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7.【教材P59复习题T8拓展】直线$l_1,l_2,l_3$表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
【点拨】三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等.该货物中转站可能在三条公路围成的三角形内，也可在此三角形外.
02 综合练 关键能力提升→
D
）A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
【点拨】三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在直线的距离也相等.该货物中转站可能在三条公路围成的三角形内，也可在此三角形外.
02 综合练 关键能力提升→
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确三条两两相交的公路相当于三条两两相交的直线，会围成一个三角形。要找到到三条公路距离都相等的点，就需要找同时在三条直线两两形成的角的平分线上的点：首先考虑三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，满足条件；再考虑三角形外部，任意两个外角的角平分线的交点也满足到三条直线距离相等，这类交点共有3个，加起来就是所有符合要求的地址数量。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条两两相交的直线围成1个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，是1处符合要求的地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会交于1点，该点到三条公路所在直线的距离同样相等，这样的外角平分线交点共有3处；
3. 综上，符合要求的地址总共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形内外角平分线交点
【点评】
本题是角平分线性质在实际生活中的应用，解题时容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点，需要全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要用到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确三条两两相交的公路相当于三条两两相交的直线，会围成一个三角形。要找到到三条公路距离都相等的点，就需要找同时在三条直线两两形成的角的平分线上的点：首先考虑三角形内部，三个内角的角平分线会交于1个点，满足条件；再考虑三角形外部，任意两个外角的角平分线的交点也满足到三条直线距离相等，这类交点共有3个，加起来就是所有符合要求的地址数量。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1. 三条两两相交的直线围成1个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，是1处符合要求的地址；
2. 三角形任意两个外角的角平分线也会交于1点，该点到三条公路所在直线的距离同样相等，这样的外角平分线交点共有3处；
3. 综上，符合要求的地址总共有1+3=4处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；三角形内外角平分线交点
【点评】
本题是角平分线性质在实际生活中的应用，解题时容易仅考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点，需要全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.(2024·衡水期中)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线相交于点E.若存在点P,使得$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$,则满足此条件的点P（
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E平分线所在的直线与∠E的邻补角的平分线所在的直线(点E除外)
D
）A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的平分线
D.组成∠E平分线所在的直线与∠E的邻补角的平分线所在的直线(点E除外)
答案
8. D
解析
【分析】
要判断满足$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$的点P的集合，首先利用三角形面积公式分析：已知AB=CD，两个三角形的底相等，因此面积相等等价于点P到AB所在直线、CD所在直线的距离相等。接下来结合角平分线的判定定理：到角两边所在直线距离相等的点在角的平分线所在直线或其邻补角的平分线所在直线上，最后注意排除不能构成三角形的点E即可。
【解析】
∵$S_{△PAB}=\frac{1}{2} × AB × h_1$，$S_{△PCD}=\frac{1}{2} × CD × h_2$，其中$h_1$是点P到AB所在直线的距离，$h_2$是点P到CD所在直线的距离。
又
∵AB=CD，且$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，
∴$h_1=h_2$，即点P到直线EB、直线EC的距离相等。
根据角平分线的判定：到角两边所在直线距离相等的点，在∠E的平分线所在直线，或∠E的邻补角的平分线所在直线上。
当点P与点E重合时，P、A、B三点共线，P、C、D三点共线，无法构成三角形，需排除点E。
因此满足条件的点P组成∠E的平分线所在的直线与∠E的邻补角的平分线所在的直线(点E除外)。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题综合考查面积条件和角平分线判定的结合，解题的核心是将面积相等的条件转化为点到两条直线的距离相等，易错点是容易仅考虑角平分线（射线）忽略直线，或漏看邻补角的平分线，以及忽略排除点E的特殊情况。
【难度系数】
0.6
要判断满足$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$的点P的集合，首先利用三角形面积公式分析：已知AB=CD，两个三角形的底相等，因此面积相等等价于点P到AB所在直线、CD所在直线的距离相等。接下来结合角平分线的判定定理：到角两边所在直线距离相等的点在角的平分线所在直线或其邻补角的平分线所在直线上，最后注意排除不能构成三角形的点E即可。
【解析】
∵$S_{△PAB}=\frac{1}{2} × AB × h_1$，$S_{△PCD}=\frac{1}{2} × CD × h_2$，其中$h_1$是点P到AB所在直线的距离，$h_2$是点P到CD所在直线的距离。
又
∵AB=CD，且$S_{△ PAB}=S_{△ PCD}$，
∴$h_1=h_2$，即点P到直线EB、直线EC的距离相等。
根据角平分线的判定：到角两边所在直线距离相等的点，在∠E的平分线所在直线，或∠E的邻补角的平分线所在直线上。
当点P与点E重合时，P、A、B三点共线，P、C、D三点共线，无法构成三角形，需排除点E。
因此满足条件的点P组成∠E的平分线所在的直线与∠E的邻补角的平分线所在的直线(点E除外)。
【答案】
D
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题综合考查面积条件和角平分线判定的结合，解题的核心是将面积相等的条件转化为点到两条直线的距离相等，易错点是容易仅考虑角平分线（射线）忽略直线，或漏看邻补角的平分线，以及忽略排除点E的特殊情况。
【难度系数】
0.6
9.【教材P51练习T2变式】如图，$∠ ABC$的平分线与$△ ACB$的外角$∠ ACM$的平分线相交于点$D$，连接$AD$.
