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11.(1)若$a^x=2,b^x=3$，则$(ab)^{3x}=$
(2)计算$0.5^{24}×(-2)^{25}$的结果为
(3)已知$(a-2)^2 + \left| b - \frac{1}{2} \right| = 0$，则$a^{2026} · b^{2025}$的值为
(4)已知$x^m=2,y^n=5$，那么$x^{2m}y^{2n}=$
216
；(2)计算$0.5^{24}×(-2)^{25}$的结果为
-2
；(3)已知$(a-2)^2 + \left| b - \frac{1}{2} \right| = 0$，则$a^{2026} · b^{2025}$的值为
2
；(4)已知$x^m=2,y^n=5$，那么$x^{2m}y^{2n}=$
100
。答案
11.(1)216 (2)-2 (3)2 (4)100
解析
【分析】
这几道题围绕幂的运算及非负数性质展开，解题思路如下：
(1) 先逆用积的乘方、幂的乘方法则，把待求式变形为含$a^x$、$b^x$的形式，再代入已知值计算；
(2) 将$(-2)^{25}$拆分为$(-2)^{24}×(-2)$，凑出同指数的项，逆用积的乘方法则简化计算；
(3) 先根据平方和绝对值的非负性，两个非负数和为0则各自为0，求出$a$、$b$的值，再把$a^{2026}$拆分为$a×a^{2025}$，逆用积的乘方计算；
(4) 逆用幂的乘方法则，将待求式变形为含$x^m$、$y^n$的形式，代入求值即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方、幂的乘方法则：$(ab)^{3x}=a^{3x}b^{3x}=(a^x)^3·(b^x)^3$，将$a^x=2$，$b^x=3$代入得：原式$=2^3×3^3=8×27=216$。
(2) 拆分$(-2)^{25}=(-2)^{24}×(-2)$，逆用积的乘方法则：原式$=0.5^{24}×(-2)^{24}×(-2)=[0.5×(-2)]^{24}×(-2)=(-1)^{24}×(-2)=1×(-2)=-2$。
(3)
∵$(a-2)^2≥0$，$\left|b-\frac{1}{2}\right|≥0$，且两者和为0，
∴$a-2=0$，$b-\frac{1}{2}=0$，解得$a=2$，$b=\frac{1}{2}$。将$a^{2026}$拆分为$a×a^{2025}$，逆用积的乘方得：原式$=2×a^{2025}×b^{2025}=2×(a·b)^{2025}=2×(2×\frac{1}{2})^{2025}=2×1^{2025}=2$。
(4) 逆用幂的乘方法则：$x^{2m}=(x^m)^2$，$y^{2n}=(y^n)^2$，将$x^m=2$，$y^n=5$代入得：原式$=2^2×5^2=4×25=100$。
【答案】
(1)$216$；(2)$-2$；(3)$2$；(4)$100$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，非负数的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的正用和逆用，部分题目结合了非负数的性质，熟练掌握相关法则的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这几道题围绕幂的运算及非负数性质展开，解题思路如下：
(1) 先逆用积的乘方、幂的乘方法则，把待求式变形为含$a^x$、$b^x$的形式，再代入已知值计算；
(2) 将$(-2)^{25}$拆分为$(-2)^{24}×(-2)$，凑出同指数的项，逆用积的乘方法则简化计算；
(3) 先根据平方和绝对值的非负性，两个非负数和为0则各自为0，求出$a$、$b$的值，再把$a^{2026}$拆分为$a×a^{2025}$，逆用积的乘方计算；
(4) 逆用幂的乘方法则，将待求式变形为含$x^m$、$y^n$的形式，代入求值即可。
【解析】
(1) 根据积的乘方、幂的乘方法则：$(ab)^{3x}=a^{3x}b^{3x}=(a^x)^3·(b^x)^3$，将$a^x=2$，$b^x=3$代入得：原式$=2^3×3^3=8×27=216$。
(2) 拆分$(-2)^{25}=(-2)^{24}×(-2)$，逆用积的乘方法则：原式$=0.5^{24}×(-2)^{24}×(-2)=[0.5×(-2)]^{24}×(-2)=(-1)^{24}×(-2)=1×(-2)=-2$。
(3)
∵$(a-2)^2≥0$，$\left|b-\frac{1}{2}\right|≥0$，且两者和为0，
∴$a-2=0$，$b-\frac{1}{2}=0$，解得$a=2$，$b=\frac{1}{2}$。将$a^{2026}$拆分为$a×a^{2025}$，逆用积的乘方得：原式$=2×a^{2025}×b^{2025}=2×(a·b)^{2025}=2×(2×\frac{1}{2})^{2025}=2×1^{2025}=2$。
(4) 逆用幂的乘方法则：$x^{2m}=(x^m)^2$，$y^{2n}=(y^n)^2$，将$x^m=2$，$y^n=5$代入得：原式$=2^2×5^2=4×25=100$。
