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11. 阅读下面的解题过程并解答问题.
计算 $53.27 - (-18) + (-21) + 46.73 - (+15) + 21$.
解:原式$=53.27 + 18 - 21 + 46.73 - 15 + 21$(第一步)
$=(53.27 + 46.73) + (21 - 21) + (18 - 15)$(第二步)
$=100 + 0 + 3$(第三步)
$=103$.
(1)计算过程中,第一步把原式化成的形式,体现了数学中的思想,为了计算简便,第二步运用了;
(2)根据以上的解题技巧,计算 $-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} - (-\dfrac{2}{3}) - (+\dfrac{1}{4})$.
计算 $53.27 - (-18) + (-21) + 46.73 - (+15) + 21$.
解:原式$=53.27 + 18 - 21 + 46.73 - 15 + 21$(第一步)
$=(53.27 + 46.73) + (21 - 21) + (18 - 15)$(第二步)
$=100 + 0 + 3$(第三步)
$=103$.
(1)计算过程中,第一步把原式化成的形式,体现了数学中的思想,为了计算简便,第二步运用了;
(2)根据以上的解题技巧,计算 $-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} - (-\dfrac{2}{3}) - (+\dfrac{1}{4})$.
答案
解：
(1) 省略加号和括号的和；转化；加法交换律与加法结合律
(2) 原式$=-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=(-21\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3}) + (3\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4})$
$=-21 + 3$
$=-18$
(1) 省略加号和括号的和；转化；加法交换律与加法结合律
(2) 原式$=-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=(-21\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3}) + (3\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4})$
$=-21 + 3$
$=-18$
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先回忆有理数加减混合运算的处理步骤：首先要通过去括号把所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式，这一过程把陌生的混合运算转化为熟悉的加法运算，体现了转化思想；第二步为了简化计算，调整了加数的位置，再把能凑整、抵消的数分组计算，用到了加法的运算律。
(2) 求解第二问时，参照例题的思路，先去括号转化运算形式，再利用加法运算律把分母相同的分数分组计算，无需通分就能快速得到结果，降低计算难度。
【解析】
(1) 第一步去括号后，原式的所有减法都转化为加法，化成了省略加号和括号的和的形式，将加减混合运算转化为纯加法运算，体现了转化思想；第二步交换了加数的位置，并且将和为整、和为0的数分别结合计算，运用了加法交换律与加法结合律。
(2) 计算过程如下：
原式$=-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=(-21\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3}) + (3\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4})$
$=-21 + 3$
$=-18$
【答案】
(1) 省略加号和括号的和；转化；加法交换律与加法结合律
(2) $\boldsymbol{-18}$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律、去括号法则
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便计算技巧，通过去括号统一运算形式，再用运算律将易计算的数优先组合，能有效提升运算效率、减少计算错误，是有理数运算中需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，先回忆有理数加减混合运算的处理步骤：首先要通过去括号把所有减法转化为加法，写成省略加号和括号的和的形式，这一过程把陌生的混合运算转化为熟悉的加法运算，体现了转化思想；第二步为了简化计算，调整了加数的位置，再把能凑整、抵消的数分组计算，用到了加法的运算律。
(2) 求解第二问时，参照例题的思路，先去括号转化运算形式，再利用加法运算律把分母相同的分数分组计算，无需通分就能快速得到结果，降低计算难度。
【解析】
(1) 第一步去括号后，原式的所有减法都转化为加法，化成了省略加号和括号的和的形式，将加减混合运算转化为纯加法运算，体现了转化思想；第二步交换了加数的位置，并且将和为整、和为0的数分别结合计算，运用了加法交换律与加法结合律。
(2) 计算过程如下：
原式$=-21\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}$
$=(-21\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3}) + (3\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4})$
$=-21 + 3$
$=-18$
【答案】
(1) 省略加号和括号的和；转化；加法交换律与加法结合律
(2) $\boldsymbol{-18}$
【知识点】
有理数加减混合运算、加法运算律、去括号法则
【点评】
本题考查有理数加减运算的简便计算技巧，通过去括号统一运算形式，再用运算律将易计算的数优先组合，能有效提升运算效率、减少计算错误，是有理数运算中需要熟练掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
12.设$[a]$表示不超过$a$的最大整数，例如：
$[2.3]=2$，$[5]=5$，$[-4\dfrac{1}{3}]=-5$.
(1)求$[2\dfrac{1}{5}]+[-3.6]-[-7]$的值；
(2)令$\{a\}=a-[a]$，求$\{2\dfrac{3}{4}\}-[-2.4]+\{-6\dfrac{1}{4}\}$.
$[2.3]=2$，$[5]=5$，$[-4\dfrac{1}{3}]=-5$.
(1)求$[2\dfrac{1}{5}]+[-3.6]-[-7]$的值；
(2)令$\{a\}=a-[a]$，求$\{2\dfrac{3}{4}\}-[-2.4]+\{-6\dfrac{1}{4}\}$.
