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1. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(x+2)^2 -25=0$；
(2)$2x^2 -3x -6=0$；
(3)$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=20$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$.
(1)$(x+2)^2 -25=0$；
(2)$2x^2 -3x -6=0$；
(3)$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=20$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$.
答案
(1)$x_1=3,x_2=-7$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3)$x_1=5,x_2=-5$；
(4)$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$.
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3)$x_1=5,x_2=-5$；
(4)$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、因式分解法、公式法等，解题时需根据方程结构选择最简便的方法，减少计算量：
(1) 方程移项后为$(x+2)^2=25$，符合“完全平方=非负常数”的形式，优先用直接开平方法；
(2) 方程为一元二次方程的一般形式，不易因式分解，选择公式法求解；
(3) 左侧先用平方差公式展开，整理后为$x^2=25$，用直接开平方法求解即可；
(4) 移项后符合平方差的结构，用因式分解法求解更简便。
【解析】
(1) 移项得：$(x+2)^2=25$，
开平方得：$x+2=\pm5$，
即$x+2=5$或$x+2=-5$，
解得$x_1=3$，$x_2=-7$。
(2) 对于方程$2x^2-3x-6=0$，可知$a=2$，$b=-3$，$c=-6$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=9+48=57＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$。
(3) 先用平方差公式展开左侧得：$x^2-(\sqrt{5})^2=20$，
整理得：$x^2-5=20$，即$x^2=25$，
开平方得：$x=\pm5$，
即$x_1=5$，$x_2=-5$。
(4) 移项得：$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
利用平方差公式因式分解得：$[(x-2)+(2x+3)][(x-2)-(2x+3)]=0$，
化简括号内的式子得：$(3x+1)(-x-5)=0$，
所以$3x+1=0$或$-x-5=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-5$。
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-7$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3)$x_1=5,x_2=-5$；
(4)$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，平方差公式，求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心是学会根据方程的结构特征选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算错误，需要熟练掌握各类解法的适用场景和运算规则。
【难度系数】
0.75
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、因式分解法、公式法等，解题时需根据方程结构选择最简便的方法，减少计算量：
(1) 方程移项后为$(x+2)^2=25$，符合“完全平方=非负常数”的形式，优先用直接开平方法；
(2) 方程为一元二次方程的一般形式，不易因式分解，选择公式法求解；
(3) 左侧先用平方差公式展开，整理后为$x^2=25$，用直接开平方法求解即可；
(4) 移项后符合平方差的结构，用因式分解法求解更简便。
【解析】
(1) 移项得：$(x+2)^2=25$，
开平方得：$x+2=\pm5$，
即$x+2=5$或$x+2=-5$，
解得$x_1=3$，$x_2=-7$。
(2) 对于方程$2x^2-3x-6=0$，可知$a=2$，$b=-3$，$c=-6$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-6)=9+48=57＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{57}}{4}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$。
(3) 先用平方差公式展开左侧得：$x^2-(\sqrt{5})^2=20$，
整理得：$x^2-5=20$，即$x^2=25$，
开平方得：$x=\pm5$，
即$x_1=5$，$x_2=-5$。
(4) 移项得：$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
利用平方差公式因式分解得：$[(x-2)+(2x+3)][(x-2)-(2x+3)]=0$，
化简括号内的式子得：$(3x+1)(-x-5)=0$，
所以$3x+1=0$或$-x-5=0$，
解得$x_1=-\frac{1}{3}$，$x_2=-5$。
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-7$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{57}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{57}}{4}$；
(3)$x_1=5,x_2=-5$；
(4)$x_1=-5,x_2=-\frac{1}{3}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，平方差公式，求根公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心是学会根据方程的结构特征选择最优解法，既能提升解题速度，也能减少计算错误，需要熟练掌握各类解法的适用场景和运算规则。
【难度系数】
0.75
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0 $。
(1)当 $ m $ 取何值时，方程有两个实数根；
(2)为 $ m $ 选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根。
(1)当 $ m $ 取何值时，方程有两个实数根；
(2)为 $ m $ 选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根。
答案
(1)
∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0,即$4(m+1)^2 -4m^2≥0$,
解得$m≥-\frac{1}{2}$.
故当$m≥-\frac{1}{2}$时,方程有两个实数根.
(2)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,
即$4(m+1)^2 -4m^2＞0$,解得$m＞-\frac{1}{2}$.
令m=0,代入方程,得$x^2-2x=0$,
解得$x_1=0,x_2=2$.(答案不唯一)
∵方程有两个实数根，
∴Δ≥0,即$4(m+1)^2 -4m^2≥0$,
解得$m≥-\frac{1}{2}$.
故当$m≥-\frac{1}{2}$时,方程有两个实数根.
(2)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,
即$4(m+1)^2 -4m^2＞0$,解得$m＞-\frac{1}{2}$.
