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1. 抛物线$y=ax^2(a＞0)$一定经过（
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
B
）A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
1. B 解析:二次函数$y=ax^2(a＞0)$的图象经过第一、二象限,故选 B.
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，第一步先根据$a$的符号判断开口方向，第二步分析函数值$y$的取值范围，第三步结合平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断图象经过的象限即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a＞0)$：
1. 由$a＞0$可知抛物线开口向上，顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，结合$a＞0$可得$y=ax^2≥0$，即函数图象上所有点的纵坐标均为非负数；
3. 当$x＞0$时$y＞0$，对应第一象限内的点；当$x＜0$时$y＞0$，对应第二象限内的点，顶点在原点处。
因此抛物线$y=ax^2(a＞0)$经过第一、二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对二次项系数$a$的意义、二次函数$y=ax²$图象特征的掌握，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的基本性质，第一步先根据$a$的符号判断开口方向，第二步分析函数值$y$的取值范围，第三步结合平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，判断图象经过的象限即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a＞0)$：
1. 由$a＞0$可知抛物线开口向上，顶点为坐标原点$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
2. 对任意实数$x$，都有$x^2≥0$，结合$a＞0$可得$y=ax^2≥0$，即函数图象上所有点的纵坐标均为非负数；
3. 当$x＞0$时$y＞0$，对应第一象限内的点；当$x＜0$时$y＞0$，对应第二象限内的点，顶点在原点处。
因此抛物线$y=ax^2(a＞0)$经过第一、二象限，故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质；平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对二次项系数$a$的意义、二次函数$y=ax²$图象特征的掌握，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. (牡丹江中考)若二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，则该图象必经过点 (
A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
A
)A.$(2,4)$
B.$(-2,-4)$
C.$(-4,2)$
D.$(4,-2)$
答案
2. A 解析:
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$,
∴ a=1.将选项分别代入$y=x^2$,得该图象必经过点(2,4).故选 A.
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$,
∴ a=1.将选项分别代入$y=x^2$,得该图象必经过点(2,4).故选 A.
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路一：先将已知点P的坐标代入二次函数解析式，求出参数a的值，得到完整的函数解析式，再将各选项的点逐一代入验证，满足解析式的点就在函数图象上；思路二：二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，因此若点$(x,y)$在图象上，其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找$P(-2,4)$的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法1：
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：$4=a×(-2)^2$，
解得$a=1$，即二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，符合解析式，故该点在图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，不符合，排除；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，不符合，排除；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，不符合，排除。
方法2：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，点$P(-2,4)$关于y轴的对称点为$(2,4)$，故该点必在图象上。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数$y=ax^2$的对称性
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数$y=ax^2$的相关性质，既可以用待定系数法求出解析式后代入验证，也可以利用对称性快速解题，解题时可灵活选择更简便的方法。
【难度系数】
0.9
解题可从两个思路入手：思路一：先将已知点P的坐标代入二次函数解析式，求出参数a的值，得到完整的函数解析式，再将各选项的点逐一代入验证，满足解析式的点就在函数图象上；思路二：二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称，因此若点$(x,y)$在图象上，其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上，直接找$P(-2,4)$的对称点即可快速得到答案。
【解析】
方法1：
∵ 二次函数$y=ax^2$的图象经过点$P(-2,4)$，
∴ 将$x=-2$，$y=4$代入解析式得：$4=a×(-2)^2$，
解得$a=1$，即二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=2$时，$y=2^2=4$，符合解析式，故该点在图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，不符合，排除；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，不符合，排除；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，不符合，排除。
方法2：二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴，因此图象上的点关于y轴对称，点$P(-2,4)$关于y轴的对称点为$(2,4)$，故该点必在图象上。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、二次函数$y=ax^2$的对称性
【点评】
本题是基础题型，考查二次函数$y=ax^2$的相关性质，既可以用待定系数法求出解析式后代入验证，也可以利用对称性快速解题，解题时可灵活选择更简便的方法。
【难度系数】
0.9
3. |易错题 已知$△ ABC$中，$BC=x$，且$BC$边上的高与$BC$相等，$S_{△ ABC}=y$.
(1)求$y$和$x$之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图象.
(1)求$y$和$x$之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图象.
答案
3. (1)根据题意,得$y=\frac{1}{2}x · x=\frac{1}{2}x^2$,其中自变量x的取值范围是x＞0.
