5 如图,在$△ ABC$中,$DE// BC$,$EF// CD$.求证:$AD$是$AB$和$AF$的比例中项.

5.
∵ DE//BC,
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵ EF//CD,
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AD}$.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AD}$.
∴ $AD^2=AF·AB$.
∴ AD 是AB 和 AF 的比例中项

6 如图，在$□ ABCD$中，过点B作直线交AC，AD于点O，E，交CD的延长线于点F.
（1）若$AB=4$，$BC=6$，$DF=2$，求AE的长；
（2）求证：$OB^2 = OE · OF$.

6. (1)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD,AD=BC=6.
∴ 易得△ABE∽△DFE.
∴ $\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{DE}$.
∵ AB=4,DF=2,
∴ $\frac{4}{2}=\frac{AE}{6-AE}$,解得 AE=4
(2)
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AB//CD.
∴ 易得△AOB∽△COF.
∴ $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OF}$.同理可证△AOE∽△COB.
∴ $\frac{OA}{OC}=\frac{OE}{OB}$.
∴ $\frac{OB}{OF}=\frac{OE}{OB}$,即$OB^2=OF·OE$

7 如图，在$△ ABC$中，D是AB上一点，E是$△ ABC$内一点，$DE// BC$，过点D作AC的平行线，交CE的延长线于点F，CF与AB交于点P，连接BF。求证：$\frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$。

7.
∵ DE//BC,
∴ 易得△PDE∽△PBC.
∴ $\frac{PD}{PB}=\frac{PE}{PC}$,即PD·PC=PB·PE.
∵ DF//AC,
∴ 易得△PDF∽△PAC.
∴ $\frac{PD}{PA}=\frac{PF}{PC}$,即PD·PC=PA·PF.
∴ PE·PB=PA·PF.
∴ $\frac{PE}{PF}=\frac{PA}{PB}$

8 如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E为CD延长线上的一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，交CE于点F。求证：$CD^2 = ED · FD$。

8.
∵ CD⊥AB,
∴ ∠ADC=∠CDB=90°.
∴ ∠BCD+∠CBD=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ ∠ACD+∠BCD=90°.
∴ ∠ACD=∠CBD.
∴ △ADC∽△CDB.
∴ $\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
∴ $CD^2=AD·BD$.
∵ BG⊥AE,CD⊥AB,
∴ ∠ADE=∠BDF=90°,∠EGF=90°.
∵ ∠DFB=∠EFG,
∴ ∠DBF=∠E.
∴ △ADE∽△FDB.
∴ $\frac{AD}{FD}=\frac{ED}{BD}$.
∴ AD·BD=ED·FD.
∴ $CD^2=ED·FD$