令m=0,代入方程,得$x^2-2x=0$,
解得$x_1=0,x_2=2$.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题是关于一元二次方程根的判别式的应用类题目。第(1)问要使方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，需满足判别式$\Delta ≥ 0$，我们先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围；第(2)问要使方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta ＞0$，先求出此时m的取值范围，再选取范围内的任意一个整数代入原方程，解一元二次方程即可得到对应根，答案不唯一。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$。
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
即$[-2(m+1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
化简得$4(m+1)^2 -4m^2≥0$，
展开计算：$4(m^2+2m+1)-4m^2=8m+4≥0$，
解得$m≥ -\frac{1}{2}$。
(2)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞0$，即$4(m+1)^2 -4m^2＞0$，
同理计算得$8m+4＞0$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
选取整数$m=0$（m取大于$-\frac{1}{2}$的整数均可），代入原方程得：
$x^2-2x=0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
(1) 当$m≥ -\frac{1}{2}$时，方程有两个实数根；
(2) 示例：取$m=0$，两个实数根为$x_1=0$，$x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查根的判别式的应用，解题时要注意区分“两个实数根”包含两个相等和两个不相等两种情况，对应判别式需取≥0，不要漏写等号；第二问为开放性问题，只要选取的m符合取值范围即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题是关于一元二次方程根的判别式的应用类题目。第(1)问要使方程有两个实数根，根据一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，需满足判别式$\Delta ≥ 0$，我们先确定方程中二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式得到关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围；第(2)问要使方程有两个不相等的实数根，需满足$\Delta ＞0$，先求出此时m的取值范围，再选取范围内的任意一个整数代入原方程，解一元二次方程即可得到对应根，答案不唯一。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 = 0$中，$a=1$，$b=-2(m+1)$，$c=m^2$。
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，
即$[-2(m+1)]^2 - 4×1× m^2 ≥ 0$，
化简得$4(m+1)^2 -4m^2≥0$，
展开计算：$4(m^2+2m+1)-4m^2=8m+4≥0$，
解得$m≥ -\frac{1}{2}$。
(2)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta ＞0$，即$4(m+1)^2 -4m^2＞0$，
同理计算得$8m+4＞0$，解得$m＞-\frac{1}{2}$。
选取整数$m=0$（m取大于$-\frac{1}{2}$的整数均可），代入原方程得：
$x^2-2x=0$，
因式分解得$x(x-2)=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
(1) 当$m≥ -\frac{1}{2}$时，方程有两个实数根；
(2) 示例：取$m=0$，两个实数根为$x_1=0$，$x_2=2$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查根的判别式的应用，解题时要注意区分“两个实数根”包含两个相等和两个不相等两种情况，对应判别式需取≥0，不要漏写等号；第二问为开放性问题，只要选取的m符合取值范围即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
[新定义问题]对于实数$a,b$,新定义一种运算“※”: $a※b=\begin{cases}ab - b^2&(a≥ b),\\b^2 - ab&(a ＜ b).\end{cases}$
例如: $\because4＞1,\therefore4※1=4×1 - 1^2=3$.
(1)计算:$2※(-1)=$
(2)若$x_1$和$x_2$是方程$x^2 - 5x - 6=0$的两个根且$x_1＜x_2$,求$x_1※x_2$的值;
(3)若$x※2$与$3※x$的值相等,求$x$的值.
例如: $\because4＞1,\therefore4※1=4×1 - 1^2=3$.
(1)计算:$2※(-1)=$
-3
, $(-1)※2=$6
;(2)若$x_1$和$x_2$是方程$x^2 - 5x - 6=0$的两个根且$x_1＜x_2$,求$x_1※x_2$的值;
(3)若$x※2$与$3※x$的值相等,求$x$的值.
答案
(1)-3 6 解析:
∵2＞-1,
∴2※(-1)=2×(-1)-(-1)²=-3;
∵-1＜2,
∴(-1)※2=2²-(-1)×2=6.
(2)解方程$x^2-5x-6=0$,得$x_1=-1,x_2=6$,
所以$x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=42$.
(3)当$x＜2$时,$2^2-2x=3x-x^2$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,
解得$x_1=1,x_2=4$(舍去);
当$2≤x≤3$时,$2x-2^2=3x-x^2$,
整理,得$x^2-x-4=0$,
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$(舍去);
当$x＞3$时,$2x-2^2=x^2-3x$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,
解得$x_1=1$(舍去),$x_2=4$.
综上所述,$x$的值为1或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或4.
∵2＞-1,
∴2※(-1)=2×(-1)-(-1)²=-3;
∵-1＜2,
∴(-1)※2=2²-(-1)×2=6.
(2)解方程$x^2-5x-6=0$,得$x_1=-1,x_2=6$,
所以$x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=42$.
