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1. (1)因为$4 × 5 = 20$,所以(
(2)自然数 $1 ∼ 20$ 中,5 的倍数有(
(3)12 的因数有(
(4)在 24,3,12,10,8,30 这些数中,24 的因数有(
(5)一个数,既是 48 的因数,又是 12 的倍数。这个数可能是(
(6)15 最小的因数是(
4
)和(5
)是(20
)的因数,20 的因数还有(1,2,10,20
)。(2)自然数 $1 ∼ 20$ 中,5 的倍数有(
5,10,15,20
),3 的倍数有(3,6,9,12,15,18
),2 的倍数有(2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
)。(3)12 的因数有(
1,2,3,4,6,12
),自然数 $1 ∼$60 中,12 的倍数有(12,24,36,48,60
)。(4)在 24,3,12,10,8,30 这些数中,24 的因数有(
24,3,12,8
),6 的倍数有(24,12,30
)。(5)一个数,既是 48 的因数,又是 12 的倍数。这个数可能是(
12或24或48
)。(6)15 最小的因数是(
1
),最大的因数是(15
),最小的倍数是(15
),(没有
)最大的倍数。答案
1.(1)4 5 20 1,2,10,20
【解析】若$a×b=c(a、b$ 为非零自然数),则 $a$ 和 $b$ 是 $c$ 的因数,$c$ 是$a$和 $b$ 的倍数。
1.(2)5,10,15,20 3,6,9,12,15,18 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
【解析】一一列举,注意不能重复和遗漏。
1.(3)1,2,3,4,6,12 12,24,36,48,60
【解析】$12=1×12=2×6=3×4$,因此 12 的因数有 1,2,3,4,6,12;12 的倍数是 12 的整数倍,用乘法算出 60 以内(含 60)12 的倍数即可解答。
1.(4)24,3,12,8 24,12,30
【解析】找 24 的因数,就看 24 除以这个数的商是不是整数,且没有余数;找 6 的倍数,就看这个数除以 6 的商是不是整数,且没有余数。
1.(5)12 或 24 或 48
【解析】48 的因数有 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48;12 的倍数有 12,24,36,48……因此这个数可能是 12 或 24 或 48。
1.(6)1 15 15 没有
【解析】一个数最小的因数是 1,最大的因数是它本身,最小倍数是它本身,没有最大的倍数。
【解析】若$a×b=c(a、b$ 为非零自然数),则 $a$ 和 $b$ 是 $c$ 的因数,$c$ 是$a$和 $b$ 的倍数。
1.(2)5,10,15,20 3,6,9,12,15,18 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
【解析】一一列举,注意不能重复和遗漏。
1.(3)1,2,3,4,6,12 12,24,36,48,60
【解析】$12=1×12=2×6=3×4$,因此 12 的因数有 1,2,3,4,6,12;12 的倍数是 12 的整数倍,用乘法算出 60 以内(含 60)12 的倍数即可解答。
1.(4)24,3,12,8 24,12,30
【解析】找 24 的因数,就看 24 除以这个数的商是不是整数,且没有余数;找 6 的倍数,就看这个数除以 6 的商是不是整数,且没有余数。
1.(5)12 或 24 或 48
【解析】48 的因数有 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48;12 的倍数有 12,24,36,48……因此这个数可能是 12 或 24 或 48。
1.(6)1 15 15 没有
【解析】一个数最小的因数是 1,最大的因数是它本身,最小倍数是它本身,没有最大的倍数。
解析
【分析】
