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5.现有一家物流公司计划建造仓库来存储货物,经过市场调查,了解到下列信息:仓库每月土地占地费$y_1($单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)之间的关系为$y_1= m/(x+1)(m≠0);$每月库存货物费$y_2($单位:万元)与x之间的关系为$y_2= nx(n≠0).$若在距离车站11km处建仓库,则$y_1$和$y_2$分别为4万元和33万元.
(1)求m,n的值.
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? 最小费用是多少?
(1)求m,n的值.
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小? 最小费用是多少?
答案
解：(1)当 $ x = 11 $ 时，$ y_1 = \frac{m}{11 + 1} = 4 $，$ y_2 = 11n = 33 $，解得 $ m = 48 $，$ n = 3 $。
(2)由(1)，得 $ y_1 = \frac{48}{x + 1} $，$ y_2 = 3x $。
设两项费用之和为 $ y $，则 $ y = y_1 + y_2 = \frac{48}{x + 1} + 3x $。因为 $ x ＞ 0 $，所以 $ x + 1 ＞ 1 $，则 $ y = \frac{48}{x + 1} + 3x = \frac{48}{x + 1} + 3(x + 1) - 3 \geq 2\sqrt{\frac{48}{x + 1} \cdot 3(x + 1)} - 3 = 21 $，当且仅当 $ \frac{48}{x + 1} = 3(x + 1) $，即 $ x = 3 $ 时，等号成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站 3 km 处，才能使两项费用之和最小，最小费用是 21 万元。
(2)由(1)，得 $ y_1 = \frac{48}{x + 1} $，$ y_2 = 3x $。
设两项费用之和为 $ y $，则 $ y = y_1 + y_2 = \frac{48}{x + 1} + 3x $。因为 $ x ＞ 0 $，所以 $ x + 1 ＞ 1 $，则 $ y = \frac{48}{x + 1} + 3x = \frac{48}{x + 1} + 3(x + 1) - 3 \geq 2\sqrt{\frac{48}{x + 1} \cdot 3(x + 1)} - 3 = 21 $，当且仅当 $ \frac{48}{x + 1} = 3(x + 1) $，即 $ x = 3 $ 时，等号成立，所以这家公司应该把仓库建在距离车站 3 km 处，才能使两项费用之和最小，最小费用是 21 万元。
6.某旅游公司在相距100km的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船最大速度为50km/h,游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比,当游船速度为20km/h时,燃料费用为每小时60元.其他费用为每小时240元,且单程的收入为6000元.
(1)当游船以30km/h的速度航行时,旅游公司单程获得的利润是多少? (利润= 收入-成本)
(2)当游船的航速为多少时,旅游公司单程获得的利润最大? 最大利润是多少?
(1)当游船以30km/h的速度航行时,旅游公司单程获得的利润是多少? (利润= 收入-成本)
(2)当游船的航速为多少时,旅游公司单程获得的利润最大? 最大利润是多少?
答案
解：设游船的速度为 $ v \text{ km/h} $，旅游公司单程获得的利润为 $ y $ 元，游船的燃料费用为每小时 $ k \cdot v^2 $ 元。
依题意，得 $ k \cdot 20^2 = 60 $，则 $ k = \frac{3}{20} $，所以 $ y = 6000 - (\frac{3}{20}v^2 \cdot \frac{100}{v} + 240 \cdot \frac{100}{v}) = 6000 - 15v - \frac{24000}{v}(0 ＜ v \leq 50) $。
(1)当 $ v = 30 $ 时，$ y = 4750 $，所以旅游公司单程获得的利润是 4750 元。
(2)$ y = 6000 - 15v - \frac{24000}{v} \leq 6000 - 2\sqrt{15v \cdot \frac{24000}{v}} = 4800 $，当且仅当 $ 15v = \frac{24000}{v} $，即 $ v = 40 $ 时，等号成立，所以当游船的航速为 40 km/h 时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是 4800 元。
依题意，得 $ k \cdot 20^2 = 60 $，则 $ k = \frac{3}{20} $，所以 $ y = 6000 - (\frac{3}{20}v^2 \cdot \frac{100}{v} + 240 \cdot \frac{100}{v}) = 6000 - 15v - \frac{24000}{v}(0 ＜ v \leq 50) $。
