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1.下列说法中正确的是 （
A.无限小数都是无理数
B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是带根号的数
B
）A.无限小数都是无理数
B.无理数都是无限小数
C.带根号的数都是无理数
D.无理数都是带根号的数
答案
B
解析
【分析】
本题考查无理数的相关概念辨析，解题思路如下：第一步先回忆无理数的核心定义：无限不循环小数是无理数；第二步结合定义，通过举反例的方法逐一判断每个选项的正误，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，对各选项逐一判断：
选项A：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不都是无理数，该选项错误；
选项B：无理数是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数，该选项正确；
选项C：带根号的数如果能开得尽方，就是有理数，例如√4=2是有理数，因此带根号的数不都是无理数，该选项错误；
选项D：无理数不一定都带根号，例如圆周率π是无理数，不含根号，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对无理数概念的理解，解题时要注意区分易混淆的概念，可通过举反例的方式快速排除错误选项，避免对概念的片面理解。
【难度系数】
0.8
本题考查无理数的相关概念辨析，解题思路如下：第一步先回忆无理数的核心定义：无限不循环小数是无理数；第二步结合定义，通过举反例的方法逐一判断每个选项的正误，排除错误选项后就能得到正确答案。
【解析】
首先明确无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，对各选项逐一判断：
选项A：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数属于有理数，因此无限小数不都是无理数，该选项错误；
选项B：无理数是无限不循环小数，因此所有无理数都属于无限小数，该选项正确；
选项C：带根号的数如果能开得尽方，就是有理数，例如√4=2是有理数，因此带根号的数不都是无理数，该选项错误；
选项D：无理数不一定都带根号，例如圆周率π是无理数，不含根号，该选项错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对无理数概念的理解，解题时要注意区分易混淆的概念，可通过举反例的方式快速排除错误选项，避免对概念的片面理解。
【难度系数】
0.8
2. 与数轴上的点一一对应的是 （
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
D
）A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确“一一对应”的含义：一是该类别下的每一个数都能在数轴上找到唯一的点与之对应，二是数轴上的任意一个点都能唯一对应该类别下的一个数。接下来逐个排查选项：先回忆各类数的范围，整数、有理数、无理数都只是数的一部分，只有实数是有理数和无理数的统称，覆盖了所有能在数轴上表示的数，由此就能确定正确选项。
【解析】
首先明确一一对应的要求：①该类的每一个数都可以在数轴上找到唯一的点表示；②数轴上的任意一个点都对应唯一的该类的数。
对各选项逐一分析：
A. 整数只是数的一部分，数轴上还有表示分数、无限不循环小数的点，不满足一一对应，错误；
B. 有理数之外还有无理数也可以在数轴上表示，数轴上存在对应无理数的点，不满足一一对应，错误；
C. 无理数之外还有有理数可以在数轴上表示，数轴上存在对应有理数的点，不满足一一对应，错误；
D. 实数包括有理数和无理数，所有实数都能在数轴上找到唯一的对应点，数轴上的所有点也都对应唯一的实数，满足一一对应，正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴对应关系的识记，熟练掌握相关基础概念即可快速作答，是实数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时先明确“一一对应”的含义：一是该类别下的每一个数都能在数轴上找到唯一的点与之对应，二是数轴上的任意一个点都能唯一对应该类别下的一个数。接下来逐个排查选项：先回忆各类数的范围，整数、有理数、无理数都只是数的一部分，只有实数是有理数和无理数的统称，覆盖了所有能在数轴上表示的数，由此就能确定正确选项。
【解析】
首先明确一一对应的要求：①该类的每一个数都可以在数轴上找到唯一的点表示；②数轴上的任意一个点都对应唯一的该类的数。
对各选项逐一分析：
A. 整数只是数的一部分，数轴上还有表示分数、无限不循环小数的点，不满足一一对应，错误；
B. 有理数之外还有无理数也可以在数轴上表示，数轴上存在对应无理数的点，不满足一一对应，错误；
C. 无理数之外还有有理数可以在数轴上表示，数轴上存在对应有理数的点，不满足一一对应，错误；
D. 实数包括有理数和无理数，所有实数都能在数轴上找到唯一的对应点，数轴上的所有点也都对应唯一的实数，满足一一对应，正确。
【答案】
D
【知识点】
实数与数轴的对应关系；实数的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对实数和数轴对应关系的识记，熟练掌握相关基础概念即可快速作答，是实数章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
3. 已知下列实数：
①$\frac{1}{7}$，②$-π$，③0，④3.14，⑤$\sqrt{2}$，⑥$0.\dot{3}$，⑦$-\sqrt{49}$，⑧$\frac{11}{3}$，
⑨0.1212212221…（两个“1”之间依次多一个“2”）.