这道题围绕因数和倍数的基础知识点展开，解题的核心思路是先明确因数、倍数的定义：若非零自然数a、b相乘得到c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。之后逐个小问按对应规则求解：
1. 第(1)问直接根据给出的乘法算式对应因数关系，再通过成对枚举的方式补全20剩余的所有因数；
2. 第(2)问限定范围1~20，分别用5、3、2依次乘正整数，直到结果不超过20，就能得到对应数的所有倍数，注意不要重复遗漏；
3. 第(3)问找12的因数就按乘积成对枚举，两个正整数相乘等于12，这两个数都是12的因数；1~60里12的倍数就用12依次乘1、2…直到结果不超过60即可；
4. 第(4)问在给定的数里筛选：能整除24没有余数的就是24的因数，能被6整除没有余数的就是6的倍数；
5. 第(5)问先枚举写出48的全部因数，再从中挑出属于12的倍数的数即可；
6. 第(6)问直接套用一个数的因数、倍数的基本性质就能直接得到结果。
【解析】
(1) 根据因数定义，由$4×5=20$可得4和5是20的因数；对20做因数枚举：$20=1×20=2×10=4×5$，因此除了4、5之外，20的因数还有1、2、10、20。
(2) 1~20中：
5的倍数：$5×1=5$，$5×2=10$，$5×3=15$，$5×4=20$，即5,10,15,20；
3的倍数：$3×1=3$，$3×2=6$，$3×3=9$，$3×4=12$，$3×5=15$，$3×6=18$，即3,6,9,12,15,18；
2的倍数：$2×1=2$，$2×2=4$……直到$2×10=20$，即2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。
(3) 对12枚举因数：$12=1×12=2×6=3×4$，因此12的因数有1,2,3,4,6,12；
1~60中12的倍数：$12×1=12$，$12×2=24$，$12×3=36$，$12×4=48$，$12×5=60$，即12,24,36,48,60。
(4) 给定数24,3,12,10,8,30中：
24能被24、3、12、8整除，因此24的因数有24,3,12,8；
能被6整除的数是24、12、30，因此6的倍数有24,12,30。
(5) 先列出48的所有因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48，从中筛选出是12的倍数的数，得到12、24、48。
(6) 根据因数和倍数的性质：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，不存在最大的倍数，因此15最小的因数是1，最大的因数是15，最小的倍数是15，没有最大的倍数。
【答案】
(1) 4；5；20；1,2,10,20
(2) 5,10,15,20；3,6,9,12,15,18；2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
(3) 1,2,3,4,6,12；12,24,36,48,60
(4) 24,3,12,8；24,12,30
(5) 12 或 24 或 48
(6) 1；15；15；没有
【知识点】
因数定义，倍数定义，因数倍数性质
【点评】
本题是因数倍数单元的基础巩固题，全部围绕核心概念设置，没有复杂变形，重点考察学生对基础定义的记忆和有序枚举找因数、倍数的能力，提醒学生枚举时要按顺序成对查找，避免出现漏数、重复计数的错误，夯实后续学习公因数、公倍数的基础。
【难度系数】
0.9
这道题围绕因数和倍数的基础知识点展开，解题的核心思路是先明确因数、倍数的定义：若非零自然数a、b相乘得到c，那么a和b都是c的因数，c是a和b的倍数。之后逐个小问按对应规则求解：
1. 第(1)问直接根据给出的乘法算式对应因数关系，再通过成对枚举的方式补全20剩余的所有因数；
2. 第(2)问限定范围1~20，分别用5、3、2依次乘正整数，直到结果不超过20，就能得到对应数的所有倍数，注意不要重复遗漏；
3. 第(3)问找12的因数就按乘积成对枚举，两个正整数相乘等于12，这两个数都是12的因数；1~60里12的倍数就用12依次乘1、2…直到结果不超过60即可；
