19.(11分)如图①,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,阅读以下作图过程,并回答下列问题.
作法:如图②,
①作直径AF;
②以点F为圆心,FO的长为半径作弧,与$\odot O$交于点M,N;
③连接AM,MN,NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗?请说明理由.
(3)从点A开始,以DN的长为边长,在$\odot O$上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.

19. 解:(1)$\because$ 五边形$ABCDE$是正五边形，$\therefore ∠ ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，即$∠ ABC=108°$. (2)$△ AMN$是正三角形. 理由:如图，连接$ON$，$NF$. 由题意得$FN=ON=OF$，$\therefore △ FON$是等边三角形，$\therefore ∠ NFA=60°$，$\therefore ∠ NMA=60°$. 同理可得，$∠ ANM=60°$，$\therefore ∠ MAN=60°$，$\therefore △ AMN$是正三角形. (3) 如图，连接$OD$.$\because ∠ AMN=60°$，$\therefore ∠ AON=120°$.$\because ∠ AOD=\frac{360°}{5}×2=144°$，$\therefore ∠ NOD=∠ AOD-∠ AON=144°-120°=24°$.$\because 360° ÷ 24°=15$，$\therefore n$的值是15.

20.(12分)【问题情境】一次数学活动课上,同学们对例题做了深入研讨.
例题:如图,AB为$\odot O$的直径,CD与$\odot O$相切于点C,$AD ⊥ CD$于点D.求证:AC平分$∠ DAB$.
【知识迁移】(1)宏志小组同学发现,例题有多个逆命题,其中一个如下:
如图,AB为$\odot O$的直径,C为$\odot O$上一点,$AD ⊥ CD$于点D,AC平分$∠ DAB$,那么CD为$\odot O$的切线.这个命题是真命题吗?说明你判断的依据.
【问题拓展】(2)思进小组同学发现,在例题的条件下,设AD与$\odot O$交于点E,则三条线段AE,DE,AB有特定的数量关系.请你写出这个数量关系并说明理由.

20. 解:(1)这个命题是真命题. 理由:如图①,连接$OC$.$\because OA=OC$，$\therefore ∠ ACO=∠ CAO$.$\because AC$平分$∠ DAB$，$\therefore ∠ CAD=∠ CAO$，$\therefore ∠ CAD=∠ ACO$，$\therefore OC // AD$.$\because AD ⊥ CD$，$\therefore OC ⊥ CD$.$\because OC$是$\odot O$半径，$\therefore CD$为$\odot O$的切线. (2)$AE+2DE=AB$. 理由:如图②,在$AB$上截取$AF=AE$,连接$CF,CE,CB$,作$CH ⊥ AB$于点$H$.$\because AC$平分$∠ DAB$，$\therefore ∠ CAD=∠ CAO$，$\therefore \overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BC}$，$\therefore CE=CB$.$\because CD ⊥ AD$，$CH ⊥ AB$，$\therefore CD=CH$，$\therefore \mathrm{Rt}△ CED ≌ \mathrm{Rt}△ CBH\ (\mathrm{HL})$，$\therefore DE=HB$，$∠ CED=∠ B$.$\because AE=AF$，$∠ EAC=∠ FAC$，$AC=AC$，$\therefore △ AEC ≌ △ AFC\ (\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ AEC=∠ AFC$.$\because ∠ AEC+∠ CED=∠ AFC+∠ CFB=180°$，$\therefore ∠ CED=∠ CFB$，$\therefore ∠ B=∠ CFB$，$\therefore CF=CB$，$\therefore HF=HB$，$\therefore FB=2HF=2HB=2DE$，$\therefore AE+2DE=AF+FB=AB$.