【答案】
(1)$216$；(2)$-2$；(3)$2$；(4)$100$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，非负数的性质
【点评】
本题是幂的运算的基础应用题型，核心考查幂的运算法则的正用和逆用，部分题目结合了非负数的性质，熟练掌握相关法则的变形技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.计算：
(1)$(x^n y^{3n})^2 + (x^2 y^6)^n$；
(2)$(2a^3)^2 + a^2 · a^4 + (-a^2)^3$；
(3)$(-0.125)^{12} × (-1\dfrac{2}{3})^7 × (-8)^{13} × (-\dfrac{3}{5})^8$；
(4)$4^{2023} × 0.25^{2022} - 8^{2023} × 0.125^{2022}$。
(1)$(x^n y^{3n})^2 + (x^2 y^6)^n$；
(2)$(2a^3)^2 + a^2 · a^4 + (-a^2)^3$；
(3)$(-0.125)^{12} × (-1\dfrac{2}{3})^7 × (-8)^{13} × (-\dfrac{3}{5})^8$；
(4)$4^{2023} × 0.25^{2022} - 8^{2023} × 0.125^{2022}$。
答案
12.(1)$2x^{2n} y^{6n}$ (2)$4a^6$ (3)$\dfrac{24}{5}$ (4)$-4$
解析
【分析】
本次计算题目均围绕幂的运算性质展开，解题思路如下：①对于(1)(2)题，正向运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘法的运算规则，分别化简每一项后再合并同类项即可；②对于(3)(4)题，观察底数的特征，逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$，将乘积为1或-1的底数配对计算，简化运算过程，注意拆分指数相同的项，同时不要忽略符号的判断。
【解析】
(1) 利用积的乘方和幂的乘方法则展开计算：
原式$=(x^n)^2·(y^{3n})^2 + (x^2)^n·(y^6)^n$
$=x^{2n}y^{6n} + x^{2n}y^{6n}$
$=2x^{2n}y^{6n}$
(2) 分别化简每一项后合并同类项：
原式$=2^2·(a^3)^2 + a^{2+4} + (-1)^3·(a^2)^3$
$=4a^6 + a^6 - a^6$
$=4a^6$
(3) 逆用积的乘方简便计算，先拆分高次项配对：
原式$=(-0.125)^{12}×(-8)^{12}×(-8) × (-\frac{5}{3})^7×(-\frac{3}{5})^7×(-\frac{3}{5})$
$=[(-0.125)×(-8)]^{12}×(-8) × [(-\frac{5}{3})×(-\frac{3}{5})]^7×(-\frac{3}{5})$
$=1^{12}×(-8) × 1^7×(-\frac{3}{5})$
$=(-8)×(-\frac{3}{5})$
$=\frac{24}{5}$
(4) 拆分高次项后逆用积的乘方计算：
原式$=4×4^{2022}×0.25^{2022} - 8×8^{2022}×0.125^{2022}$
$=4×(4×0.25)^{2022} - 8×(8×0.125)^{2022}$
$=4×1^{2022} - 8×1^{2022}$
$=4 - 8$
$=-4$
【答案】
(1)$2x^{2n} y^{6n}$ (2)$4a^6$ (3)$\dfrac{24}{5}$ (4)$-4$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂乘法
【点评】
本题是幂的运算的常规训练题，既考查了幂的运算公式的正向应用，也考查了逆用积的乘方进行简便运算的技巧，解题时要注意运算顺序和符号判断，熟练掌握公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本次计算题目均围绕幂的运算性质展开，解题思路如下：①对于(1)(2)题，正向运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘法的运算规则，分别化简每一项后再合并同类项即可；②对于(3)(4)题，观察底数的特征，逆用积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$，将乘积为1或-1的底数配对计算，简化运算过程，注意拆分指数相同的项，同时不要忽略符号的判断。
【解析】
(1) 利用积的乘方和幂的乘方法则展开计算：
原式$=(x^n)^2·(y^{3n})^2 + (x^2)^n·(y^6)^n$
$=x^{2n}y^{6n} + x^{2n}y^{6n}$
$=2x^{2n}y^{6n}$
(2) 分别化简每一项后合并同类项：
原式$=2^2·(a^3)^2 + a^{2+4} + (-1)^3·(a^2)^3$