(2)画出的函数图象如图所示.
易错提醒 根据实际问题列二次函数表达式时,要注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.
解析
【分析】
(1) 要得到y与x的函数关系，首先回忆三角形面积公式，题目中明确BC为底，长度是x，且BC边上的高与BC相等，即高也为x，代入面积公式即可得到表达式；同时x是三角形的边长，长度必须为正，因此要标注自变量x的取值范围为x＞0。
(2) 画函数图象时，结合自变量x＞0的限制，只需绘制二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$在第一象限的部分，原点处x=0不符合实际意义，要画空心圈，再选取几个特征点（如x=1时$y=\frac{1}{2}$，x=2时y=2），用平滑曲线顺次连接即可得到对应图象。
【解析】
(1) 三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，由题意可知，底$BC=x$，BC边上的高等于BC的长度，即高为$x$，将底和高代入面积公式：
$y=\frac{1}{2}×x×x=\frac{1}{2}x^2$
由于x代表三角形的边长，因此x必须大于0，即自变量x的取值范围是$x＞0$。
(2) 绘制函数图象：因为$x＞0$，所以仅需绘制$y=\frac{1}{2}x^2$在x＞0区间的部分：先在坐标原点处画空心圆圈，表示x=0不在取值范围内，再描出$(1,\frac{1}{2})$、$(2,2)$等特征点，最后用平滑的曲线从原点空心处开始，向上顺次连接各点并延伸，得到的图象即为所求。
【答案】
(1)根据题意,得$y=\frac{1}{2}x · x=\frac{1}{2}x^2$,其中自变量x的取值范围是x＞0.
(2)画出的函数图象如图所示.
【知识点】
三角形面积公式；二次函数的实际应用；函数图象绘制
【点评】
本题考查二次函数在几何问题中的应用，易错点是容易忽略实际问题对自变量取值范围的限制，误将x的范围当成全体实数，画图象时也需注意结合自变量范围，只绘制x＞0对应的部分，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到y与x的函数关系，首先回忆三角形面积公式，题目中明确BC为底，长度是x，且BC边上的高与BC相等，即高也为x，代入面积公式即可得到表达式；同时x是三角形的边长，长度必须为正，因此要标注自变量x的取值范围为x＞0。
(2) 画函数图象时，结合自变量x＞0的限制，只需绘制二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$在第一象限的部分，原点处x=0不符合实际意义，要画空心圈，再选取几个特征点（如x=1时$y=\frac{1}{2}$，x=2时y=2），用平滑曲线顺次连接即可得到对应图象。
【解析】
(1) 三角形的面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，由题意可知，底$BC=x$，BC边上的高等于BC的长度，即高为$x$，将底和高代入面积公式：
$y=\frac{1}{2}×x×x=\frac{1}{2}x^2$
由于x代表三角形的边长，因此x必须大于0，即自变量x的取值范围是$x＞0$。
(2) 绘制函数图象：因为$x＞0$，所以仅需绘制$y=\frac{1}{2}x^2$在x＞0区间的部分：先在坐标原点处画空心圆圈，表示x=0不在取值范围内，再描出$(1,\frac{1}{2})$、$(2,2)$等特征点，最后用平滑的曲线从原点空心处开始，向上顺次连接各点并延伸，得到的图象即为所求。
【答案】
(1)根据题意,得$y=\frac{1}{2}x · x=\frac{1}{2}x^2$,其中自变量x的取值范围是x＞0.
(2)画出的函数图象如图所示.
【知识点】
三角形面积公式；二次函数的实际应用；函数图象绘制
【点评】
本题考查二次函数在几何问题中的应用，易错点是容易忽略实际问题对自变量取值范围的限制，误将x的范围当成全体实数，画图象时也需注意结合自变量范围，只绘制x＞0对应的部分，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
4. |教材P12练习T1变式 在同一坐标系中,作$y=x^2,y=-2x^2,y=2x^2$的图象,它们的共同特点是 （
A.抛物线的开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点
D
）A.抛物线的开口方向向上
B.都是关于x轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点
答案
4. D 解析:函数$y=x^2,y=2x^2$的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0),函数$y=-2x^2$的图象开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0),故选 D.
