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例1 在一次训练时，甲、乙两位射箭爱好者分别射了5次和8次，成绩如下：
甲:9,4,7,4,6.
乙:7,5,7,4,7,8,4,6.
(1) 甲组数据的平均数$\bar{x}_甲=$
(2) 分别计算甲、乙两组数据的离差平方和与方差.
甲:9,4,7,4,6.
乙:7,5,7,4,7,8,4,6.
(1) 甲组数据的平均数$\bar{x}_甲=$
6
，乙组数据的平均数$\bar{x}_乙=$6
；(2) 分别计算甲、乙两组数据的离差平方和与方差.
答案
(1) 甲组数据的平均数为$\frac{9+4+7+4+6}{5}=6$,乙组数据的平均数为$\frac{7+5+7+4+7+8+4+6}{8}=6$
(2) 甲组数据的离差平方和$S^2=(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=18$,甲组数据的方差$s^2=\frac{1}{5}[(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]=3.6$;乙组数据的离差平方和$S^2=(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=16$,乙组数据的方差$s^2=\frac{1}{8}[(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]=2$.故甲组数据的离差平方和为18,方差为3.6,乙组数据的离差平方和为16,方差为2
(2) 甲组数据的离差平方和$S^2=(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=18$,甲组数据的方差$s^2=\frac{1}{5}[(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]=3.6$;乙组数据的离差平方和$S^2=(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=16$,乙组数据的方差$s^2=\frac{1}{8}[(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2]=2$.故甲组数据的离差平方和为18,方差为3.6,乙组数据的离差平方和为16,方差为2
解析
【分析】
解题按照问题顺序分步思考：第一问求平均数，根据平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，分别计算甲、乙两组的成绩总和与对应数据个数，代入公式就能算出结果。第二问计算离差平方和与方差，首先明确离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，方差是离差平方和除以数据总个数，所以先利用第一问算出的平均数，分别计算每组中每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和，再除以对应的数据个数即可得到方差。
【解析】
(1) 计算甲组平均数：
甲组成绩总和为$9+4+7+4+6=30$，共5个数据，因此$\bar{x}_甲=\frac{30}{5}=6$。
乙组成绩总和为$7+5+7+4+7+8+4+6=48$，共8个数据，因此$\bar{x}_乙=\frac{48}{8}=6$。
(2) 计算甲组离差平方和与方差：
离差平方和为每个数据与平均数差的平方之和：
$S_甲=(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=9+4+1+4+0=18$
方差为离差平方和除以数据个数：
$s^2_甲=\frac{18}{5}=3.6$
计算乙组离差平方和与方差：
$S_乙=(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=1+1+1+4+1+4+4+0=16$
$s^2_乙=\frac{16}{8}=2$
【答案】
(1) $6$；$6$
(2) 甲组离差平方和为18，方差为3.6；乙组离差平方和为16，方差为2
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是牢记相关统计量的计算公式，计算过程中注意求和的准确性，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
解题按照问题顺序分步思考：第一问求平均数，根据平均数的定义，一组数据的平均数等于所有数据之和除以数据的总个数，分别计算甲、乙两组的成绩总和与对应数据个数，代入公式就能算出结果。第二问计算离差平方和与方差，首先明确离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和，方差是离差平方和除以数据总个数，所以先利用第一问算出的平均数，分别计算每组中每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和，再除以对应的数据个数即可得到方差。
【解析】
(1) 计算甲组平均数：
甲组成绩总和为$9+4+7+4+6=30$，共5个数据，因此$\bar{x}_甲=\frac{30}{5}=6$。
乙组成绩总和为$7+5+7+4+7+8+4+6=48$，共8个数据，因此$\bar{x}_乙=\frac{48}{8}=6$。
(2) 计算甲组离差平方和与方差：
离差平方和为每个数据与平均数差的平方之和：
$S_甲=(9-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=9+4+1+4+0=18$
方差为离差平方和除以数据个数：
$s^2_甲=\frac{18}{5}=3.6$
计算乙组离差平方和与方差：
$S_乙=(7-6)^2+(5-6)^2+(7-6)^2+(4-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2=1+1+1+4+1+4+4+0=16$
$s^2_乙=\frac{16}{8}=2$
【答案】
(1) $6$；$6$
(2) 甲组离差平方和为18，方差为3.6；乙组离差平方和为16，方差为2
【知识点】
平均数计算；离差平方和；方差计算
【点评】
本题属于统计类基础计算题，核心是牢记相关统计量的计算公式，计算过程中注意求和的准确性，避免因粗心出现运算错误。
【难度系数】
0.8
例2 垫球是排球队常规训练的重要项目之一,下表是甲、乙两名队员每人10次垫球的测试成绩.(测试规则是每人连续接球10个,每垫球到位1个得1分)
(1) 完成下面的统计数据分析.
(2) 如果教练要推荐一名队员参加比赛,结合上述统计表,你认为推荐哪名更合适?请你用所学过的统计知识分析说明.
(1) 完成下面的统计数据分析.
