 $x ≤ 1$ 时,$y_1 ≥ y_2$.
(3)
∵$A(0,1)$,$P(1,0)$,$B(0,-2)$,
∴$AB=3$,$OP=1$,
∴$△ ABP$ 的面积是 $\dfrac{1}{2}AB · OP=\dfrac{1}{2} × 3 × 1=\dfrac{3}{2}$.