$=4a^6 + a^6 - a^6$
$=4a^6$
(3) 逆用积的乘方简便计算，先拆分高次项配对：
原式$=(-0.125)^{12}×(-8)^{12}×(-8) × (-\frac{5}{3})^7×(-\frac{3}{5})^7×(-\frac{3}{5})$
$=[(-0.125)×(-8)]^{12}×(-8) × [(-\frac{5}{3})×(-\frac{3}{5})]^7×(-\frac{3}{5})$
$=1^{12}×(-8) × 1^7×(-\frac{3}{5})$
$=(-8)×(-\frac{3}{5})$
$=\frac{24}{5}$
(4) 拆分高次项后逆用积的乘方计算：
原式$=4×4^{2022}×0.25^{2022} - 8×8^{2022}×0.125^{2022}$
$=4×(4×0.25)^{2022} - 8×(8×0.125)^{2022}$
$=4×1^{2022} - 8×1^{2022}$
$=4 - 8$
$=-4$
【答案】
(1)$2x^{2n} y^{6n}$ (2)$4a^6$ (3)$\dfrac{24}{5}$ (4)$-4$
【知识点】
幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂乘法
【点评】
本题是幂的运算的常规训练题，既考查了幂的运算公式的正向应用，也考查了逆用积的乘方进行简便运算的技巧，解题时要注意运算顺序和符号判断，熟练掌握公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13.若$3^5=a$，$5^3=b$，用$a$，$b$表示$15^{15}$.
答案
13.$a^3 b^5$
解析
【分析】
解题时先观察待求式$15^{15}$的底数特征，15可拆为3和5的乘积，因此首先用积的乘方运算法则将$15^{15}$转化为3的幂和5的幂相乘的形式；再结合已知的$3^5=a$、$5^3=b$，逆用幂的乘方公式，把3的指数、5的指数分别变形为和已知条件匹配的形式，最后代入a、b即可得到结果。
【解析】
解：
1. 拆分底数并利用积的乘方变形：
$15^{15}=(3×5)^{15}=3^{15}×5^{15}$（依据：积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$）
2. 逆用幂的乘方公式调整指数：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$逆用可得$a^{mn}=(a^m)^n$，因此：
$3^{15}=3^{5×3}=(3^5)^3$，$5^{15}=5^{3×5}=(5^3)^5$
3. 代入已知条件化简：
已知$3^5=a$，$5^3=b$，代入得：
$3^{15}=a^3$，$5^{15}=b^5$
因此$15^{15}=a^3 · b^5=a^3b^5$
【答案】
$a^3b^5$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题关键是熟练掌握幂的相关运算规则及逆用，通过对待求式的底数、指数合理变形，建立待求式和已知条件的关联即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察待求式$15^{15}$的底数特征，15可拆为3和5的乘积，因此首先用积的乘方运算法则将$15^{15}$转化为3的幂和5的幂相乘的形式；再结合已知的$3^5=a$、$5^3=b$，逆用幂的乘方公式，把3的指数、5的指数分别变形为和已知条件匹配的形式，最后代入a、b即可得到结果。
【解析】
解：
1. 拆分底数并利用积的乘方变形：
$15^{15}=(3×5)^{15}=3^{15}×5^{15}$（依据：积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$）
2. 逆用幂的乘方公式调整指数：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$逆用可得$a^{mn}=(a^m)^n$，因此：
$3^{15}=3^{5×3}=(3^5)^3$，$5^{15}=5^{3×5}=(5^3)^5$
3. 代入已知条件化简：
已知$3^5=a$，$5^3=b$，代入得：
$3^{15}=a^3$，$5^{15}=b^5$
因此$15^{15}=a^3 · b^5=a^3b^5$
【答案】
$a^3b^5$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是幂的运算的典型应用题型，解题关键是熟练掌握幂的相关运算规则及逆用，通过对待求式的底数、指数合理变形，建立待求式和已知条件的关联即可求解。
【难度系数】
0.7
14. 已知$3^{x+2} · 5^{x+2} = 15^{3x - 4}$，求$x$的值。
答案
14.$x=3$
解析
【分析】
观察等式左边是两个指数相同的幂相乘的结构，可先逆用积的乘方运算公式将左边化简为底数为15的幂，此时等式两边底数相同，根据“底数大于0且不等于1的两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可列出一元一次方程求解x的值。
