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1. 角的内部到角两边距离相等的点在
角的平分
线上。答案
1. 角的平分
解析
【分析】
解题时可先回忆角平分线的相关定理，首先我们已经学习过角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，本题是该性质的逆向应用，也就是角平分线的判定逻辑：当角内部的点满足到角两边距离相等的条件时，这个点的位置就符合角平分线的特征，由此可推出结论。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，因此横线处应填“角的平分”。
【答案】
角的平分
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对基础定理的识记情况，熟练掌握相关定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可先回忆角平分线的相关定理，首先我们已经学习过角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，本题是该性质的逆向应用，也就是角平分线的判定逻辑：当角内部的点满足到角两边距离相等的条件时，这个点的位置就符合角平分线的特征，由此可推出结论。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，因此横线处应填“角的平分”。
【答案】
角的平分
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对基础定理的识记情况，熟练掌握相关定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 三角形的三条角平分线相交于三角形
内
一点，且该点到三角形 三边
的距离相等。答案
2. 内 三边
解析
【分析】
本题考查三角形角平分线的相关性质，解题时可按以下思路思考：首先回忆三角形内角角平分线的位置，三角形的三个内角的角平分线均位于三角形内部，因此三条角平分线的交点必然在三角形内部；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三边的距离都相等。
【解析】
首先，三角形的内角角平分线全部在三角形内部，因此三条角平分线的交点位于三角形内部；其次，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，该交点同时在三条角平分线上，因此到三个角的两边（即三角形的三边）距离相等。因此两个空依次填“内”和“三边”。
【答案】
内；三边
【知识点】
三角形角平分线性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕三角形角平分线的核心性质命题，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速作答，该知识点是后续学习三角形内心、内切圆等内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形角平分线的相关性质，解题时可按以下思路思考：首先回忆三角形内角角平分线的位置，三角形的三个内角的角平分线均位于三角形内部，因此三条角平分线的交点必然在三角形内部；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，三条角平分线的交点同时在三个内角的角平分线上，因此该点到三角形三边的距离都相等。
【解析】
首先，三角形的内角角平分线全部在三角形内部，因此三条角平分线的交点位于三角形内部；其次，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，该交点同时在三条角平分线上，因此到三个角的两边（即三角形的三边）距离相等。因此两个空依次填“内”和“三边”。
【答案】
内；三边
【知识点】
三角形角平分线性质；角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要围绕三角形角平分线的核心性质命题，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速作答，该知识点是后续学习三角形内心、内切圆等内容的基础。
【难度系数】
0.9
1.(1)【新课标·补充解题过程】如图,点 P 是∠AOB内的任意一点,过点 P 作 PD⊥OA于点 D,PE⊥OB于点 E,连接 OP,若 PD=PE,则 OP 是∠AOB 的
符号语言表示为：
∵ PD⊥OA, PE⊥OB,
PD=PE,
∴ OP 是∠AOB 的
∴∠POD=
(2)【T1(1)变式】如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若 PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB 的度数为
第1(2)题图
第1(3)题图
(3)【T1(1)变式·逆向思维】如图,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PM=3,当 PN=
平分线
.符号语言表示为：
∵ PD⊥OA, PE⊥OB,
PD=PE,
∴ OP 是∠AOB 的
平分线
.∴∠POD=
∠POE
.(2)【T1(1)变式】如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若 PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB 的度数为
60°
.第1(2)题图
第1(3)题图
(3)【T1(1)变式·逆向思维】如图,PM⊥AB于M,PN⊥AC于N,PM=3,当 PN=
3
时,点 P 在∠BAC 的平分线上.答案
1.(1) 平分线 平分线 ∠POE (2) 60° (3) 3
解析
【分析】
本题考查角平分线判定定理的相关应用，解题核心是掌握“在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一判定定理。第(1)问直接套用判定定理判断OP的属性，再结合角平分线定义推导等角；第(2)问先通过判定定理确定角平分线，再结合已知角的度数求总角大小；第(3)问逆用判定定理，根据点在角平分线上的条件推导距离的数值。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，因此OP是∠AOB的平分线；根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的角，因此∠POD=∠POE。
(2) 已知PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，由角平分线的判定定理可得OC是∠AOB的平分线，即∠AOB=2∠BOC。将∠BOC=30°代入得：∠AOB=2×30°=60°。
(3) 根据角平分线的判定定理，若点P在∠BAC的平分线上，则点P到∠BAC两边AB、AC的距离相等。已知PM⊥AB，PN⊥AC，因此PN=PM=3。
【答案】
(1) 平分线 平分线 ∠POE (2) 60° (3) 3
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定的基础练习题，通过正向应用、角度计算、逆向推导三种考查形式，帮助学生熟练掌握角平分线判定的使用条件，对夯实基础有很好的作用。
【难度系数】
0.85
本题考查角平分线判定定理的相关应用，解题核心是掌握“在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”这一判定定理。第(1)问直接套用判定定理判断OP的属性，再结合角平分线定义推导等角；第(2)问先通过判定定理确定角平分线，再结合已知角的度数求总角大小；第(3)问逆用判定定理，根据点在角平分线上的条件推导距离的数值。
【解析】
(1) 根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。已知PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，因此OP是∠AOB的平分线；根据角平分线的定义，角平分线将原角分为两个相等的角，因此∠POD=∠POE。
(2) 已知PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，由角平分线的判定定理可得OC是∠AOB的平分线，即∠AOB=2∠BOC。将∠BOC=30°代入得：∠AOB=2×30°=60°。
(3) 根据角平分线的判定定理，若点P在∠BAC的平分线上，则点P到∠BAC两边AB、AC的距离相等。已知PM⊥AB，PN⊥AC，因此PN=PM=3。
【答案】
(1) 平分线 平分线 ∠POE (2) 60° (3) 3
【知识点】
角平分线的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线判定的基础练习题，通过正向应用、角度计算、逆向推导三种考查形式，帮助学生熟练掌握角平分线判定的使用条件，对夯实基础有很好的作用。
【难度系数】
0.85
2.如图，$DE⊥ AB$交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，且$BE=CF$，$DB=DC$。求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线。
答案
2. 证明:
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠DFC=90°. 在Rt△DEB和Rt△DFC中, $\begin{cases} BE=CF,\\ DB=DC, \end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE=DF. 又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线.
