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8. 如图,若一块长方形广场的原长为18米、宽为10米;现因施工改造,将广场的长和宽各增加x米,广场面积增加了20平方米,同时以长方形的四边为直径分别向外修建半圆形花圃.请你计算出花圃的总面积为(
A.$90π$
B.$116π$
C.$120π$
D.$128π$
B
)平方米.A.$90π$
B.$116π$
C.$120π$
D.$128π$
答案
【点拨】本题考查利用完全平方公式变形求几何图形面积.
【解析】设扩大后的广场的长为$a = (18 + x)$米,宽为$b = (10 + x)$米,依题意,得$ab = 18 × 10 + 20 = 200$,$a - b = (18 + x) - (10 + x) = 8$,所以$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 8^2 + 2 × 200 = 464$. 花圃的总面积$=(\frac{a}{2})^2 π + (\frac{b}{2})^2 π = \frac{(a^2 + b^2)}{4}π = \frac{464}{4}π = 116π$(平方米). 故选 B.
【解析】设扩大后的广场的长为$a = (18 + x)$米,宽为$b = (10 + x)$米,依题意,得$ab = 18 × 10 + 20 = 200$,$a - b = (18 + x) - (10 + x) = 8$,所以$a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 8^2 + 2 × 200 = 464$. 花圃的总面积$=(\frac{a}{2})^2 π + (\frac{b}{2})^2 π = \frac{(a^2 + b^2)}{4}π = \frac{464}{4}π = 116π$(平方米). 故选 B.
9. 某款手机芯片的面积大约仅有 $0.000\ 000\ 008\ 03\ \mathrm{mm}^2$，将 $0.000\ 000\ 008\ 03$ 用科学记数法表示为
$8.03 × 10^{-9}$
.答案
【点拨】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数.
【解析】$0.000\ 000\ 008\ 03 = 8.03 × 10^{-9}$. 故答案为$8.03 × 10^{-9}$.
【解析】$0.000\ 000\ 008\ 03 = 8.03 × 10^{-9}$. 故答案为$8.03 × 10^{-9}$.
10. 计算：$(-2)^{2025} × 0.5^{2024} =$
-2
.答案
【点拨】本题考查积的乘方的逆应用.
【解析】$(-2)^{2025} × 0.5^{2024} = (-2) × (-2)^{2024} × 0.5^{2024} = -2 × (-2 × 0.5)^{2024} = -2 × 1 = -2$. 故答案为 -2.
【解析】$(-2)^{2025} × 0.5^{2024} = (-2) × (-2)^{2024} × 0.5^{2024} = -2 × (-2 × 0.5)^{2024} = -2 × 1 = -2$. 故答案为 -2.
11. 若有理数 $ m,n $ 满足 $ |m - 2| + (n - 2020)^2 = 0 $，则 $ m^{-1} + n^0 = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
【点拨】本题考查绝对值和平方的非负性,零指数幂和负整数指数幂.
【解析】因为$|m - 2| + (n - 2\ 020)^2 = 0$,所以$m - 2 = 0$,$n - 2\ 020 = 0$,解得$m = 2$,$n = 2\ 020$,所以$m^{-1} + n^0 = 2^{-1} + 2\ 020^0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$.
【解析】因为$|m - 2| + (n - 2\ 020)^2 = 0$,所以$m - 2 = 0$,$n - 2\ 020 = 0$,解得$m = 2$,$n = 2\ 020$,所以$m^{-1} + n^0 = 2^{-1} + 2\ 020^0 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$. 故答案为$\frac{3}{2}$.
12. 如图,长方形ABCD的长和宽分别为5 cm,3 cm,E,F分别是两边上的点,将四边形AEFD沿直线EF折叠,使点A落在点A'处,则图中阴影部分的周长为
16
cm.答案
【点拨】本题考查翻折变换,根据翻折变换的性质得出图中阴影部分的周长是解题的关键.
【解析】因为将四边形 AEFD 沿直线 EF 折叠,使点 A 落在点 A'处,所以$AE = A'E$,$DF = D'F$,$AD = A'D'$,所以题图中阴影部分的周长为$BE + EA' + BC + A'D' + CF + FD' = AB + BC + AD + CD$. 因为长方形 ABCD 的长和宽分别为 5 cm,3 cm,所以题图中阴影部分的周长为$5 + 3 + 3 + 5 = 16$(cm). 故答案为 16.
