1 [2025 浙江杭州期中，中]我们知道不等式 $\frac{1 + x}{2} ＜ \frac{1 + 2x}{3} + 1$ 的解集是 $x ＞ -5$，则不等式 $\frac{1 + (3x - 1)}{2} ＜ \frac{1 + 2(3x - 1)}{3} + 1$ 的解集是()

A.$x ＞ -\frac{4}{3}$
B.$x ＜ -\frac{4}{3}$
C.$x ＞ -2$
D.$x ＜ -2$

1. A 【解析】因为不等式$\frac{1 + x}{2} ＜ \frac{1 + 2x}{3} + 1$的解集是$x ＞ -5$，所以不等式$\frac{1 + (3x - 1)}{2} ＜ \frac{1 + 2(3x - 1)}{3} + 1$中，$3x - 1 ＞ -5$，解得$x ＞ -\frac{4}{3}$，故选A。

2 [2025 江苏宿迁调研，中]两位同学对两个一元一次不等式 $a_1x - b_1 ＞ 0, a_2x - b_2 ＞ 0(a_1b_1, a_2b_2$ 都不为 $0)$ 的解提出了自己的想法，甲说：“若 $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$，则两个不等式的解相同。”乙说：“若两个不等式的解相同，则 $\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$ 成立。”他们两人的说法为()

A.甲对，乙错
B.甲错，乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错

2. B 【解析】由题意可设$a_1 = 1$，$b_1 = 2$，$a_2 = -1$，$b_2 = -2$，此时$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$。解$x - 2 ＞ 0$，得$x ＞ 2$，解$-x + 2 ＞ 0$，得$x ＜ 2$，所以两个不等式的解不同，故甲错误。解不等式$a_1x - b_1 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{b_1}{a_1}$或$x ＜ \frac{b_1}{a_1}$，解不等式$a_2x - b_2 ＞ 0$，得$x ＞ \frac{b_2}{a_2}$或$x ＜ \frac{b_2}{a_2}$。若两个不等式的解相同，则$\frac{b_1}{a_1} = \frac{b_2}{a_2}$成立，故乙正确。故选B。

3 [2025 安徽合肥期中，较难]已知实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + c ＜ 1, a = \frac{a + b - c}{2}, c = \frac{-a - b + c}{3}$，则下列判断错误的是()

A.$a = 3b$
B.$a ＞ \frac{3}{2}$
C.$2a + 3c = 0$
D.$b ＜ \frac{1}{2}$

3. B 【解析】因为$a = \frac{a + b - c}{2}$，$c = \frac{-a - b + c}{3}$，所以$a - b + c = 0$，① $a + b + 2c = 0$。② A选项，①×2 - ②得$a - 3b = 0$，所以$a = 3b$，故该选项正确，不符合题意。B选项，① + ②得$2a + 3c = 0$，所以$c = -\frac{2a}{3}$。因为$a = 3b$，所以$b = \frac{a}{3}$。又因为$a + b + c ＜ 1$，所以$a + \frac{a}{3} - \frac{2a}{3} ＜ 1$，所以$\frac{2a}{3} ＜ 1$，所以$a ＜ \frac{3}{2}$，故该选项错误，符合题意。C选项，① + ②得$2a + 3c = 0$，故该选项正确，不符合题意。D选项，因为$a = 3b$，$c = -\frac{2a}{3}$，所以$c = -2b$。又因为$a + b + c ＜ 1$，所以$3b + b - 2b ＜ 1$，所以$b ＜ \frac{1}{2}$，故该选项正确，不符合题意。故选B。

4 [2025 安徽滁州期中，中]若不等式 $\frac{y}{4} - \frac{2y - 1}{3} ＞ 2$ 的任意一个解都比不等式 $2y + 1 ≤ 3y - k$ 的解小，则 $k$ 的取值范围是。

4. $k ≥ -5$ 【解析】解$\frac{y}{4} - \frac{2y - 1}{3} ＞ 2$，得$y ＜ -4$；解$2y + 1 ≤ 3y - k$，得$y ≥ k + 1$。因为不等式$\frac{y}{4} - \frac{2y - 1}{3} ＞ 2$的任意一个解都比不等式$2y + 1 ≤ 3y - k$的解小，所以$k + 1 ≥ -4$，所以$k ≥ -5$，故答案为$k ≥ -5$。

5 [2025 广东广州质检，中]对于不等式：$a^x ＞ a^y(a ＞ 0$ 且 $a ≠ 1)$，当 $a ＞ 1$ 时，$x ＞ y$；当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，$x ＜ y$。请根据以上信息，解答以下问题：
(1) 解关于 $x$ 的不等式：$2^{5x - 1} ＞ 2^{3x - 1}$；
(2) 若关于 $x$ 的不等式 $a^{x - k} ＞ a^{5x - 2}$，当 $0 ＜ a ＜ 1$ 时，在 $-2 ≤ x ≤ -1$ 上总存在 $x$ 的值使其成立，求 $k$ 的取值范围。

5.【解】(1)因为$2^{5x - 1} ＞ 2^{3x - 1}$，所以$5x - 1 ＞ 3x - 1$，解得$x ＞ 0$。
(2)因为$0 ＜ a ＜ 1$，$a^{x - k} ＞ a^{5x - 2}$，所以$x - k ＜ 5x - 2$，解得$x ＞ \frac{2 - k}{4}$。因为在$-2 ≤ x ≤ -1$上总存在x的值使其成立，所以$\frac{2 - k}{4} ＜ -1$，解得$k ＞ 6$，所以k的取值范围为$k ＞ 6$。

6 [2025 江苏无锡质检，较难]我们把关于 $x$ 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫作“无缘组合”。
(1) 请判断组合 $\begin{cases}2x - 4 = 0, \\ 5x - 2 ＜ 3\end{cases}$ 是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；
(2) 若关于 $x$ 的组合 $\begin{cases}5x + 15 = 0, \\ \frac{3x - a}{2} ＞ a\end{cases}$ 是“有缘组合”，求 $a$ 的取值范围；
(3) 若关于 $x$ 的组合 $\begin{cases}\frac{5a - x}{2} - 3 = 2x - 3a, \\ \frac{x - a}{2} + 1 ≤ x + a\end{cases}$ 是“无缘组合”，求 $a$ 的取值范围。

6.【解】(1)是“无缘组合”。理由：解方程$2x - 4 = 0$，得$x = 2$，解不等式$5x - 2 ＜ 3$，得$x ＜ 1$。
因为$2 ＞ 1$，
所以组合$\begin{cases}2x - 4 = 0\\5x - 2 ＜ 3\end{cases}$是“无缘组合”。
(2)解方程$5x + 15 = 0$，得$x = -3$，解不等式$\frac{3x - a}{2} ＞ a$，得$x ＞ a$。
因为关于x的组合$\begin{cases}5x + 15 = 0\frac{3x - a}{2} ＞ a\end{cases}$是“有缘组合”，
所以-3在$x ＞ a$范围内，所以$a ＜ -3$。
(3)解方程$\frac{5a - x}{2} - 3 = 2x - 3a$，
得$x = \frac{11a - 6}{5}$，
解不等式$\frac{x - a}{2} + 1 ≤ x + a$，
得$x ≥ -3a + 2$。
因为关于x的组合$\begin{cases}\frac{5a - x}{2} - 3 = 2x - 3a\frac{x - a}{2} + 1 ≤ x + a\end{cases}$是“无缘组合”，
所以$\frac{11a - 6}{5} ＜ -3a + 2$，
解得$a ＜ \frac{8}{13}$。