4. 第(4)问在给定的数里筛选：能整除24没有余数的就是24的因数，能被6整除没有余数的就是6的倍数；
5. 第(5)问先枚举写出48的全部因数，再从中挑出属于12的倍数的数即可；
6. 第(6)问直接套用一个数的因数、倍数的基本性质就能直接得到结果。
【解析】
(1) 根据因数定义，由$4×5=20$可得4和5是20的因数；对20做因数枚举：$20=1×20=2×10=4×5$，因此除了4、5之外，20的因数还有1、2、10、20。
(2) 1~20中：
5的倍数：$5×1=5$，$5×2=10$，$5×3=15$，$5×4=20$，即5,10,15,20；
3的倍数：$3×1=3$，$3×2=6$，$3×3=9$，$3×4=12$，$3×5=15$，$3×6=18$，即3,6,9,12,15,18；
2的倍数：$2×1=2$，$2×2=4$……直到$2×10=20$，即2,4,6,8,10,12,14,16,18,20。
(3) 对12枚举因数：$12=1×12=2×6=3×4$，因此12的因数有1,2,3,4,6,12；
1~60中12的倍数：$12×1=12$，$12×2=24$，$12×3=36$，$12×4=48$，$12×5=60$，即12,24,36,48,60。
(4) 给定数24,3,12,10,8,30中：
24能被24、3、12、8整除，因此24的因数有24,3,12,8；
能被6整除的数是24、12、30，因此6的倍数有24,12,30。
(5) 先列出48的所有因数：1,2,3,4,6,8,12,16,24,48，从中筛选出是12的倍数的数，得到12、24、48。
(6) 根据因数和倍数的性质：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身，不存在最大的倍数，因此15最小的因数是1，最大的因数是15，最小的倍数是15，没有最大的倍数。
【答案】
(1) 4；5；20；1,2,10,20
(2) 5,10,15,20；3,6,9,12,15,18；2,4,6,8,10,12,14,16,18,20
(3) 1,2,3,4,6,12；12,24,36,48,60
(4) 24,3,12,8；24,12,30
(5) 12 或 24 或 48
(6) 1；15；15；没有
【知识点】
因数定义，倍数定义，因数倍数性质
【点评】
本题是因数倍数单元的基础巩固题，全部围绕核心概念设置，没有复杂变形，重点考察学生对基础定义的记忆和有序枚举找因数、倍数的能力，提醒学生枚举时要按顺序成对查找，避免出现漏数、重复计数的错误，夯实后续学习公因数、公倍数的基础。
【难度系数】
0.9
(1)王老师把42个乒乓球用同样的包装盒分装，选择(
C
)包装盒能正好分装完。答案
2.(1)C
【解析】42 的因数有 1,2,3,6,7,14,21,42,只有选项 C 符合。
【解析】42 的因数有 1,2,3,6,7,14,21,42,只有选项 C 符合。
解析
【分析】
解题时首先要先数出每个包装盒可以装的乒乓球数量：A盒可装4个，B盒可装5个，C盒可装6个，D盒可装8个。题目要求42个乒乓球正好分装完，说明每盒的装球数必须是42的因数，也就是42能被这个数整除，没有剩余。接下来我们分别用42除以四个包装盒的容量，看哪个计算结果没有余数，就能选出正确答案。
【解析】
第一步：统计各包装盒的额定装球数：
A包装盒：可装4个，计算42÷4=10……2，有余数，无法正好装完；
B包装盒：可装5个，计算42÷5=8……2，有余数，无法正好装完；
C包装盒：可装6个，计算42÷6=7，没有余数，刚好可以装7盒，能正好分装完；
D包装盒：可装8个，计算42÷8=5……2，有余数，无法正好装完。
因此选择C包装盒可以正好分装完42个乒乓球。
【答案】
C
【知识点】
因数认识，整除应用
【点评】
本题结合生活分装乒乓球的场景，考察因数和整除的实际应用，解题的核心是先准确数出每个包装盒的装球容量，再通过除法验证是否无剩余，题型基础，能帮助学生体会数学在生活中的用处。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先数出每个包装盒可以装的乒乓球数量：A盒可装4个，B盒可装5个，C盒可装6个，D盒可装8个。题目要求42个乒乓球正好分装完，说明每盒的装球数必须是42的因数，也就是42能被这个数整除，没有剩余。接下来我们分别用42除以四个包装盒的容量，看哪个计算结果没有余数，就能选出正确答案。