【解析】
逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，对等式左边化简：
$3^{x+2}·5^{x+2}=(3×5)^{x+2}=15^{x+2}$
因此原等式可转化为：
$15^{x+2}=15^{3x-4}$
由于底数$15＞0$且$15≠1$，故等式两边幂相等时指数也相等，可得方程：
$x+2=3x-4$
移项得：$3x-x=2+4$
合并同类项得：$2x=6$
系数化为1得：$x=3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别式子结构，正确逆用积的乘方公式将等式转化为整式方程求解，熟练掌握各类幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
观察等式左边是两个指数相同的幂相乘的结构，可先逆用积的乘方运算公式将左边化简为底数为15的幂，此时等式两边底数相同，根据“底数大于0且不等于1的两个同底数幂相等，则指数相等”的性质，即可列出一元一次方程求解x的值。
【解析】
逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，对等式左边化简：
$3^{x+2}·5^{x+2}=(3×5)^{x+2}=15^{x+2}$
因此原等式可转化为：
$15^{x+2}=15^{3x-4}$
由于底数$15＞0$且$15≠1$，故等式两边幂相等时指数也相等，可得方程：
$x+2=3x-4$
移项得：$3x-x=2+4$
合并同类项得：$2x=6$
系数化为1得：$x=3$
【答案】
$x=3$
【知识点】
积的乘方逆运算、同底数幂的性质、解一元一次方程
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用题型，解题的关键是准确识别式子结构，正确逆用积的乘方公式将等式转化为整式方程求解，熟练掌握各类幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
15. 已知 $2^n = a$，$5^n = b$，$20^n = c$，试探究 $a,b,c$ 之间的关系.
答案
15.$a^2 b = c$
解析
【分析】
要探究a、b、c之间的关系，首先观察三个式子的底数2、5、20，可将20拆分为$2^2 × 5$，再利用积的乘方、幂的乘方运算法则对$20^n$变形，最后代入已知的$2^n=a$、$5^n=b$，即可推导出三者的数量关系。
【解析】
第一步：拆分$20^n$的底数
因为$20=2^2 × 5$，所以$20^n=(2^2 × 5)^n$
第二步：运用积的乘方法则展开
根据积的乘方公式$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(2^2 × 5)^n=(2^2)^n × 5^n$
第三步：运用幂的乘方法则变形
根据幂的乘方公式$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(2^2)^n=2^{2n}=(2^n)^2$
第四步：代入已知条件推导关系
已知$2^n=a$，$5^n=b$，代入上式得：
$(2^n)^2 × 5^n = a^2 b$
又因为$20^n=c$，因此$a^2 b = c$
【答案】
$a^2b=c$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；等量代换
【点评】
本题属于幂运算的基础变形题，解题核心是将底数20拆解为和已知底数2、5相关的形式，再结合幂的运算法则转化为已知代数式的形式，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要探究a、b、c之间的关系，首先观察三个式子的底数2、5、20，可将20拆分为$2^2 × 5$，再利用积的乘方、幂的乘方运算法则对$20^n$变形，最后代入已知的$2^n=a$、$5^n=b$，即可推导出三者的数量关系。
【解析】
第一步：拆分$20^n$的底数
因为$20=2^2 × 5$，所以$20^n=(2^2 × 5)^n$
第二步：运用积的乘方法则展开
根据积的乘方公式$(xy)^n=x^n y^n$，可得：
$(2^2 × 5)^n=(2^2)^n × 5^n$
第三步：运用幂的乘方法则变形
根据幂的乘方公式$(x^m)^n=x^{mn}$，可得：
$(2^2)^n=2^{2n}=(2^n)^2$
第四步：代入已知条件推导关系
已知$2^n=a$，$5^n=b$，代入上式得：
$(2^n)^2 × 5^n = a^2 b$
又因为$20^n=c$，因此$a^2 b = c$
【答案】
$a^2b=c$
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算；等量代换
【点评】
本题属于幂运算的基础变形题，解题核心是将底数20拆解为和已知底数2、5相关的形式，再结合幂的运算法则转化为已知代数式的形式，熟练掌握幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