其中有理数有：
①$\frac{1}{7}$，②$-π$，③0，④3.14，⑤$\sqrt{2}$，⑥$0.\dot{3}$，⑦$-\sqrt{49}$，⑧$\frac{11}{3}$，
⑨0.1212212221…（两个“1”之间依次多一个“2”）.
其中有理数有：
①③④⑥⑦⑧
；无理数有：②⑤⑨
.（均填写序号）答案
有理数：①③④⑥⑦⑧，无理数：②⑤⑨
解析
【分析】
解题前先明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数，所有有理数都可以写成两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先对可化简的数化简，再逐个对照定义归类即可。
【解析】
我们逐个判断每个数的类别：
①$\frac{1}{7}$是分数，属于有理数；
②$-π$：$π$本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
③0是整数，属于有理数；
④3.14是有限小数，可转化为分数形式，属于有理数；
⑤$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
⑥$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
⑦$-\sqrt{49}=-7$，是负整数，属于有理数；
⑧$\frac{11}{3}$是分数，属于有理数；
⑨0.1212212221…（两个“1”之间依次多一个“2”）是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
有理数：①③④⑥⑦⑧，无理数：②⑤⑨
【知识点】
有理数的定义、无理数的定义、根式化简
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的易错点有三个：一是误将3.14等同于π归为无理数；二是看到带根号的数直接判定为无理数，忽略先化简再判断；三是将有书写规律的无限不循环小数错当成无限循环小数归为有理数，牢记两类数的定义即可规避错误。
【难度系数】
0.85
解题前先明确有理数和无理数的核心定义：有理数是整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数，所有有理数都可以写成两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数。解题时先对可化简的数化简，再逐个对照定义归类即可。
【解析】
我们逐个判断每个数的类别：
①$\frac{1}{7}$是分数，属于有理数；
②$-π$：$π$本身是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数；
③0是整数，属于有理数；
④3.14是有限小数，可转化为分数形式，属于有理数；
⑤$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数；
⑥$0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；
⑦$-\sqrt{49}=-7$，是负整数，属于有理数；
⑧$\frac{11}{3}$是分数，属于有理数；
⑨0.1212212221…（两个“1”之间依次多一个“2”）是无限不循环小数，属于无理数。
【答案】
有理数：①③④⑥⑦⑧，无理数：②⑤⑨
【知识点】
有理数的定义、无理数的定义、根式化简
【点评】
本题是实数分类的基础题型，解题的易错点有三个：一是误将3.14等同于π归为无理数；二是看到带根号的数直接判定为无理数，忽略先化简再判断；三是将有书写规律的无限不循环小数错当成无限循环小数归为有理数，牢记两类数的定义即可规避错误。
【难度系数】
0.85
4. 比较大小：
(1)1 $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $\sqrt{3}$.(2)$-\sqrt{2}$ $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $-1$.(3)3 $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $\sqrt{8}$.(4)$-\sqrt{13}$ $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $-4$.
(1)1 $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $\sqrt{3}$.(2)$-\sqrt{2}$ $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $-1$.(3)3 $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $\sqrt{8}$.(4)$-\sqrt{13}$ $\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$ $-4$.