【解析】
第一步：统计各包装盒的额定装球数：
A包装盒：可装4个，计算42÷4=10……2，有余数，无法正好装完；
B包装盒：可装5个，计算42÷5=8……2，有余数，无法正好装完；
C包装盒：可装6个，计算42÷6=7，没有余数，刚好可以装7盒，能正好分装完；
D包装盒：可装8个，计算42÷8=5……2，有余数，无法正好装完。
因此选择C包装盒可以正好分装完42个乒乓球。
【答案】
C
【知识点】
因数认识，整除应用
【点评】
本题结合生活分装乒乓球的场景，考察因数和整除的实际应用，解题的核心是先准确数出每个包装盒的装球容量，再通过除法验证是否无剩余，题型基础，能帮助学生体会数学在生活中的用处。
【难度系数】
0.8
(2)下面各种说法，有(
①一个数的最小倍数是它本身。
②一个数有无数个因数。
③一个数的倍数一定大于它的因数。
④一个数至少有两个因数。
A.1
B.2
C.3
D.4
A
)句是正确的。①一个数的最小倍数是它本身。
②一个数有无数个因数。
③一个数的倍数一定大于它的因数。
④一个数至少有两个因数。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2.(2)A
【解析】①:说法正确;②:一个数的因数个数是有限的,说法错误;③:一个数的最小倍数等于它的最大因数,说法错误;④:1只有一个因数1,说法错误。因此只有1句是正确的。
【解析】①:说法正确;②:一个数的因数个数是有限的,说法错误;③:一个数的最小倍数等于它的最大因数,说法错误;④:1只有一个因数1,说法错误。因此只有1句是正确的。
解析
【分析】
这道题需要我们逐一辨析4个关于因数、倍数的表述是否正确，最终统计正确表述的总数量选出答案。解题时我们可以逐个对照因数和倍数的基础性质判断：首先回忆倍数的基本特点判断①的对错，再根据因数的个数特征判断②的对错，接着结合一个数的最大因数、最小倍数的关系判断③的对错，最后结合特殊自然数1的因数情况判断④的对错，数出正确表述的数量即可得到结果。
【解析】
我们逐个对4个说法进行验证：
1. 说法①：任意一个非0自然数，最小的倍数就是它的1倍，也就是它本身，该表述正确。
2. 说法②：一个数的因数的个数是有限的，只有一个数的倍数才有无数个，该表述错误。
3. 说法③：一个数的最小倍数等于它的最大因数，二者都等于这个数本身，因此存在倍数等于因数的情况，并非所有倍数都大于因数，该表述错误。
4. 说法④：自然数1只有1个因数，就是它本身，不满足“至少有两个因数”的描述，该表述错误。
综上，4个说法里只有1句是正确的。
【答案】
A
【知识点】
因数的性质，倍数的性质
【点评】
本题属于因数倍数单元的基础概念易错题，容易出现的误区是混淆因数和倍数的个数特征，忽略特殊数1的因数只有1个，忘记“一个数的本身既是自身的最大因数也是自身的最小倍数”这个核心性质，解题时要对每个表述逐一严谨验证，不要凭直觉判断。
【难度系数】
0.6
这道题需要我们逐一辨析4个关于因数、倍数的表述是否正确，最终统计正确表述的总数量选出答案。解题时我们可以逐个对照因数和倍数的基础性质判断：首先回忆倍数的基本特点判断①的对错，再根据因数的个数特征判断②的对错，接着结合一个数的最大因数、最小倍数的关系判断③的对错，最后结合特殊自然数1的因数情况判断④的对错，数出正确表述的数量即可得到结果。
【解析】
我们逐个对4个说法进行验证：
1. 说法①：任意一个非0自然数，最小的倍数就是它的1倍，也就是它本身，该表述正确。
2. 说法②：一个数的因数的个数是有限的，只有一个数的倍数才有无数个，该表述错误。
3. 说法③：一个数的最小倍数等于它的最大因数，二者都等于这个数本身，因此存在倍数等于因数的情况，并非所有倍数都大于因数，该表述错误。
4. 说法④：自然数1只有1个因数，就是它本身，不满足“至少有两个因数”的描述，该表述错误。
综上，4个说法里只有1句是正确的。
【答案】
A
【知识点】
因数的性质，倍数的性质
【点评】