∵ DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠DFC=90°. 在Rt△DEB和Rt△DFC中, $\begin{cases} BE=CF,\\ DB=DC, \end{cases}$
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴DE=DF. 又
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线.
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等即可。观察图形可知DE、DF分别是Rt△DEB和Rt△DFC的直角边，题目已知两个直角三角形的斜边DB=DC、直角边BE=CF，可先通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推导得出结论。
【解析】
证明:
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\begin{cases} BE=CF \\ DB=DC \end{cases}$
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴ DE=DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关证明的基础题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等得到相等线段，再结合角平分线的判定定理完成推导，考查了对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明AD是∠BAC的平分线，可依据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点D到AB、AC的距离DE和DF相等即可。观察图形可知DE、DF分别是Rt△DEB和Rt△DFC的直角边，题目已知两个直角三角形的斜边DB=DC、直角边BE=CF，可先通过HL判定两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到DE=DF，进而推导得出结论。
【解析】
证明:
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠BED=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\begin{cases} BE=CF \\ DB=DC \end{cases}$
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）。
∴ DE=DF。
又
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ AD是∠BAC的平分线。
【答案】
AD是∠BAC的平分线，证明过程如上。
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线相关证明的基础题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等得到相等线段，再结合角平分线的判定定理完成推导，考查了对基础定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
3.在三角形中,到三边距离相等的点是 （
A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.内部任意一点
B
）A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高线的交点
D.内部任意一点
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心要求：找到三角形中到三边距离相等的点。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推导三角形三条角平分线的交点具备到三边等距的特征；再逐一对比其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，排除；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线交于同一点，该点到三角形三边的距离均相等，符合题意；
3. 选项C：三角形三条高线的交点是垂心，不存在到三边距离相等的普遍性质，排除；
4. 选项D：三角形内部任意一点不一定满足到三边距离相等，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形三线交点性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对三角形各类特殊线段交点性质的区分记忆，只要准确掌握各交点的对应特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心要求：找到三角形中到三边距离相等的点。首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由此可推导三角形三条角平分线的交点具备到三边等距的特征；再逐一对比其他选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，排除；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线交于同一点，该点到三角形三边的距离均相等，符合题意；
3. 选项C：三角形三条高线的交点是垂心，不存在到三边距离相等的普遍性质，排除；
4. 选项D：三角形内部任意一点不一定满足到三边距离相等，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形三线交点性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对三角形各类特殊线段交点性质的区分记忆，只要准确掌握各交点的对应特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.如图,在$△ ABC$中,D为三个内角平分线的交点,过点D作BC的垂线,垂足为E,若$S_{△ ABC}=24$,$DE=4$,则$△ ABC$的周长为
12
.答案
4. 12
解析
【分析】
首先，D是△ABC三个内角平分线的交点，也就是三角形的内心，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于DE=4。接下来可将△ABC的面积拆分为△ABD、△BCD、△ACD的面积之和，结合三角形面积公式建立面积与△ABC周长的等量关系，代入已知面积即可求出周长。
【解析】
∵D是△ABC三个内角平分线的交点，DE⊥BC，DE=4
∴根据角平分线的性质，点D到AB、BC、AC三边的距离相等，均为4
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}+S_{△ ACD}$
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×4 + \frac{1}{2}× BC×4 + \frac{1}{2}× AC×4$
整理得：$S_{△ ABC}=2×(AB+BC+AC)$
已知$S_{△ ABC}=24$，代入得：
$2×(AB+BC+AC)=24$
∴$AB+BC+AC=12$，即△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，面积法的应用
【点评】
本题核心是利用三角形内心的性质结合面积法求解周长，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，通过拆分大三角形面积建立已知条件和待求量的联系，是三角形相关计算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
首先，D是△ABC三个内角平分线的交点，也就是三角形的内心，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得D到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于DE=4。接下来可将△ABC的面积拆分为△ABD、△BCD、△ACD的面积之和，结合三角形面积公式建立面积与△ABC周长的等量关系，代入已知面积即可求出周长。
【解析】
∵D是△ABC三个内角平分线的交点，DE⊥BC，DE=4
∴根据角平分线的性质，点D到AB、BC、AC三边的距离相等，均为4