(3)当$x＜2$时,$2^2-2x=3x-x^2$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,
解得$x_1=1,x_2=4$(舍去);
当$2≤x≤3$时,$2x-2^2=3x-x^2$,
整理,得$x^2-x-4=0$,
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{17}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$(舍去);
当$x＞3$时,$2x-2^2=x^2-3x$,
整理,得$x^2-5x+4=0$,
解得$x_1=1$(舍去),$x_2=4$.
综上所述,$x$的值为1或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或4.
解析
【分析】
解题核心是先准确理解新定义运算“※”的规则：先比较运算前后两个数的大小，再选择对应的代数式计算。
(1) 直接判断每组两个数的大小，代入对应公式计算即可；
(2) 先解一元二次方程得到两个根，比较大小后再代入新定义公式计算；
(3) 因x的取值范围不确定，需分x＜2、2≤x≤3、x＞3三种情况讨论，分别根据新定义列方程求解，求出的解要验证是否符合对应分类的范围，不符合的舍去。
【解析】
(1) $\because2＞-1$，符合$a≥b$的运算规则，
$\therefore2※(-1)=2×(-1)-(-1)^2=-2-1=-3$；
$\because-1＜2$，符合$a＜b$的运算规则，
$\therefore(-1)※2=2^2-(-1)×2=4+2=6$。
(2) 解方程$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=6$，
$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=6$，
$\because-1＜6$，$\therefore x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=36+6=42$。
(3) 由题意得$x※2=3※x$，分三种情况讨论：
① 当$x＜2$时，$x※2=2^2-2x=4-2x$，$3※x=3x-x^2$，
列方程：$4-2x=3x-x^2$，整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，因$x＜2$，故$x=4$舍去，保留$x=1$；
② 当$2≤x≤3$时，$x※2=2x-2^2=2x-4$，$3※x=3x-x^2$，
列方程：$2x-4=3x-x^2$，整理得$x^2-x-4=0$，
由求根公式得$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，因$2≤x≤3$，故$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$舍去，保留$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$；
③ 当$x＞3$时，$x※2=2x-2^2=2x-4$，$3※x=x^2-3x$，
列方程：$2x-4=x^2-3x$，整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，因$x＞3$，故$x=1$舍去，保留$x=4$。
综上，$x$的值为1或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{42}$；(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\frac{1+\sqrt{17}}{2}}$或$\boldsymbol{4}$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，分类讨论
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，根据参与运算的数的大小关系分类列方程求解，注意求出的解必须符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
解题核心是先准确理解新定义运算“※”的规则：先比较运算前后两个数的大小，再选择对应的代数式计算。
(1) 直接判断每组两个数的大小，代入对应公式计算即可；
(2) 先解一元二次方程得到两个根，比较大小后再代入新定义公式计算；
(3) 因x的取值范围不确定，需分x＜2、2≤x≤3、x＞3三种情况讨论，分别根据新定义列方程求解，求出的解要验证是否符合对应分类的范围，不符合的舍去。
【解析】
(1) $\because2＞-1$，符合$a≥b$的运算规则，
$\therefore2※(-1)=2×(-1)-(-1)^2=-2-1=-3$；
$\because-1＜2$，符合$a＜b$的运算规则，
$\therefore(-1)※2=2^2-(-1)×2=4+2=6$。
(2) 解方程$x^2-5x-6=0$，因式分解得$(x-6)(x+1)=0$，解得$x=-1$或$x=6$，
$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1=-1$，$x_2=6$，
$\because-1＜6$，$\therefore x_1※x_2=(-1)※6=6^2-(-1)×6=36+6=42$。
(3) 由题意得$x※2=3※x$，分三种情况讨论：
① 当$x＜2$时，$x※2=2^2-2x=4-2x$，$3※x=3x-x^2$，
列方程：$4-2x=3x-x^2$，整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，因$x＜2$，故$x=4$舍去，保留$x=1$；
② 当$2≤x≤3$时，$x※2=2x-2^2=2x-4$，$3※x=3x-x^2$，
列方程：$2x-4=3x-x^2$，整理得$x^2-x-4=0$，
由求根公式得$x=\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，因$2≤x≤3$，故$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$舍去，保留$x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$；
③ 当$x＞3$时，$x※2=2x-2^2=2x-4$，$3※x=x^2-3x$，
列方程：$2x-4=x^2-3x$，整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，因$x＞3$，故$x=1$舍去，保留$x=4$。
综上，$x$的值为1或$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$或4。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{42}$；(3) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{\frac{1+\sqrt{17}}{2}}$或$\boldsymbol{4}$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，分类讨论
【点评】
本题结合新定义运算考查一元二次方程的解法，解题关键是正确理解新运算的规则，根据参与运算的数的大小关系分类列方程求解，注意求出的解必须符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