本题属于因数倍数单元的基础概念易错题，容易出现的误区是混淆因数和倍数的个数特征，忽略特殊数1的因数只有1个，忘记“一个数的本身既是自身的最大因数也是自身的最小倍数”这个核心性质，解题时要对每个表述逐一严谨验证，不要凭直觉判断。
【难度系数】
0.6
（3）数学文化 完全平方数 一个数除去本身这个因数后，其它所有因数的和等于这个数，像这样的数叫作“完全数”。例如：6 的因数有 1,2,3,6，除去它本身 6 外，其余 3 个数相加，$1+2+3=6$。下面几个数中，（
A.8
B.18
C.28
D.48
C
）也是完全数。A.8
B.18
C.28
D.48
答案
2.(3)C
【解析】28 除本身外还有因数 1,2,4,7,14,$1+2+4+7+14=28$。
【解析】28 除本身外还有因数 1,2,4,7,14,$1+2+4+7+14=28$。
解析
【分析】
这道题是新定义题型，解题的核心是严格按照题目给出的“完全数”定义来判断：第一步先明确规则，要判断一个数是不是完全数，需要先找出这个数除了自身以外的所有因数，再将这些因数相加，若和等于这个数本身，就符合完全数的要求。我们只需要逐个对四个选项按这个规则验证，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项除自身外所有因数的和：
1. 选项A：8除本身外的因数为1、2、4，和为$1+2+4=7$，$7≠8$，不符合完全数定义；
2. 选项B：18除本身外的因数为1、2、3、6、9，和为$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，不符合完全数定义；
3. 选项C：28除本身外的因数为1、2、4、7、14，和为$1+2+4+7+14=28$，和等于自身，符合完全数定义；
4. 选项D：48除本身外的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24，和为$1+2+3+4+6+8+12+16+24=76$，$76≠48$，不符合完全数定义。
综上，只有28是完全数。
【答案】
C
【知识点】
因数的求解，完全数定义
【点评】
本题结合数学文化设置新定义问题，不需要学生提前记忆完全数的相关课外知识，只需要准确理解题干给出的判定规则，熟练掌握找一个数的所有因数的方法，逐个验证即可解题，解题时注意不要漏写、多写因数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题是新定义题型，解题的核心是严格按照题目给出的“完全数”定义来判断：第一步先明确规则，要判断一个数是不是完全数，需要先找出这个数除了自身以外的所有因数，再将这些因数相加，若和等于这个数本身，就符合完全数的要求。我们只需要逐个对四个选项按这个规则验证，就能得到正确答案。
【解析】
我们逐个计算每个选项除自身外所有因数的和：
1. 选项A：8除本身外的因数为1、2、4，和为$1+2+4=7$，$7≠8$，不符合完全数定义；
2. 选项B：18除本身外的因数为1、2、3、6、9，和为$1+2+3+6+9=21$，$21≠18$，不符合完全数定义；
3. 选项C：28除本身外的因数为1、2、4、7、14，和为$1+2+4+7+14=28$，和等于自身，符合完全数定义；
4. 选项D：48除本身外的因数为1、2、3、4、6、8、12、16、24，和为$1+2+3+4+6+8+12+16+24=76$，$76≠48$，不符合完全数定义。
综上，只有28是完全数。
【答案】
C
【知识点】
因数的求解，完全数定义
【点评】
本题结合数学文化设置新定义问题，不需要学生提前记忆完全数的相关课外知识，只需要准确理解题干给出的判定规则，熟练掌握找一个数的所有因数的方法，逐个验证即可解题，解题时注意不要漏写、多写因数，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 琳琳用两根完全相同的绳子分别首尾相接，围成了两个面积分别是 30 平方厘米和24 平方厘米的长方形（两个长方形的长和宽都是整厘米数）。你知道每根绳子有多长吗？
答案
3. $30=1×30=2×15=3×10=5×6$
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$