解析
【分析】
解决本题首先要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质：这类函数的对称轴都是y轴，顶点均为原点$(0,0)$，$a$的正负决定开口方向，且增减性需要分对称轴左右两侧讨论。接下来我们先逐一明确三个函数的性质，再逐个判断选项即可得出答案。
【解析】
首先分别分析三个二次函数的性质：
1. 函数$y=x^2$、$y=2x^2$：$a＞0$，图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；当$x＜0$时y随x的增大而减小，$x＞0$时y随x的增大而增大。
2. 函数$y=-2x^2$：$a＜0$，图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；当$x＜0$时y随x的增大而增大，$x＞0$时y随x的增大而减小。
接下来逐一判断选项：
A选项：$y=-2x^2$开口向下，不符合“开口方向向上”的描述，错误；
B选项：三个抛物线都关于y轴对称，而非x轴对称，且三个函数的增减性都需要分对称轴左右两侧讨论，不存在整个定义域内y随x的增大而增大的情况，错误；
C选项：三个函数的增减性需分左右两侧讨论，不存在整个定义域内y随x的增大而减小的情况，错误；
D选项：三个抛物线对称轴都是y轴，顶点都为$(0,0)$，即有公共的顶点，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点
【点评】
本题考查基础的二次函数性质，重点需要区分$a$的正负对开口方向、增减性的影响，同时注意描述二次函数增减性时必须限定在对称轴的某一侧，不能笼统表述，熟记$y=ax^2$类函数的共同特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要熟练掌握二次函数$y=ax^2$的基本性质：这类函数的对称轴都是y轴，顶点均为原点$(0,0)$，$a$的正负决定开口方向，且增减性需要分对称轴左右两侧讨论。接下来我们先逐一明确三个函数的性质，再逐个判断选项即可得出答案。
【解析】
首先分别分析三个二次函数的性质：
1. 函数$y=x^2$、$y=2x^2$：$a＞0$，图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；当$x＜0$时y随x的增大而减小，$x＞0$时y随x的增大而增大。
2. 函数$y=-2x^2$：$a＜0$，图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；当$x＜0$时y随x的增大而增大，$x＞0$时y随x的增大而减小。
接下来逐一判断选项：
A选项：$y=-2x^2$开口向下，不符合“开口方向向上”的描述，错误；
B选项：三个抛物线都关于y轴对称，而非x轴对称，且三个函数的增减性都需要分对称轴左右两侧讨论，不存在整个定义域内y随x的增大而增大的情况，错误；
C选项：三个函数的增减性需分左右两侧讨论，不存在整个定义域内y随x的增大而减小的情况，错误；
D选项：三个抛物线对称轴都是y轴，顶点都为$(0,0)$，即有公共的顶点，描述正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称轴；二次函数的顶点
【点评】
本题考查基础的二次函数性质，重点需要区分$a$的正负对开口方向、增减性的影响，同时注意描述二次函数增减性时必须限定在对称轴的某一侧，不能笼统表述，熟记$y=ax^2$类函数的共同特征就能快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$是函数$y=(3-m)x^2$的图象上的两点，且当$0＜x_1＜x_2$时，有$y_1＞y_2$，则$m$的取值范围是
m＞3
.答案
5. m＞3 解析:根据题意,得3-m＜0,解得 m＞3.
解析
【分析】
本题可根据二次函数$y=ax^2$的增减性求解：首先明确函数的二次项系数为$3-m$，已知在$x＞0$的区间内，自变量越大对应的函数值越小，说明该二次函数在$x＞0$时单调递减，由此可判断二次项系数的符号，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律为：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
由题意，当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明该函数在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此二次项系数满足：
$3-m＜0$
移项得：$-m＜-3$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得：
$m＞3$
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是根据自变量与函数值的大小变化关系，判断二次项系数的正负，熟练掌握$y=ax^2$的开口方向和增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可根据二次函数$y=ax^2$的增减性求解：首先明确函数的二次项系数为$3-m$，已知在$x＞0$的区间内，自变量越大对应的函数值越小，说明该二次函数在$x＞0$时单调递减，由此可判断二次项系数的符号，列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，其增减性规律为：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小。
由题意，当$0＜x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明该函数在$x＞0$时$y$随$x$的增大而减小，因此二次项系数满足：
$3-m＜0$
移项得：$-m＜-3$
两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，解得：
$m＞3$
【答案】
$m＞3$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是根据自变量与函数值的大小变化关系，判断二次项系数的正负，熟练掌握$y=ax^2$的开口方向和增减性的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. ★★若$A(-2,y_1),B(-1,y_2),C(3,y_3)$为二次函数$y=-x^2$的图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是
$y_3＜y_1＜y_2$
.(用“＜”连接)答案
6. $y_3＜y_1＜y_2$ 解析:
∵ 二次函数$y=-x^2$中$a=-1＜0$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为y轴,
∴ 当x＜0时,y 随 x 的增大而增大.