(2) 如果教练要推荐一名队员参加比赛,结合上述统计表,你认为推荐哪名更合适?请你用所学过的统计知识分析说明.
答案
(1) 甲的平均数、离差平方和与方差分别为7,4,0.4,乙的平均数、离差平方和与方差分别为7,8,0.8
(2) 推荐甲队员更合适.理由如下:甲的平均数为7,乙的平均数也是7,他们的平均得分相同,由甲的方差小于乙的方差知,甲队员测试成绩离散程度小,甲的垫球水平比较稳定,所以建议推荐甲队员参加比赛更合适
(2) 推荐甲队员更合适.理由如下:甲的平均数为7,乙的平均数也是7,他们的平均得分相同,由甲的方差小于乙的方差知,甲队员测试成绩离散程度小,甲的垫球水平比较稳定,所以建议推荐甲队员参加比赛更合适
解析
【分析】
(1) 求解统计量时，根据对应定义计算即可：平均数为所有数据之和除以数据总个数；离差平方和为每个数据与平均数的差的平方的总和；方差为离差平方和除以数据总个数，代入甲乙两人的10次垫球成绩依次计算即可。
(2) 选择参赛队员时，首先比较两人的平均水平（即平均数），判断两人整体水平是否相当；若平均水平相同，再比较方差，方差越小说明成绩离散程度越小、发挥越稳定，优先选择发挥更稳定的队员参赛。
【解析】
(1) 计算甲的统计量：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1}{10}×$（甲10次垫球成绩总和）$=7$；
离差平方和：$\sum\limits_{i=1}^{10}(x_{甲i}-\bar{x}_甲)^2=4$；
方差：$s^2_甲=\frac{离差平方和}{数据总数}=\frac{4}{10}=0.4$。
计算乙的统计量：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×$（乙10次垫球成绩总和）$=7$；
离差平方和：$\sum\limits_{i=1}^{10}(x_{乙i}-\bar{x}_乙)^2=8$；
方差：$s^2_乙=\frac{离差平方和}{数据总数}=\frac{8}{10}=0.8$。
(2) 先比较两人的平均数：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=7$，说明甲乙两人的平均垫球得分相同，整体垫球水平相当；再比较两人的方差：$s^2_甲=0.4＜s^2_乙=0.8$，根据方差的意义，方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定，因此甲队员的垫球成绩更稳定，推荐甲参赛更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数、离差平方和与方差分别为7,4,0.4，乙的平均数、离差平方和与方差分别为7,8,0.8；
(2) 推荐甲队员更合适。理由：甲、乙平均得分相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲的测试成绩离散程度小，垫球水平更稳定，因此推荐甲队员参加比赛更合适。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的实际应用
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，既考查了平均数、方差的基础计算，也考查了统计量的实际意义，需要学生能结合场景选择合适的统计量分析问题、做出决策，是统计模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 求解统计量时，根据对应定义计算即可：平均数为所有数据之和除以数据总个数；离差平方和为每个数据与平均数的差的平方的总和；方差为离差平方和除以数据总个数，代入甲乙两人的10次垫球成绩依次计算即可。
(2) 选择参赛队员时，首先比较两人的平均水平（即平均数），判断两人整体水平是否相当；若平均水平相同，再比较方差，方差越小说明成绩离散程度越小、发挥越稳定，优先选择发挥更稳定的队员参赛。
【解析】
(1) 计算甲的统计量：
平均数：$\bar{x}_甲=\frac{1}{10}×$（甲10次垫球成绩总和）$=7$；
离差平方和：$\sum\limits_{i=1}^{10}(x_{甲i}-\bar{x}_甲)^2=4$；
方差：$s^2_甲=\frac{离差平方和}{数据总数}=\frac{4}{10}=0.4$。
计算乙的统计量：
平均数：$\bar{x}_乙=\frac{1}{10}×$（乙10次垫球成绩总和）$=7$；
离差平方和：$\sum\limits_{i=1}^{10}(x_{乙i}-\bar{x}_乙)^2=8$；
方差：$s^2_乙=\frac{离差平方和}{数据总数}=\frac{8}{10}=0.8$。
(2) 先比较两人的平均数：$\bar{x}_甲=\bar{x}_乙=7$，说明甲乙两人的平均垫球得分相同，整体垫球水平相当；再比较两人的方差：$s^2_甲=0.4＜s^2_乙=0.8$，根据方差的意义，方差越小，数据的离散程度越小，成绩越稳定，因此甲队员的垫球成绩更稳定，推荐甲参赛更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数、离差平方和与方差分别为7,4,0.4，乙的平均数、离差平方和与方差分别为7,8,0.8；
(2) 推荐甲队员更合适。理由：甲、乙平均得分相同，甲的方差小于乙的方差，说明甲的测试成绩离散程度小，垫球水平更稳定，因此推荐甲队员参加比赛更合适。
【知识点】
平均数计算，方差计算，方差的实际应用
【点评】
本题是统计知识的实际应用题，既考查了平均数、方差的基础计算，也考查了统计量的实际意义，需要学生能结合场景选择合适的统计量分析问题、做出决策，是统计模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