$5+6=3+8=11$(厘米) $11×2=22$(厘米)
【解析】根据题意可知,两个长方形的周长相等,面积不等。长方形长和宽的数值都是面积数值的因数,需要在 30 和 24 的成对的因数中,找出“长+宽”相等的组合,每根绳子长度=(长+宽)×2。
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$
$5+6=3+8=11$(厘米) $11×2=22$(厘米)
【解析】根据题意可知,两个长方形的周长相等,面积不等。长方形长和宽的数值都是面积数值的因数,需要在 30 和 24 的成对的因数中,找出“长+宽”相等的组合,每根绳子长度=(长+宽)×2。
解析
【分析】
首先读题可知两根绳子完全相同，说明围成的两个长方形周长相等，绳子的长度就等于长方形的周长。已知两个长方形的面积分别是30平方厘米和24平方厘米，且长和宽都是整厘米数，我们可以先根据“长方形面积=长×宽”，分别列出两个面积所有的整数长、宽组合，再计算每一组的“长+宽”的和，找到两个长方形对应的组合里“长+宽”相等的数值，最后根据长方形周长公式就能算出绳子的长度了。
【解析】
1. 枚举面积为30平方厘米的所有整数长、宽组合，计算对应长加宽的和：
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$，对应的长+宽的和分别为$1+30=31$厘米、$2+15=17$厘米、$3+10=13$厘米、$5+6=11$厘米。
2. 枚举面积为24平方厘米的所有整数长、宽组合，计算对应长加宽的和：
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$，对应的长+宽的和分别为$1+24=25$厘米、$2+12=14$厘米、$3+8=11$厘米、$4+6=10$厘米。
3. 对比两组长+宽的和，唯一相等的数值是11厘米，说明两个周长相等的长方形的长加宽的和为11厘米。
4. 计算绳子长度即长方形周长：$11×2=22$厘米。
【答案】
22厘米
【知识点】
长方形周长计算，长方形面积计算，因数枚举
【点评】
本题是结合因数知识的长方形周长面积综合应用题，核心突破口是把“绳子长度相等”的条件转化为“两个长方形的长加宽的和相等”，通过有序枚举所有符合条件的整数长宽组合找到匹配项，能有效锻炼学生的条件转化思维和有序枚举的数学习惯。
【难度系数】
0.6
首先读题可知两根绳子完全相同，说明围成的两个长方形周长相等，绳子的长度就等于长方形的周长。已知两个长方形的面积分别是30平方厘米和24平方厘米，且长和宽都是整厘米数，我们可以先根据“长方形面积=长×宽”，分别列出两个面积所有的整数长、宽组合，再计算每一组的“长+宽”的和，找到两个长方形对应的组合里“长+宽”相等的数值，最后根据长方形周长公式就能算出绳子的长度了。
【解析】
1. 枚举面积为30平方厘米的所有整数长、宽组合，计算对应长加宽的和：
$30=1×30=2×15=3×10=5×6$，对应的长+宽的和分别为$1+30=31$厘米、$2+15=17$厘米、$3+10=13$厘米、$5+6=11$厘米。
2. 枚举面积为24平方厘米的所有整数长、宽组合，计算对应长加宽的和：
$24=1×24=2×12=3×8=4×6$，对应的长+宽的和分别为$1+24=25$厘米、$2+12=14$厘米、$3+8=11$厘米、$4+6=10$厘米。
3. 对比两组长+宽的和，唯一相等的数值是11厘米，说明两个周长相等的长方形的长加宽的和为11厘米。
4. 计算绳子长度即长方形周长：$11×2=22$厘米。
【答案】
22厘米
【知识点】
长方形周长计算，长方形面积计算，因数枚举
【点评】
本题是结合因数知识的长方形周长面积综合应用题，核心突破口是把“绳子长度相等”的条件转化为“两个长方形的长加宽的和相等”，通过有序枚举所有符合条件的整数长宽组合找到匹配项，能有效锻炼学生的条件转化思维和有序枚举的数学习惯。
【难度系数】
0.6
4. 实验班原创 运算能力 把自然数A的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是3，最大的是420。自然数A是多少？
答案