∵ C(3,$y_3$)关于 y 轴的对称点为(-3,$y_3$),0＞-1＞-2＞-3,
∴ $y_3＜y_1＜y_2$.
∵ 二次函数$y=-x^2$中$a=-1＜0$,
∴ 抛物线开口向下,对称轴为y轴,
∴ 当x＜0时,y 随 x 的增大而增大.
∵ C(3,$y_3$)关于 y 轴的对称点为(-3,$y_3$),0＞-1＞-2＞-3,
∴ $y_3＜y_1＜y_2$.
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：一是直接代入横坐标计算出对应的y值，再比较数值大小；二是利用二次函数的性质判断，更为快捷：首先确定二次函数的开口方向、对称轴，再利用开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小的规律，或者将x为正的点对称到x负半轴，结合x＜0时的增减性比较y值大小。
【解析】
方法一（利用函数性质求解）：
∵ 二次函数$y=-x^2$中$a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而增大。
点$C(3,y_3)$关于y轴的对称点为$(-3,y_3)$，
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
方法二（代入计算求解）：
将三点横坐标分别代入解析式得：
$y_1=-(-2)^2=-4$，
$y_2=-(-1)^2=-1$，
$y_3=-3^2=-9$，
∵ $-9＜-4＜-1$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质、二次函数对称性、函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考题，两种解题方法各有优势，既可以通过代入计算直观比较，也可以利用函数性质快速推导，能有效检验对二次函数基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：一是直接代入横坐标计算出对应的y值，再比较数值大小；二是利用二次函数的性质判断，更为快捷：首先确定二次函数的开口方向、对称轴，再利用开口向下的抛物线离对称轴越远函数值越小的规律，或者将x为正的点对称到x负半轴，结合x＜0时的增减性比较y值大小。
【解析】
方法一（利用函数性质求解）：
∵ 二次函数$y=-x^2$中$a=-1＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴，当$x＜0$时，y随x的增大而增大。
点$C(3,y_3)$关于y轴的对称点为$(-3,y_3)$，
∵ $-3＜-2＜-1＜0$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
方法二（代入计算求解）：
将三点横坐标分别代入解析式得：
$y_1=-(-2)^2=-4$，
$y_2=-(-1)^2=-1$，
$y_3=-3^2=-9$，
∵ $-9＜-4＜-1$，
∴ $y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数$y=ax²$的性质、二次函数对称性、函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础性质的典型考题，两种解题方法各有优势，既可以通过代入计算直观比较，也可以利用函数性质快速推导，能有效检验对二次函数基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
7. 如图,正方形的边长为4,以正方形对角线交点为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象,则阴影部分的面积是
8
.答案
7. 8 解析:
∵ 函数$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于 x 轴对称,
∴ 题图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,而边长为4的正方形面积为16,
∴ 题图中阴影部分的面积是8.故答案为 8.
∵ 函数$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象关于 x 轴对称,
∴ 题图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半,而边长为4的正方形面积为16,
∴ 题图中阴影部分的面积是8.故答案为 8.