【解析】因为将四边形 AEFD 沿直线 EF 折叠,使点 A 落在点 A'处,所以$AE = A'E$,$DF = D'F$,$AD = A'D'$,所以题图中阴影部分的周长为$BE + EA' + BC + A'D' + CF + FD' = AB + BC + AD + CD$. 因为长方形 ABCD 的长和宽分别为 5 cm,3 cm,所以题图中阴影部分的周长为$5 + 3 + 3 + 5 = 16$(cm). 故答案为 16.
13. 已知$a^{2}+2b^{2}-1=0$,则代数式$(a-b)^{2}+b(2a+b)$的值为
1
.答案
【点拨】本题考查整式的乘法运算及完全平方公式,熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键.
【解析】$(a - b)^2 + b(2a + b)$
$=a^2 - 2ab + b^2 + 2ab + b^2$
$=a^2 + 2b^2$,
因为$a^2 + 2b^2 - 1 = 0$,所以$a^2 + 2b^2 = 1$,所以原式$=a^2 + 2b^2 = 1$. 故答案为 1.
【解析】$(a - b)^2 + b(2a + b)$
$=a^2 - 2ab + b^2 + 2ab + b^2$
$=a^2 + 2b^2$,
因为$a^2 + 2b^2 - 1 = 0$,所以$a^2 + 2b^2 = 1$,所以原式$=a^2 + 2b^2 = 1$. 故答案为 1.
14. 如图,点 P 是∠AOB 外的一点,点 M,N 分别是∠AOB 两边上的点,点 P 关于 OA 的对称点 Q 恰好落在线段 MN 上,点 P 关于 OB 的对称点 R 落在 MN 的延长线上.若 PM = 4 cm,PN = 5 cm,MN = 6.5 cm,则线段 QR 的长为
7.5
cm.答案
【点拨】本题考查轴对称的性质.
【解析】由轴对称可知:$OA ⊥ PQ$,$OB ⊥ PR$,所以$QM = PM = 4$ cm,$NR = PN = 5$ cm,所以$QR = NR + MN - QM = 5 + 6.5 - 4 = 7.5$(cm). 故答案为 7.5.
【解析】由轴对称可知:$OA ⊥ PQ$,$OB ⊥ PR$,所以$QM = PM = 4$ cm,$NR = PN = 5$ cm,所以$QR = NR + MN - QM = 5 + 6.5 - 4 = 7.5$(cm). 故答案为 7.5.
15. 已知$(x - 1)^{3x + 1} = 1$，则满足条件的所有$x$的值为
$2或-\frac{1}{3}$
.答案
【点拨】本题考查乘方运算,即非零数的零次幂的计算,-1 的偶次幂的计算,1 的整数次幂的计算,理解并掌握零次幂的计算方法是解题的关键.
【解析】若$x - 1 = 1$,则$x = 2$,原式成立,若$x - 1 = -1$,则$x = 0$,原式不成立,若$3x + 1 = 0$,则$x = -\frac{1}{3}$,原式成立,综上所述,$x = 2$或$x = -\frac{1}{3}$. 故答案为 2 或$-\frac{1}{3}$.
【解析】若$x - 1 = 1$,则$x = 2$,原式成立,若$x - 1 = -1$,则$x = 0$,原式不成立,若$3x + 1 = 0$,则$x = -\frac{1}{3}$,原式成立,综上所述,$x = 2$或$x = -\frac{1}{3}$. 故答案为 2 或$-\frac{1}{3}$.
16. 阅读以下内容：$(x-1)(x+1)=x^2 -1$，$(x-1)(x^2 + x + 1)=x^3 -1$，$(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)=x^4 -1$，根据这一规律，计算：$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023} - 2^{2024} =$
-1
.答案
【点拨】本题考查探索规律.
【解析】因为$(x-1)(x+1)=x^2 -1$,$(x-1)(x^2 + x + 1)=x^3 -1$,$(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)=x^4 -1$,$\dots$,所以$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$,所以$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023} = (2 - 1)(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023}) = 2^{2024} - 1$,则$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023} - 2^{2024} = 2^{2024} - 1 - 2^{2024} = -1$. 故答案为 -1.
【解析】因为$(x-1)(x+1)=x^2 -1$,$(x-1)(x^2 + x + 1)=x^3 -1$,$(x-1)(x^3 + x^2 + x + 1)=x^4 -1$,$\dots$,所以$(x-1)(x^n + x^{n-1} + \dots + x + 1) = x^{n+1} - 1$,所以$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023} = (2 - 1)(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023}) = 2^{2024} - 1$,则$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + \dots + 2^{2023} - 2^{2024} = 2^{2024} - 1 - 2^{2024} = -1$. 故答案为 -1.