4. 自然数 A 是 280。
【解析】根据题意可知,要想求出自然数 A 的任意两个因数最小的和,那么就要用最小的因数与第二小的因数求和。因为自然数最小的因数是 1,已知两个因数最小的和是3,所以第二小的因数是 2。假设这个自然数 A 的第二大的因数是 B,则 $1×A=2×B$,$A=2B$,因为最大的和是 420,是由最大的因数和第二大的因数相加得到的,所以 $2B+B=420$,即 $B=140$,因此自然数 A 是 $140×2=280$。
【解析】根据题意可知,要想求出自然数 A 的任意两个因数最小的和,那么就要用最小的因数与第二小的因数求和。因为自然数最小的因数是 1,已知两个因数最小的和是3,所以第二小的因数是 2。假设这个自然数 A 的第二大的因数是 B,则 $1×A=2×B$,$A=2B$,因为最大的和是 420,是由最大的因数和第二大的因数相加得到的,所以 $2B+B=420$,即 $B=140$,因此自然数 A 是 $140×2=280$。
解析
【分析】
我们可以从因数的基本特性入手逐步推导：首先所有非零自然数最小的因数都是1，题目给出因数两两求和的最小值是3，这个最小的和必然是最小的两个因数相加得到的，用3减去最小因数1就能得到第二小的因数。接下来要利用因数的成对规律：如果x是自然数A的因数，那么A/x也一定是A的因数，二者乘积恰好等于A。由此可以推出，最小的因数1对应的配对因数就是A本身（也就是A的最大因数），第二小的因数对应的配对因数就是A的第二大因数。题目给出的最大和420，就是最大的两个因数相加的结果，代入关系就能直接列等式算出A的数值，不需要枚举所有因数。
【解析】
1. 确定最小的两个因数
自然数的最小因数是1，已知因数两两求和的最小值为3，因此第二小的因数为：3 - 1 = 2。
2. 推导最大两个因数的关系
根据因数成对的性质：若a是A的因数，则A/a也一定是A的因数，且a×(A/a)=A：
最小因数1对应的配对因数是A/1 = A，也就是A的最大因数；
第二小因数2对应的配对因数是A/2，也就是A的第二大因数。
3. 列方程求解A
因数两两求和的最大值是最大的两个因数相加的结果，因此可得等式：
$A + \frac{A}{2} = 420$
整理得：$\frac{3A}{2}=420$，解得$A=420×2÷3=280$。
【答案】
280
【知识点】
因数基本性质，因数成对规律
【点评】
本题的解题核心是利用因数的配对特性跳过复杂的枚举步骤，大幅简化运算，易错点是错误判断第二小的因数，或是没有意识到最大的两个因数和最小的两个因数存在配对对应关系，找不到解题突破口。
【难度系数】
0.4
我们可以从因数的基本特性入手逐步推导：首先所有非零自然数最小的因数都是1，题目给出因数两两求和的最小值是3，这个最小的和必然是最小的两个因数相加得到的，用3减去最小因数1就能得到第二小的因数。接下来要利用因数的成对规律：如果x是自然数A的因数，那么A/x也一定是A的因数，二者乘积恰好等于A。由此可以推出，最小的因数1对应的配对因数就是A本身（也就是A的最大因数），第二小的因数对应的配对因数就是A的第二大因数。题目给出的最大和420，就是最大的两个因数相加的结果，代入关系就能直接列等式算出A的数值，不需要枚举所有因数。
【解析】
1. 确定最小的两个因数
自然数的最小因数是1，已知因数两两求和的最小值为3，因此第二小的因数为：3 - 1 = 2。
2. 推导最大两个因数的关系
根据因数成对的性质：若a是A的因数，则A/a也一定是A的因数，且a×(A/a)=A：
最小因数1对应的配对因数是A/1 = A，也就是A的最大因数；
第二小因数2对应的配对因数是A/2，也就是A的第二大因数。
3. 列方程求解A
因数两两求和的最大值是最大的两个因数相加的结果，因此可得等式：
$A + \frac{A}{2} = 420$
整理得：$\frac{3A}{2}=420$，解得$A=420×2÷3=280$。
【答案】
280
【知识点】
因数基本性质，因数成对规律
【点评】
本题的解题核心是利用因数的配对特性跳过复杂的枚举步骤，大幅简化运算，易错点是错误判断第二小的因数，或是没有意识到最大的两个因数和最小的两个因数存在配对对应关系，找不到解题突破口。
【难度系数】
0.4