∵$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}+S_{△ ACD}$
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB×4 + \frac{1}{2}× BC×4 + \frac{1}{2}× AC×4$
整理得：$S_{△ ABC}=2×(AB+BC+AC)$
已知$S_{△ ABC}=24$，代入得：
$2×(AB+BC+AC)=24$
∴$AB+BC+AC=12$，即△ABC的周长为12。
【答案】
12
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，面积法的应用
【点评】
本题核心是利用三角形内心的性质结合面积法求解周长，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，通过拆分大三角形面积建立已知条件和待求量的联系，是三角形相关计算中的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
5.(2024·柳州期中)如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则$S_{△ OAB}:S_{△ OAC}:S_{△ OBC}=$
2:3:4
.答案
5. 2:3:4
解析
【分析】
要求三个三角形的面积比，首先回忆角平分线的性质：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。而三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，这三个三角形的高均为点O到对应边的距离，是相等的，因此面积比就等于对应底边AB、AC、BC的长度比，代入边长化简即可得到结果。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为$h$。
根据三角形面积公式：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$，
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$，
∴$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC$。
已知$AB=4$，$AC=6$，$BC=8$，代入得：
$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=4:6:8=2:3:4$。
【答案】
$2:3:4$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底边长的比，避免了复杂的计算，属于基础性质的应用类题目。
【难度系数】
0.7
要求三个三角形的面积比，首先回忆角平分线的性质：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等。而三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，这三个三角形的高均为点O到对应边的距离，是相等的，因此面积比就等于对应底边AB、AC、BC的长度比，代入边长化简即可得到结果。
【解析】
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点O到AB、AC、BC三边的距离相等，设该距离为$h$。
根据三角形面积公式：
$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△OAC}=\frac{1}{2}×AC×h$，
$S_{△OBC}=\frac{1}{2}×BC×h$，
∴$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=AB:AC:BC$。
已知$AB=4$，$AC=6$，$BC=8$，代入得：
$S_{△OAB}:S_{△OAC}:S_{△OBC}=4:6:8=2:3:4$。
【答案】
$2:3:4$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，比的化简
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底边长的比，避免了复杂的计算，属于基础性质的应用类题目。
【难度系数】
0.7
6.【教材P59复习题T8变式】如图是某景区的三条小路AB,BC,AC,现计划在三条小路围成的三角形区域内建立一个纪念品商店,并且要求该纪念品商店到三条小路的距离相等.请你用尺规作出纪念品商店的位置.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解：
如图，点P即为所求的纪念品商店的位置。
（作图痕迹：用尺规作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线在△ABC内部的交点标记为P，保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。）
如图，点P即为所求的纪念品商店的位置。
（作图痕迹：用尺规作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线在△ABC内部的交点标记为P，保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。）
解析
【分析】
首先明确题目要求：纪念品商店到三条小路（即△ABC的三边）的距离相等。结合所学的角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知要找的点需同时在△ABC三个内角的角平分线上；又因为三角形的三个内角平分线交于三角形内部同一点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，它们的交点即为所求位置。
【解析】
根据角平分线的性质，三角形内部到三边距离相等的点是三角形内角平分线的交点：
1. 用尺规分别作出△ABC的任意两个内角的角平分线；
2. 两条角平分线在△ABC内部的交点记为P，点P到AB、BC、AC三边的距离相等，符合商店选址要求，作图时需保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。
【答案】
如图，点P即为所求的纪念品商店的位置。
（作图痕迹：用尺规作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线在△ABC内部的交点标记为P，保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。）
【知识点】
角平分线的性质、尺规作角平分线、三角形内心性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何性质的应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，核心是对角平分线性质的理解和尺规作图技能的掌握，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
首先明确题目要求：纪念品商店到三条小路（即△ABC的三边）的距离相等。结合所学的角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知要找的点需同时在△ABC三个内角的角平分线上；又因为三角形的三个内角平分线交于三角形内部同一点，因此只需作出任意两个内角的角平分线，它们的交点即为所求位置。
【解析】
根据角平分线的性质，三角形内部到三边距离相等的点是三角形内角平分线的交点：
1. 用尺规分别作出△ABC的任意两个内角的角平分线；
2. 两条角平分线在△ABC内部的交点记为P，点P到AB、BC、AC三边的距离相等，符合商店选址要求，作图时需保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。
【答案】
如图，点P即为所求的纪念品商店的位置。
（作图痕迹：用尺规作出△ABC任意两个内角的角平分线，两条角平分线在△ABC内部的交点标记为P，保留作角平分线过程中的所有辅助圆弧痕迹。）
【知识点】
角平分线的性质、尺规作角平分线、三角形内心性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何性质的应用，需要学生将实际问题转化为数学问题，核心是对角平分线性质的理解和尺规作图技能的掌握，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