(1)当 $ v = 30 $ 时，$ y = 4750 $，所以旅游公司单程获得的利润是 4750 元。
(2)$ y = 6000 - 15v - \frac{24000}{v} \leq 6000 - 2\sqrt{15v \cdot \frac{24000}{v}} = 4800 $，当且仅当 $ 15v = \frac{24000}{v} $，即 $ v = 40 $ 时，等号成立，所以当游船的航速为 40 km/h 时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是 4800 元。
7.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形的三条边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S= √{p(p-a)(p-b)(p-c)}求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦一秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a= 6,b+c= 8,则此三角形面积的最大值为 ()
A.3√7
B.8
C.4√7
D.9√3
A.3√7
B.8
C.4√7
D.9√3
答案
A 由题意，知 $ p = 7 $，$ S = \sqrt{7(7 - a)(7 - b)(7 - c)} = \sqrt{7(7 - b)(7 - c)} \leq \sqrt{7} \times \frac{7 - b + 7 - c}{2} = 3\sqrt{7} $，当且仅当 $ 7 - b = 7 - c $，即 $ b = c = 4 $ 时，等号成立，故此三角形面积的最大值为 $ 3\sqrt{7} $。
8.(多选)一个矩形的周长为l,面积为S,则下列四组数对中,可作为数对(S,l)的有 ()
A.(1,4)
B.(6,8)
C.(7,12)
D.(3,1/2)
A.(1,4)
B.(6,8)
C.(7,12)
D.(3,1/2)
答案
AC 设矩形的长和宽分别为 $ x $，$ y $，则 $ x + y = \frac{1}{2}l $，$ xy = S $。
$\because xy \leq \frac{(x + y)^2}{4} $，当且仅当 $ x = y = \frac{1}{4}l $ 时，等号成立，
$\therefore S \leq \frac{l^2}{16} $，故 AC 符合题意。
$\because xy \leq \frac{(x + y)^2}{4} $，当且仅当 $ x = y = \frac{1}{4}l $ 时，等号成立，
$\therefore S \leq \frac{l^2}{16} $，故 AC 符合题意。
9.某地计划建造一个室内面积为$1500m^2$的矩形温室大棚,并在温室大棚内建造两个大小、形状完全相同的矩形养殖池,其中温室大棚的前、后、左、右内墙各保留1.5m宽的通道,两养殖池之间保留2m宽的通道.设温室大棚的一边长为x m,如图所示.
(1)将两个养殖池的总面积y表示为关于x的函数,并写出x的取值范围.
(2)当温室大棚的边长x取何值时,总面积y最大? 最大为多少?
(提示:(1)利用矩形温室大棚的一边长x分别表示出养殖池的长和宽;(2)化简y关于x的函数解析式,直到出现“和为定值”或“积为定值”)
(1)将两个养殖池的总面积y表示为关于x的函数,并写出x的取值范围.
(2)当温室大棚的边长x取何值时,总面积y最大? 最大为多少?
(提示:(1)利用矩形温室大棚的一边长x分别表示出养殖池的长和宽;(2)化简y关于x的函数解析式,直到出现“和为定值”或“积为定值”)
答案
解：(1)由题意，得温室大棚的另一边长为 $ \frac{1500}{x} \text{ m} $，因此养殖池的总面积 $ y = (x - 3)(\frac{1500}{x} - 5) $。因为 $ x - 3 ＞ 0 $，$ \frac{1500}{x} - 5 ＞ 0 $，所以 $ 3 ＜ x ＜ 300 $。
(2)$ y = (x - 3)(\frac{1500}{x} - 5) = 1515 - (\frac{4500}{x} + 5x) \leq 1515 - 2\sqrt{\frac{4500}{x} \cdot 5x} = 1515 - 300 = 1215 $，当且仅当 $ \frac{4500}{x} = 5x $，即 $ x = 30 $ 时，等号成立，所以当温室大棚的边长 $ x $ 取 30 时，总面积 $ y $ 最大，最大为 $ 1215 \text{ m}^2 $。
(2)$ y = (x - 3)(\frac{1500}{x} - 5) = 1515 - (\frac{4500}{x} + 5x) \leq 1515 - 2\sqrt{\frac{4500}{x} \cdot 5x} = 1515 - 300 = 1215 $，当且仅当 $ \frac{4500}{x} = 5x $，即 $ x = 30 $ 时，等号成立，所以当温室大棚的边长 $ x $ 取 30 时，总面积 $ y $ 最大，最大为 $ 1215 \text{ m}^2 $。
