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17.(8分)(包头中考改编)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE,BE,CE,将 $ \triangle ABE $ 绕点B顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 到 $ \triangle CBE' $ 的位置。若 $ AE = 1,BE = 2,CE = 3 $,求 $ \angle AEB $ 的度数。
答案
连接EE'.∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE'的位置,∴∠EBE'=90°,∴△EBE'是直角三角形.∵△ABE与△CBE'全等,∴BE=BE'=2,∠AEB=∠CE'B,∴∠BEE'=∠BE'E=45°,∴EE'²=2²+2²=8,AE=CE'=1.又EC=3,EC²=E'C²+EE'²,∴△EE'C是直角三角形,∴∠EE'C=90°,∴∠BE'C=∠BE'E+∠EE'C=135°,∴∠AEB=135°.
18.(9分)(徐州中考)如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,使C,A两点重合,点D落在点G处。已知 $ AB = 4,BC = 8 $。
(1)求证：$ \triangle AEF $ 是等腰三角形；
(2)求线段FD的长。
(1)求证：$ \triangle AEF $ 是等腰三角形；
(2)求线段FD的长。
答案
(1)由折叠的性质得∠CEF=∠AEF.∵四边形ABCD是长方形,∴AD//BC,∴∠AFE=∠CEF,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴△AEF是等腰三角形.
(2)∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC=8,AB=CD=4,∠D=90°.设FD=x,则AF=8−x.由折叠的性质得GF=FD=x,AG=CD=4,∠AGF=∠D=90°,∴在Rt△AGF中,有AG²+GF²=AF²,即4²+x²=(8−x)²,解得x=3,即线段FD的长为3.
(2)∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC=8,AB=CD=4,∠D=90°.设FD=x,则AF=8−x.由折叠的性质得GF=FD=x,AG=CD=4,∠AGF=∠D=90°,∴在Rt△AGF中,有AG²+GF²=AF²,即4²+x²=(8−x)²,解得x=3,即线段FD的长为3.
19.(13分)(扬州中考改编)我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差。如图①,在 $ \triangle ABC $ 中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于 $ AO^{2}-BO^{2} $ 的值,可记为 $ AB\triangle AC = AO^{2}-BO^{2} $。
(1)在图①中,若 $ \angle BAC = 90^{\circ},AB = 8,AC = 6 $,AO是BC边上的中线,则 $ AB\triangle AC = $______,$ OC\triangle OA = $______；
(2)如图②,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 4,\angle BAC = 120^{\circ} $,求 $ AB\triangle AC,BA\triangle BC $ 的值；
(3)如图③,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,AO是BC边上的中线,点N在AO上,且 $ ON = \frac{1}{3}AO $。已知 $ AB\triangle AC = 14,BN\triangle BA = 10 $,求BC的长。
(1)在图①中,若 $ \angle BAC = 90^{\circ},AB = 8,AC = 6 $,AO是BC边上的中线,则 $ AB\triangle AC = $______,$ OC\triangle OA = $______；
(2)如图②,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 4,\angle BAC = 120^{\circ} $,求 $ AB\triangle AC,BA\triangle BC $ 的值；
(3)如图③,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,AO是BC边上的中线,点N在AO上,且 $ ON = \frac{1}{3}AO $。已知 $ AB\triangle AC = 14,BN\triangle BA = 10 $,求BC的长。
答案
(1)0 7 解析:∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,∴BC=10,∴BO=$\frac{1}{2}$BC=5.∵∠BAC=90°,AO是斜边BC上的中线,∴AO=$\frac{1}{2}$BC=5,∴AB△AC=AO²−BO²=25−25=0.如图①,取AC的中点M,连接OM,∴CM=$\frac{1}{2}$AC=3.∵AO=CO=5,∴OM⊥AC,∴∠OMC=90°,∴OM²=OC²−CM²=5²−3²=16,∴OC△OA=OM²−CM²=16−9=7.
(2)如图②,过点A作AD⊥BC于点D.∵AB=AC,∠BAC=120°,∴AD为边BC上的中线,∠ABC=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=30°.在Rt△ABD中,∵AB=4,∠ABC=30°,易得AD=$\frac{1}{2}$AB=2,∴BD²=AB²−AD²=4²−2²=12,∴AB△AC=AD²−BD²=2²−12=4−12=−8.过点B作BE⊥AC,交CA的延长线于点E,取AC的中点F,连接BF,∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2,∠BEA=90°,∴∠ABE=∠BAC−∠BEA=120°−90°=30°.在Rt△ABE中,∵AB=4,∠ABE=30°,易得AE=$\frac{1}{2}$AB=2,∴BE²=AB²−AE²=4²−2²=12.在Rt△BEF中,∵BE²=12,EF=AE+AF=2+2=4,∴BF²=BE²+EF²=12+16=28,∴BA△BC=BF²−AF²=28−4=24.
(3)如图③,取AN的中点M,连接BM.∵ON=$\frac{1}{3}$AO,∴设AM=MN=NO=x.∵AB△AC=AO²−BO²=9x²−BO²=14,∴BO²=9x²−14.∵BN△BA=BM²−AM²=BM²−x²=10,∴BM²=x²+10.∵BO²+OM²=BM²,∴(9x²−14)+4x²=x²+10,得x²=2,∴BO²=9x²−14=4,∴BO=2,BC=2BO=4.