答案
解：
(1) 由题意可得：
$[2\frac{1}{5}]=2$，$[-3.6]=-4$，$[-7]=-7$
原式$=2 + (-4) - (-7)$
$=2 - 4 + 7$
$=5$
(2) 由$\{a\}=a-[a]$可得：
$\{2\frac{3}{4}\}=2\frac{3}{4}-[2\frac{3}{4}]=2\frac{3}{4}-2=\frac{3}{4}$
$[-2.4]=-3$
$\{-6\frac{1}{4}\}=-6\frac{1}{4}-[-6\frac{1}{4}]=-6\frac{1}{4}-(-7)=\frac{3}{4}$
原式$=\frac{3}{4} - (-3) + \frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4} + 3 + \frac{3}{4}$
$=\frac{9}{2}$
(1) 由题意可得：
$[2\frac{1}{5}]=2$，$[-3.6]=-4$，$[-7]=-7$
原式$=2 + (-4) - (-7)$
$=2 - 4 + 7$
$=5$
(2) 由$\{a\}=a-[a]$可得：
$\{2\frac{3}{4}\}=2\frac{3}{4}-[2\frac{3}{4}]=2\frac{3}{4}-2=\frac{3}{4}$
$[-2.4]=-3$
$\{-6\frac{1}{4}\}=-6\frac{1}{4}-[-6\frac{1}{4}]=-6\frac{1}{4}-(-7)=\frac{3}{4}$
原式$=\frac{3}{4} - (-3) + \frac{3}{4}$
$=\frac{3}{4} + 3 + \frac{3}{4}$
$=\frac{9}{2}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题首先要准确理解题目给出的两个新规则：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数，即小于等于$a$的整数中最大的数，计算负数的$[a]$时要注意取比这个负数更小的整数，例如$[-3.6]$是$-4$而非$-3$；②$\{a\}=a-[a]$，表示$a$的小数部分。解题时先分别计算每个带$[]$或$\{\}$的项的值，再按照有理数加减运算规则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 根据$[a]$的定义计算各项：
$[2\dfrac{1}{5}]$是不超过$2\dfrac{1}{5}$的最大整数，故$[2\dfrac{1}{5}]=2$；
$[-3.6]$是不超过$-3.6$的最大整数，故$[-3.6]=-4$；
$[-7]$是不超过$-7$的最大整数，故$[-7]=-7$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + (-4) - (-7)\\&=2-4+7\\&=5\end{aligned}$
(2) 根据$\{a\}=a-[a]$的定义计算各项：
$\{2\dfrac{3}{4}\}=2\dfrac{3}{4}-[2\dfrac{3}{4}]=2\dfrac{3}{4}-2=\dfrac{3}{4}$；
$[-2.4]$是不超过$-2.4$的最大整数，故$[-2.4]=-3$；
$\{-6\dfrac{1}{4}\}=-6\dfrac{1}{4}-[-6\dfrac{1}{4}]=-6\dfrac{1}{4}-(-7)=\dfrac{3}{4}$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{3}{4} - (-3) + \dfrac{3}{4}\\&=\dfrac{3}{4}+3+\dfrac{3}{4}\\&=\dfrac{9}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减法，取整运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新运算规则的理解能力和有理数计算能力，解题关键是准确把握$[a]$的取整规则，尤其注意负数取整不要出错，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题首先要准确理解题目给出的两个新规则：①$[a]$表示不超过$a$的最大整数，即小于等于$a$的整数中最大的数，计算负数的$[a]$时要注意取比这个负数更小的整数，例如$[-3.6]$是$-4$而非$-3$；②$\{a\}=a-[a]$，表示$a$的小数部分。解题时先分别计算每个带$[]$或$\{\}$的项的值，再按照有理数加减运算规则计算最终结果即可。
【解析】
(1) 根据$[a]$的定义计算各项：
$[2\dfrac{1}{5}]$是不超过$2\dfrac{1}{5}$的最大整数，故$[2\dfrac{1}{5}]=2$；
$[-3.6]$是不超过$-3.6$的最大整数，故$[-3.6]=-4$；
$[-7]$是不超过$-7$的最大整数，故$[-7]=-7$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2 + (-4) - (-7)\\&=2-4+7\\&=5\end{aligned}$
(2) 根据$\{a\}=a-[a]$的定义计算各项：
$\{2\dfrac{3}{4}\}=2\dfrac{3}{4}-[2\dfrac{3}{4}]=2\dfrac{3}{4}-2=\dfrac{3}{4}$；
$[-2.4]$是不超过$-2.4$的最大整数，故$[-2.4]=-3$；
$\{-6\dfrac{1}{4}\}=-6\dfrac{1}{4}-[-6\dfrac{1}{4}]=-6\dfrac{1}{4}-(-7)=\dfrac{3}{4}$；
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{3}{4} - (-3) + \dfrac{3}{4}\\&=\dfrac{3}{4}+3+\dfrac{3}{4}\\&=\dfrac{9}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
新定义运算，有理数加减法，取整运算
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心考查对新运算规则的理解能力和有理数计算能力，解题关键是准确把握$[a]$的取整规则，尤其注意负数取整不要出错，仔细计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