(1)求证：$AD$是$△ BAC$的外角$∠ CAN$的平分线；
(2)若$∠ ABC=50°$，则$∠ ADC=$
(1)求证：$AD$是$△ BAC$的外角$∠ CAN$的平分线；
(2)若$∠ ABC=50°$，则$∠ ADC=$
65°
.答案
9.(1) 证明:过点D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F. 又
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACM,
∴DE=DF,DG=DF.
∴DE=DG.
∴AD平分∠EAC,即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线. (2) 65°
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACM,
∴DE=DF,DG=DF.
∴DE=DG.
∴AD平分∠EAC,即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线. (2) 65°
解析
【分析】
(1) 要证明AD是△BAC的外角∠CAN的平分线，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到∠CAN的两边AN、AC的距离相等即可。已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，我们可以过点D作AB、AC、BC三边的垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，通过等量代换得到D到AN、AC的距离相等，即可完成证明。
(2) 求∠ADC的度数，可在△ADC中结合三角形内角和定理分析，已知AD、CD分别是对应角的平分线，可先将∠DAC+∠DCA转化为对应外角和的一半，再利用△ABC的内角和求出相关角度的和，代入计算即可得到∠ADC的度数。
【解析】
(1) 证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、G、F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CD平分∠ACM，DG⊥AC，DF⊥BC，
∴DG=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴DE=DG。
又
∵DE⊥AB，DG⊥AC，
∴AD平分∠EAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线。
(2) 解：
∵AD平分∠CAN，CD平分∠ACM，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACM。
∵∠CAN=180°-∠BAC，∠ACM=180°-∠ACB，
∴∠CAN+∠ACM=360°-(∠BAC+∠ACB)。
在△ABC中，∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，
∴∠DAC+∠DCA=$\frac{1}{2}$(∠CAN+∠ACM)=$\frac{1}{2}$×(360°-130°)=115°。
在△ADC中，∠ADC=180°-(∠DAC+∠DCA)=180°-115°=65°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查角平分线相关定理与三角形内角和的综合应用，作垂线段是解决角平分线类证明题的常用辅助线方法，解题时要熟练掌握角平分线的性质和判定，结合三角形内角和的性质进行角度推导即可。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AD是△BAC的外角∠CAN的平分线，可利用角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到∠CAN的两边AN、AC的距离相等即可。已知BD平分∠ABC，CD平分∠ACM，我们可以过点D作AB、AC、BC三边的垂线段，利用角平分线的性质得到垂线段的等量关系，通过等量代换得到D到AN、AC的距离相等，即可完成证明。
(2) 求∠ADC的度数，可在△ADC中结合三角形内角和定理分析，已知AD、CD分别是对应角的平分线，可先将∠DAC+∠DCA转化为对应外角和的一半，再利用△ABC的内角和求出相关角度的和，代入计算即可得到∠ADC的度数。
【解析】
(1) 证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、G、F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CD平分∠ACM，DG⊥AC，DF⊥BC，
∴DG=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴DE=DG。
又
∵DE⊥AB，DG⊥AC，
∴AD平分∠EAC（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线。
(2) 解：
∵AD平分∠CAN，CD平分∠ACM，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠CAN，∠DCA=$\frac{1}{2}$∠ACM。
∵∠CAN=180°-∠BAC，∠ACM=180°-∠ACB，
∴∠CAN+∠ACM=360°-(∠BAC+∠ACB)。
在△ABC中，∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，
∴∠DAC+∠DCA=$\frac{1}{2}$(∠CAN+∠ACM)=$\frac{1}{2}$×(360°-130°)=115°。
在△ADC中，∠ADC=180°-(∠DAC+∠DCA)=180°-115°=65°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{65°}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；三角形内角和定理
【点评】
本题考查角平分线相关定理与三角形内角和的综合应用，作垂线段是解决角平分线类证明题的常用辅助线方法，解题时要熟练掌握角平分线的性质和判定，结合三角形内角和的性质进行角度推导即可。
【难度系数】
0.7
10.(教材P53习题T8变式)
一材多题
如图,四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.求证:
(1)OC平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
一材多题
如图,四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,点O为BD的中点,且OA平分∠BAC.求证:
(1)OC平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
答案
10. 证明:(1)过点O作OE⊥AC于点E.
∵OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°,
∴OE=OB.
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD. 又∠CEO=∠D=90°,
∴点O在∠ACD的平分线上.