答案
(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
解析
【分析】
比较有理数和带根号的无理数大小，可采用平方法：两个正数比较，平方后数值大的原数更大；两个负数比较，先比较绝对值大小，绝对值更大的负数本身更小。解题时先判断数的正负，正数直接平方后比较，负数先求绝对值，平方比较绝对值大小后，再根据负数比较规则判断原数大小即可。
【解析】
(1) 两个数均为正数，分别平方：$1^2=1$，$(\sqrt{3})^2=3$，因为$1＜3$，所以$1＜\sqrt{3}$。
(2) 两个数均为负数，先比较绝对值：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，$|-1|=1$，分别平方得$(\sqrt{2})^2=2$，$1^2=1$，因为$2＞1$，所以$\sqrt{2}＞1$，根据负数大小比较规则，绝对值大的数更小，因此$-\sqrt{2}＜-1$。
(3) 两个数均为正数，分别平方：$3^2=9$，$(\sqrt{8})^2=8$，因为$9＞8$，所以$3＞\sqrt{8}$。
(4) 两个数均为负数，先比较绝对值：$|-\sqrt{13}|=\sqrt{13}$，$|-4|=4$，分别平方得$(\sqrt{13})^2=13$，$4^2=16$，因为$13＜16$，所以$\sqrt{13}＜4$，根据负数大小比较规则，绝对值小的数更大，因此$-\sqrt{13}＞-4$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
【知识点】
实数大小比较、平方比较法、负数比较规则
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查平方法比较带根号的数与有理数大小的技巧，以及负数大小比较的规律，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
比较有理数和带根号的无理数大小，可采用平方法：两个正数比较，平方后数值大的原数更大；两个负数比较，先比较绝对值大小，绝对值更大的负数本身更小。解题时先判断数的正负，正数直接平方后比较，负数先求绝对值，平方比较绝对值大小后，再根据负数比较规则判断原数大小即可。
【解析】
(1) 两个数均为正数，分别平方：$1^2=1$，$(\sqrt{3})^2=3$，因为$1＜3$，所以$1＜\sqrt{3}$。
(2) 两个数均为负数，先比较绝对值：$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，$|-1|=1$，分别平方得$(\sqrt{2})^2=2$，$1^2=1$，因为$2＞1$，所以$\sqrt{2}＞1$，根据负数大小比较规则，绝对值大的数更小，因此$-\sqrt{2}＜-1$。
(3) 两个数均为正数，分别平方：$3^2=9$，$(\sqrt{8})^2=8$，因为$9＞8$，所以$3＞\sqrt{8}$。
(4) 两个数均为负数，先比较绝对值：$|-\sqrt{13}|=\sqrt{13}$，$|-4|=4$，分别平方得$(\sqrt{13})^2=13$，$4^2=16$，因为$13＜16$，所以$\sqrt{13}＜4$，根据负数大小比较规则，绝对值小的数更大，因此$-\sqrt{13}＞-4$。
【答案】
(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
【知识点】
实数大小比较、平方比较法、负数比较规则
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，核心考查平方法比较带根号的数与有理数大小的技巧，以及负数大小比较的规律，熟练掌握相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.85
5. 分别求出下列各数的绝对值和相反数：
(1)$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$3-π$.
(3)$3-\sqrt{2}$.
(1)$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$3-π$.
(3)$3-\sqrt{2}$.
答案
(1)绝对值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，相反数为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)绝对值为$π-3$，相反数为$π-3$
(3)绝对值为$3-\sqrt{2}$，相反数为$\sqrt{2}-3$
(2)绝对值为$π-3$，相反数为$π-3$
(3)绝对值为$3-\sqrt{2}$，相反数为$\sqrt{2}-3$
解析
【分析】
解题前先明确两个核心规则：1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在这个数整体前面加负号再化简即可；2. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时先通过常见无理数的近似值判断每个数的正负性，再分别对应规则计算绝对值和相反数即可。
【解析】
(1) 对于$-\frac{\sqrt{2}}{2}$：
该数是负数，根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
根据相反数定义，它的相反数为$-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 对于$3-π$：
已知$π\approx3.14＞3$，因此$3-π＜0$，是负数；
根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|3-π\right|=-(3-π)=π-3$；
它的相反数为$-(3-π)=π-3$。
(3) 对于$3-\sqrt{2}$：
已知$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，因此$3-\sqrt{2}＞0$，是正数；
根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|3-\sqrt{2}\right|=3-\sqrt{2}$；
它的相反数为$-(3-\sqrt{2})=\sqrt{2}-3$。
【答案】
(1)绝对值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，相反数为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)绝对值为$π-3$，相反数为$π-3$
(3)绝对值为$3-\sqrt{2}$，相反数为$\sqrt{2}-3$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的定义；实数大小比较
【点评】
本题是实数概念的基础考察题，核心是先准确判断数的正负性，再对应规则计算，注意对整式形式的数求相反数或去绝对值时，要先给整体加括号再化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
解题前先明确两个核心规则：1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在这个数整体前面加负号再化简即可；2. 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时先通过常见无理数的近似值判断每个数的正负性，再分别对应规则计算绝对值和相反数即可。
【解析】
(1) 对于$-\frac{\sqrt{2}}{2}$：
该数是负数，根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
根据相反数定义，它的相反数为$-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 对于$3-π$：
已知$π\approx3.14＞3$，因此$3-π＜0$，是负数；
根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|3-π\right|=-(3-π)=π-3$；
它的相反数为$-(3-π)=π-3$。
(3) 对于$3-\sqrt{2}$：
已知$\sqrt{2}\approx1.414＜3$，因此$3-\sqrt{2}＞0$，是正数；
根据绝对值性质，它的绝对值为$\left|3-\sqrt{2}\right|=3-\sqrt{2}$；
它的相反数为$-(3-\sqrt{2})=\sqrt{2}-3$。
【答案】
(1)绝对值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，相反数为$\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)绝对值为$π-3$，相反数为$π-3$
(3)绝对值为$3-\sqrt{2}$，相反数为$\sqrt{2}-3$
【知识点】
绝对值的性质；相反数的定义；实数大小比较
【点评】
本题是实数概念的基础考察题，核心是先准确判断数的正负性，再对应规则计算，注意对整式形式的数求相反数或去绝对值时，要先给整体加括号再化简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6.把下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“＜”连接起来.$0.\dot{7}$，$-\sqrt{6}$，$\frac{7}{2}$，0，$\sqrt{3}$.
