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1 一题多解 若抛物线的顶点为$(2,1)$，且过点$(4,3)$，则此抛物线对应的函数表达式为(
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$
B.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$
C.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2-1$
D.$y=\frac{1}{2}x^2+2x-1$
A
)A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2+1$
B.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2+1$
C.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2-1$
D.$y=\frac{1}{2}x^2+2x-1$
答案
A 解析: 解法一: 设 $y = ax^2 + bx + c$, 所以$\begin{cases}16a+4b+c=3,\\-\dfrac{b}{2a}=2,\\\dfrac{4ac-b^2}{4a}=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\dfrac{1}{2},\\b=-2,\\c=3.\end{cases}$ 所以抛物线对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x^2-2x+3=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+1$. 解法二:因为抛物线的顶点为$(2,1)$,所以设$y=a(x-2)^2+1$. 把点$(4,3)$代入,得$a(4-2)^2+1=3$,解得$a=\dfrac{1}{2}$. 所以抛物线对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2+1$.
2 某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的表达式为
$y=-x^2+2x+3$
。答案
$y=-x^2+2x+3$
3 已知二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，顶点在$x$轴上，并与$y$轴交于点$(0,3)$，求二次函数的表达式。
答案
由题意,可设$y=a(x+2)^2$. 将$(0,3)$代入,得$4a=3$,解得$a=\dfrac{3}{4}$. 所以$y=\dfrac{3}{4}(x+2)^2$。
4 若点$A(0,-1),B(1,3),C(2,11)$在同一条抛物线上,则该抛物线对应的函数表达式为
$y=2x^2+2x-1$
.答案
$y=2x^2+2x-1$
5 已知抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2 + bx + c$ 过 $C(-1,m)$，$D(5,m),A(4,-1)$三点.求抛物线对应的函数表达式.
答案
因为抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2+bx+c$过点$C(-1,m)$和点$D(5,m)$,所以对称轴是直线$x=\dfrac{-1+5}{2}=2$,即$-\dfrac{b}{2×\dfrac{1}{3}}=2$,解得$b=-\dfrac{4}{3}$. 所以$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x+c$. 因为抛物线过点$A(4,-1)$,所以$\dfrac{1}{3}×4^2-\dfrac{4}{3}×4+c=-1$,解得$c=-1$. 所以抛物线对应的函数表达式为$y=\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{4}{3}x-1$。
6 若抛物线经过$(0,1),(-1,0),(1,0)$三点,则此抛物线对应的函数表达式为 （
A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$
C
）A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$
答案
C
7 一题多解 抛物线与$x$轴交于点$(1,0)$和点$(3,0)$，且经过点$(2,2)$，则该抛物线对应的函数表达式为（
A.$y=-2(x-1)(x-3)$
B.$y=2(x-1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x-3)$
D.$y=(x-1)(x-3)$
A
）A.$y=-2(x-1)(x-3)$
B.$y=2(x-1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x-3)$
D.$y=(x-1)(x-3)$
答案
A 解析:解法一(交点式法):设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)(x-3)$,将点$(2,2)$的坐标代入,得$2=a(2-1)(2-3)$,即$-a=2$,解得$a=-2$. 所以抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-1)(x-3)$. 解法二(一般式法):设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+bx+c$,将$(1,0),(3,0),(2,2)$分别代入,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\4a+2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-2,\\b=8,\\c=-6.\end{cases}$ 所以抛物线对应的函数表达式为$y=-2x^2+8x-6$,即$y=-2(x-1)(x-3)$.
8 如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，点C在y轴的正半轴上，且$OC=AB$.求：
(1) 点C的坐标；
(2) 这个二次函数的表达式.
(1) 点C的坐标；
(2) 这个二次函数的表达式.
答案
(1) 因为点A的坐标为$(-1,0)$,点B的坐标为$(4,0)$,所以$OA=1$,$OB=4$. 所以$AB=OA+OB=1+4=5$. 因为$OC=AB$,所以$OC=5$,即点C的坐标为$(0,5)$ (2) 设这个二次函数的表达式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$. 因为点$C(0,5)$在该二次函数的图象上,所以$a(0-4)×(0+1)=5$,解得$a=-\dfrac{5}{4}$. 所以$y=-\dfrac{5}{4}(x-4)(x+1)=-\dfrac{5}{4}(x^2-3x-4)=-\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{15}{4}x+5$。