∴OC平分∠ACD; (2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OA⊥OC; (3)在Rt△AOB和Rt△AOE中, $\begin{cases} OE=OB,\\ OA=OA, \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL),
∴AE=AB. 同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,
∴EC=DC,
∴AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD.
∵OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°,
∴OE=OB.
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD. 又∠CEO=∠D=90°,
∴点O在∠ACD的平分线上.
∴OC平分∠ACD; (2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OA⊥OC; (3)在Rt△AOB和Rt△AOE中, $\begin{cases} OE=OB,\\ OA=OA, \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL),
∴AE=AB. 同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,
∴EC=DC,
∴AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD.
解析
【分析】
本题可结合角平分线的相关性质、全等三角形的知识逐步推导：
1. 要证OC平分∠ACD，根据角平分线的判定定理，需证明点O到∠ACD两边AC、CD的距离相等，因此过点O作OE⊥AC于E，先利用OA平分∠BAC的性质得OE=OB，再结合O是BD中点得到OB=OD，即可推出OE=OD，满足角平分线的判定条件。
2. 要证OA⊥OC，只需证明∠AOC=90°，利用角平分线的性质可知被平分的两组角分别相等，结合BD为直线（平角为180°），可推出∠AOC为平角的一半，即90°。
3. 要证AB+CD=AC，可通过证明直角三角形全等，将AB转化为AC上的线段AE，CD转化为AC上的线段CE，即可得到线段和的结论。
【解析】
(1) 过点O作OE⊥AC于点E。
∵OA平分∠BAC，∠B=∠AEO=90°，
∴OE=OB。
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD。
又
∵∠CEO=∠D=90°，
∴点O在∠ACD的平分线上，即OC平分∠ACD。
(2) 由(1)可知∠AOB=∠AOE，∠COE=∠COD，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴OA⊥OC。
(3) 在Rt△AOB和Rt△AOE中，
$\begin{cases} OE=OB \\ OA=OA \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL)，
∴AE=AB。
同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC，
∴EC=DC，
∴AE+CE=AB+CD，即AC=AB+CD。
【答案】
(1) 过点O作OE⊥AC于点E.
∵OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°,
∴OE=OB.
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD. 又∠CEO=∠D=90°,
∴点O在∠ACD的平分线上.
∴OC平分∠ACD;
(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OA⊥OC;
(3)在Rt△AOB和Rt△AOE中, $\begin{cases} OE=OB,\\ OA=OA, \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL),
∴AE=AB. 同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,
∴EC=DC,
∴AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD.
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题是角平分线相关的综合典型题，解题核心是通过作垂线构造符合角平分线性质的辅助线，结合全等三角形的判定与性质，依次完成角平分线、垂直、线段和差三类证明，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
本题可结合角平分线的相关性质、全等三角形的知识逐步推导：
1. 要证OC平分∠ACD，根据角平分线的判定定理，需证明点O到∠ACD两边AC、CD的距离相等，因此过点O作OE⊥AC于E，先利用OA平分∠BAC的性质得OE=OB，再结合O是BD中点得到OB=OD，即可推出OE=OD，满足角平分线的判定条件。
2. 要证OA⊥OC，只需证明∠AOC=90°，利用角平分线的性质可知被平分的两组角分别相等，结合BD为直线（平角为180°），可推出∠AOC为平角的一半，即90°。
3. 要证AB+CD=AC，可通过证明直角三角形全等，将AB转化为AC上的线段AE，CD转化为AC上的线段CE，即可得到线段和的结论。
【解析】
(1) 过点O作OE⊥AC于点E。
∵OA平分∠BAC，∠B=∠AEO=90°，
∴OE=OB。
∵点O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD。
又
∵∠CEO=∠D=90°，
∴点O在∠ACD的平分线上，即OC平分∠ACD。
(2) 由(1)可知∠AOB=∠AOE，∠COE=∠COD，
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴OA⊥OC。
(3) 在Rt△AOB和Rt△AOE中，
$\begin{cases} OE=OB \\ OA=OA \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL)，
∴AE=AB。
同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC，
∴EC=DC，
∴AE+CE=AB+CD，即AC=AB+CD。
【答案】
(1) 过点O作OE⊥AC于点E.
∵OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°,
∴OE=OB.
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD,
∴OE=OD. 又∠CEO=∠D=90°,
∴点O在∠ACD的平分线上.
∴OC平分∠ACD;
(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE=∠COD,
∴∠AOC=$\frac{1}{2}$∠BOE+$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$×180°=90°,
∴OA⊥OC;
(3)在Rt△AOB和Rt△AOE中, $\begin{cases} OE=OB,\\ OA=OA, \end{cases}$
∴Rt△AOB≌Rt△AOE(HL),
∴AE=AB. 同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,
∴EC=DC,
∴AE+CE=AB+CD,即AC=AB+CD.
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题是角平分线相关的综合典型题，解题核心是通过作垂线构造符合角平分线性质的辅助线，结合全等三角形的判定与性质，依次完成角平分线、垂直、线段和差三类证明，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