答案
$-\sqrt{6}＜0＜0.\dot{7}＜\sqrt{3}＜\frac{7}{2}$（图略）
解析
【分析】
解题时我们分三步思考：第一步，先估算无理数的近似值，把所有数都转化为方便比较大小的形式，其中无理数用夹逼法估算，分数直接化成小数；第二步，按照实数大小比较的基本规则排序：负数小于0，0小于正数，再分别比较同类型数的大小；第三步，如果要在数轴上表示，根据各数的近似值对应标注位置即可，数轴上越靠右的数越大，也可以借助数轴验证排序是否正确。
【解析】
1. 先估算各数的近似值：
① 因为$2^2=4＜6＜9=3^2$，所以$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-\sqrt{6}\approx-2.45$；
② 因为$1^2=1＜3＜4=2^2$，所以$\sqrt{3}\approx1.73$；
③ $0.\dot{7}\approx0.78$；
④ $\frac{7}{2}=3.5$；
⑤ 0为固定值。
2. 比较大小：
负数小于0，0小于正数，因此最小的是$-\sqrt{6}$，其次是0；正数部分$0.78＜1.73＜3.5$，即$0.\dot{7}＜\sqrt{3}＜\frac{7}{2}$。
3. 数轴表示：画出标注原点、正方向、单位长度的数轴，在对应位置标注各数即可（图略）。
【答案】
$-\sqrt{6}＜0＜0.\dot{7}＜\sqrt{3}＜\frac{7}{2}$（图略）
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、数轴表示实数
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握无理数的夹逼估算方法和实数大小比较的基本规则，只要能准确算出各数的近似值，就能快速完成排序和数轴标注。
【难度系数】
0.8
解题时我们分三步思考：第一步，先估算无理数的近似值，把所有数都转化为方便比较大小的形式，其中无理数用夹逼法估算，分数直接化成小数；第二步，按照实数大小比较的基本规则排序：负数小于0，0小于正数，再分别比较同类型数的大小；第三步，如果要在数轴上表示，根据各数的近似值对应标注位置即可，数轴上越靠右的数越大，也可以借助数轴验证排序是否正确。
【解析】
1. 先估算各数的近似值：
① 因为$2^2=4＜6＜9=3^2$，所以$\sqrt{6}\approx2.45$，因此$-\sqrt{6}\approx-2.45$；
② 因为$1^2=1＜3＜4=2^2$，所以$\sqrt{3}\approx1.73$；
③ $0.\dot{7}\approx0.78$；
④ $\frac{7}{2}=3.5$；
⑤ 0为固定值。
2. 比较大小：
负数小于0，0小于正数，因此最小的是$-\sqrt{6}$，其次是0；正数部分$0.78＜1.73＜3.5$，即$0.\dot{7}＜\sqrt{3}＜\frac{7}{2}$。
3. 数轴表示：画出标注原点、正方向、单位长度的数轴，在对应位置标注各数即可（图略）。
【答案】
$-\sqrt{6}＜0＜0.\dot{7}＜\sqrt{3}＜\frac{7}{2}$（图略）
【知识点】
实数大小比较、无理数估算、数轴表示实数
【点评】
本题是基础类题型，解题关键是掌握无理数的夹逼估算方法和实数大小比较的基本规则，只要能准确算出各数的近似值，就能快速完成排序和数轴标注。
【难度系数】
0.8
