10 数形结合思想 [2026 杭州段测]二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，根据图象，某同学得出以下四个结论：①$abc＜0$；②$2a+b＞0$；③$9a-3b+c＞0$；④$\frac{1}{4}b^2 - ac=0$。其中，正确的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

B

11 如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$经过点$(-1,0),(0,2)$，且顶点在第一象限。设$M=4a+2b+c$，则$M$的取值范围是。

$-6＜M＜6$ 解析:将$(-1,0)$与$(0,2)$代入$y=ax^2+bx+c$,得$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=2,\end{cases}$ 所以$b=a+2$. 所以$M=4a+2(a+2)+2=6a+6=6(a+1)$. 由题意,得$-\dfrac{b}{2a}＞0,a＜0$,所以$b＞0$. 所以$a＞-2$. 所以$-2＜a＜0$. 所以$-1＜a+1＜1$. 所以$-6＜6(a+1)＜6$,即$M$的取值范围是$-6＜M＜6$.

12 已知一抛物线形大门，其地面宽度$AB=18\ \mathrm{m}$. 一同学站在大门内，在离点$B$处$1\ \mathrm{m}$远的点$D$处，垂直地面立起一根长度为$1.7\ \mathrm{m}$的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形大门上的点$C$处. 建立如图所示的平面直角坐标系. 求：
（1）大门所在抛物线对应的函数表达式；
（2）大门的高度$h$.
（第12题）

(1) 由题意,得抛物线经过坐标原点,且点A,B,C的坐标分别为(0,0),(18,0),(17,1.7). 设大门所在抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+bx(a≠0)$. 把B,C两点的坐标代入,得$\begin{cases}18^2a+18b=0,\\17^2a+17b=1.7,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.1,\\b=1.8.\end{cases}$ 所以大门所在抛物线对应的函数表达式为$y=-0.1x^2+1.8x$ (2) 因为$y=-0.1x^2+1.8x=-0.1(x-9)^2+8.1$,所以抛物线的顶点坐标为$(9,8.1)$. 所以大门的高度$h$为$8.1\ \mathrm{m}$.

【例】在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2-2ax+a^2$与一次函数$y=ax+a$的图象可能是（ D ）

【方法归纳】先看图象的“自相矛盾”，本题一次函数中一次项系数与常数项均为$a$，应同正或同负，因此判断选项A，C错误；再看“互相矛盾”，B选项中，二次函数的$a＞0$，一次函数的$a＜0$，故错误。D选项中二次函数、一次函数均满足$a＞0$，故应选D。

解：
先将二次函数解析式配方，得$y=x^2-2ax+a^2=(x-a)^2$，
可知该二次函数开口向上，顶点坐标为$(a,0)$。
对于一次函数$y=ax+a$，其一次项系数为$a$，常数项也为$a$，因此一次函数的斜率和它与$y$轴交点的纵坐标符号相同：
选项A中，一次函数斜率为负（即$a＜0$），但它与$y$轴交点的纵坐标为正（即$a＞0$），前后矛盾，排除A；
选项C中，一次函数斜率为正（即$a＞0$），但它与$y$轴交点的纵坐标为负（即$a＜0$），前后矛盾，排除C；
选项B中，二次函数顶点在$x$轴正半轴，即$a＞0$，但一次函数斜率为负，即$a＜0$，二者$a$的取值矛盾，排除B；
选项D中，二次函数顶点在$x$轴正半轴，即$a＞0$，一次函数斜率为正、与$y$轴交点纵坐标为正，符合$a＞0$的条件，二者性质一致。
综上，答案为$\boldsymbol{D}$。

【同步演练】数形结合思想 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=ax^2+2acx+ac^2$的大致图象可以是（）

B