8 如图,在△ABC中,AB=4,AC=6.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°,在运动过程中,边AC扫过的面积为,点B运动的路径长为.

8.$4π$ $\dfrac{8π}{9}$

9 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△A'B'C'的各个顶点均在格点处,且△A'B'C'是由△ABC以网格中的某个格点为旋转中心,按逆时针方向旋转90°得到的.已知点A,B,C的对应点分别为A',B',C',则在旋转过程中,点A所经过的路径长为.

9.$\dfrac{\sqrt{10}π}{2}$

10 如图，有一块形状为等边三角形的木板，边长为1 dm，现将木板沿水平线翻滚，则点B从开始至结束所经过的路径长为（）


A.$\frac{3π}{2}$ dm
B.$\frac{4π}{3}$ dm
C.4 dm
D.$(2+\frac{3π}{2})$ dm

10.B

11 已知一个圆心角为$270°$的扇形工件，未搬动前，A，B两点触地放置.搬动时，先将扇形以点B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止.若扇形工件的半径为3 m，则圆心O所经过的路径长为 m.

11.$6π$ 解析:因为$∠ AOB=360°-270°=90°$,$OA=OB$,所以$∠ ABO=45°$. 所以$∠ OBO_1=90°-45°=45°$. 所以易得圆心O旋转的长度为$2× \dfrac{45π× 3}{180}=\dfrac{3π}{2}$ (m),圆心O移动的距离为$\dfrac{270π× 3}{180}=\dfrac{9π}{2}$ (m). 所以圆心O所经过的路径长为$\dfrac{3π}{2}+\dfrac{9π}{2}=6π$(m).

12 如图,一个物体的横截面为$Rt△ ABC$,其中$∠ ACB=90°,∠ CAB=30°,BC=1\ \mathrm{m}$.工人师傅将边$AB$放在地面(直线$l$)上.
(1) 求$AB,AC$的长.
(2) 工人师傅要把此物体搬到墙边(如图),先把物体绕点$B$按顺时针方向翻转到$△ A_1BC_1$的位置(边$BC_1$在直线$l$上),再沿$BC_1$的方向平移到$△ A_2B_2C_2$的位置,平移的距离为线段$AC$的长度(此时边$A_2C_2$恰好靠在墙边).画出在搬运此物体的整个过程中,点$A$所经过的路径,并求出该路径的长度.
(3) 若没有墙,像(2)中那样翻转,将该物体绕点$B$按顺时针方向翻转到$△ A_1BC_1$的位置为第一次翻转,再将该物体绕点$C_1$按顺时针方向翻转到$△ A'_2B'_2C_1(A'_2C_1$在直线$l$上)的位置为第二次翻转.求此物体在两次翻转的整个过程中,点$A$所经过的路径的长度.

12. (1) 因为$∠ ACB=90°$,$∠ CAB=30°$,$BC=1\ \mathrm{m}$,所以$AB=2BC=2\ \mathrm{m}$. 所以$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$
(2) 如图①,$\overset{\frown}{AA_1}$和线段$A_1A_2$即为在搬运此物体的整个过程中,点A所经过的路径. 因为$∠ ABA_1=90°+30°=120°$,$A_1A_2=AC=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$AB=2\ \mathrm{m}$,所以该路径的长度为$\dfrac{120π× 2}{180}+\sqrt{3} = (\dfrac{4π}{3}+\sqrt{3})\mathrm{m}$
(3) 如图②. 由(1),得$BC=1\ \mathrm{m}$,$AC=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$AB=2\ \mathrm{m}$,$∠ ABA_1=120°$. 所以$\overset{\frown}{AA_1}$的长为$\dfrac{120π× 2}{180}=\dfrac{4π}{3}\ (\mathrm{m})$,$\overset{\frown}{A_1A'_2}$的长为$\dfrac{90π× \sqrt{3}}{180}=\dfrac{\sqrt{3}π}{2}\ (\mathrm{m})$. 所以点A所经过的路径的长度为$(\dfrac{4π}{3}+\dfrac{\sqrt{3}π}{2})\mathrm{m}$