解析
【分析】
解题时先观察两个二次函数的解析式特征，可知二者二次项系数互为相反数，因此图象关于x轴对称。利用这个对称性，我们可以用割补法将x轴下方的阴影部分移到x轴上方对应的空白区域，此时阴影部分的总面积刚好等于正方形面积的一半，再结合正方形边长求出面积即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数互为相反数，
∴ 两个函数的图象关于x轴对称。
根据图象的对称性可得，x轴下方的阴影部分与x轴上方抛物线下的空白部分完全重合，因此阴影部分的总面积等于正方形面积的一半。
已知正方形边长为4，正方形面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积为$16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象的对称性；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题借助二次函数的对称性求解不规则阴影部分的面积，核心是利用对称性质将分散的阴影部分拼接成规则图形，简化计算过程，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察两个二次函数的解析式特征，可知二者二次项系数互为相反数，因此图象关于x轴对称。利用这个对称性，我们可以用割补法将x轴下方的阴影部分移到x轴上方对应的空白区域，此时阴影部分的总面积刚好等于正方形面积的一半，再结合正方形边长求出面积即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{1}{2}x^2$与$y=-\frac{1}{2}x^2$的二次项系数互为相反数，
∴ 两个函数的图象关于x轴对称。
根据图象的对称性可得，x轴下方的阴影部分与x轴上方抛物线下的空白部分完全重合，因此阴影部分的总面积等于正方形面积的一半。
已知正方形边长为4，正方形面积为$4×4=16$，
∴ 阴影部分的面积为$16÷2=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象的对称性；割补法求面积；正方形面积计算
【点评】
本题借助二次函数的对称性求解不规则阴影部分的面积，核心是利用对称性质将分散的阴影部分拼接成规则图形，简化计算过程，是几何与函数结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 已知函数 $y=(m+2)x^{m^2+m-4}$ 是关于 x 的二次函数.
(1)求满足条件的 m 的值.
(2)当 m 为何值时,抛物线有最低点? 求出此最低点的坐标.
(1)求满足条件的 m 的值.
(2)当 m 为何值时,抛物线有最低点? 求出此最低点的坐标.
答案
8. (1)根据题意得,$m^2+m-4=2$ 且 $m+2≠0$,解得 m=2 或 m=-3,
∴ m 的值为-3 或 2.
(2)当 m=2 时,$m+2=4＞0$,抛物线开口向上,该抛物线有最低点,此时抛物线表达式为$y=4x^2$,则最低点坐标为(0,0).
∴ m 的值为-3 或 2.
(2)当 m=2 时,$m+2=4＞0$,抛物线开口向上,该抛物线有最低点,此时抛物线表达式为$y=4x^2$,则最低点坐标为(0,0).
解析
【分析】
(1) 判定函数为二次函数需满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解即可得到m的取值；(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从(1)的结果中筛选出符合条件的m值，再代入解析式结合y=ax²的图象特征求最低点坐标即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 + m - 4 = 2 \\ m + 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 4 = 2$，整理得$m^2 + m - 6 = 0$，因式分解为$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
验证$m+2≠0$即$m≠-2$，$m=2$和$m=-3$均满足该条件，因此m的值为-3或2。
(2) 抛物线有最低点等价于抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$。
结合(1)的结果，只有$m=2$满足$m＞-2$，此时函数解析式为$y=4x^2$。
二次函数$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，开口向上时顶点即为最低点，因此该抛物线最低点坐标为$(0,0)$。
【答案】
(1) m的值为-3或2；
(2) 当m=2时，抛物线有最低点，最低点坐标为(0,0)。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题时需注意二次项系数不为0的隐含限制条件，避免出现漏解、错解，同时要熟练掌握二次函数开口方向和顶点位置的对应性质。
【难度系数】
0.8
(1) 判定函数为二次函数需满足两个核心条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解即可得到m的取值；(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从(1)的结果中筛选出符合条件的m值，再代入解析式结合y=ax²的图象特征求最低点坐标即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，可列条件：
$\begin{cases}m^2 + m - 4 = 2 \\ m + 2 ≠ 0\end{cases}$
解方程$m^2 + m - 4 = 2$，整理得$m^2 + m - 6 = 0$，因式分解为$(m+3)(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=-3$。
验证$m+2≠0$即$m≠-2$，$m=2$和$m=-3$均满足该条件，因此m的值为-3或2。
(2) 抛物线有最低点等价于抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$。
结合(1)的结果，只有$m=2$满足$m＞-2$，此时函数解析式为$y=4x^2$。
二次函数$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，开口向上时顶点即为最低点，因此该抛物线最低点坐标为$(0,0)$。
【答案】
(1) m的值为-3或2；
(2) 当m=2时，抛物线有最低点，最低点坐标为(0,0)。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础常考题，解题时需注意二次项系数不为0的隐含限制条件，避免出现漏解、错解，同时要熟练掌握二次函数开口方向和顶点位置的对应性质。
【难度系数】
0.8
