1 如图,在矩形ABCD中,E为边CD上一点,且$AE ⊥ BD$,垂足为H.求证:$AD^2 = DE · AB$.

1.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠ADE=∠BAD=90°,DC//AB.
∴ ∠EDH+∠ADB=90°,∠EDH=∠ABD.
∵ AE⊥BD,
∴ ∠AHD=90°.
∴ 在 Rt△AHD 中,∠DAE+∠ADB=90°.
∴ ∠EDH=∠DAE.
∴ ∠DAE=∠ABD.
∴ △DAE∽△ABD.
∴ $\frac{AD}{BA}=\frac{DE}{AD}$.
∴ $AD^2=DE·AB$

2 如图，在$□ ABCD$中，$AM⊥ BC$，$AN⊥ CD$，$M,N$分别为垂足，求证：$\frac{AM}{BA}=\frac{MN}{AC}$。

2.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ ∠B=∠D,AB//CD,AD=BC.
∵ AM⊥BC,AN⊥CD,
∴ ∠AMB=∠AND=90°.
∴ △AMB∽△AND.
∴ $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AD}$.
∴ $\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{BC}$,即$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{BC}$①.
∵ AB//CD,
∴ ∠BAN=∠AND=90°.
∴ ∠BAM+∠MAN=90°.
∵ 在 Rt△AMB 中,∠B+∠BAM=90°,
∴ ∠MAN=∠B②.由①②得△AMN∽△BAC,
∴ $\frac{AM}{BA}=\frac{MN}{AC}$

3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D。求证:AC·BE=CE·AD。

3.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ CB=AD,∠D=∠B.
∵ ∠ECA=∠D,
∴ ∠ECA=∠B.
∵ ∠E=∠E,
∴ △EAC∽△ECB.
∴ $\frac{AC}{CB}=\frac{CE}{BE}$.
∴ $\frac{AC}{AD}=\frac{CE}{BE}$.
∴ AC·BE=CE·AD

4 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,DC⊥BC,AB=AD,AM⊥BD,垂足为M,连接CM并延长,交线段AB于点N.求证:
(1) $∠ ABD=∠ BCM$;
(2) $BC · BN=CN · DM$.

4. (1)
∵ AB=AD,
∴ ∠ABD=∠ADB.
∵ AD//BC,
∴ ∠ADB=∠MBC.
∴ ∠ABD=∠MBC.
∵ AB=AD,AM⊥BD,
∴ MB=DM=$\frac{1}{2}$BD.
∵ DC⊥BC,
∴ ∠BCD=90°.
∴ 在Rt△BCD 中,CM=$\frac{1}{2}$BD.
∴ MB=CM.
∴ ∠MBC=∠BCM.
∴ ∠ABD=∠BCM
(2)
∵ ∠BNM=∠CNB,∠NBM=∠NCB,
∴ △NBM∽△NCB.
∴ $\frac{BN}{CN}=\frac{MB}{BC}$.
∵ MB=DM,
∴ $\frac{BN}{CN}=\frac{DM}{BC}$.
∴ BC·BN=CN·DM