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11. 已知点$A(2, 1)$，$B(a, b)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上的点.
（1）求$k$的值.
（2）写出当$x＜3$时，$y$的取值范围.
（3）求证：$a^2 + b^2 ≥ 4$.
（1）求$k$的值.
（2）写出当$x＜3$时，$y$的取值范围.
（3）求证：$a^2 + b^2 ≥ 4$.
答案
11. (1) 把$A(2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=2$
(2) 当$0＜x＜3$时,$y＞\frac{2}{3}$;当$x＜0$时,$y＜0$
(3) 把$B(a,b)$代入$y=\frac{2}{x}$,得$ab=2. \because (a-b)^2≥ 0,\therefore a^2+b^2-2ab≥ 0. \therefore a^2+b^2≥ 2ab. \therefore a^2+b^2≥ 4$
(2) 当$0＜x＜3$时,$y＞\frac{2}{3}$;当$x＜0$时,$y＜0$
(3) 把$B(a,b)$代入$y=\frac{2}{x}$,得$ab=2. \because (a-b)^2≥ 0,\therefore a^2+b^2-2ab≥ 0. \therefore a^2+b^2≥ 2ab. \therefore a^2+b^2≥ 4$
解析
【分析】
（1）求反比例函数的$k$值，可利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点$A$的坐标直接代入解析式计算即可。
（2）求$x＜3$时$y$的取值范围，首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象分布在第一、三象限，且$x≠0$，因此需要分$x＜0$和$0＜x＜3$两种情况讨论：结合反比例函数的增减性，分别计算对应区间内$y$的取值范围，注意不要遗漏$x$为负数的情况。
（3）要证明$a^2+b^2≥4$，首先由点$B$在反比例函数图象上可得$ab=2$，再结合完全平方公式的非负性，即$(a-b)^2≥0$，展开变形后代入$ab=2$即可推导得出结论。
【解析】
（1）将点$A(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
（2）由（1）得反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
①当$x＜0$时，函数图象位于第三象限，此时$y＜0$；
②当$0＜x＜3$时，当$x=3$时，$y=\frac{2}{3}$，结合增减性可得此时$y＞\frac{2}{3}$。
综上可得$x＜3$时$y$的取值范围。
（3）证明：
∵点$B(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵任意实数的平方为非负数，
∴$(a-b)^2≥0$，
展开得$a^2 + b^2 - 2ab ≥ 0$，
移项得$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，
将$ab=2$代入得$a^2 + b^2 ≥ 2×2=4$，故不等式得证。
【答案】
(1) $k=2$
(2) 当$0＜x＜3$时,$y＞\frac{2}{3}$;当$x＜0$时,$y＜0$
(3) $a^2 + b^2 ≥ 4$成立，证明如上
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 反比例函数的图象与性质
3. 完全平方公式的非负性
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用和代数推理能力，前两问属于基础考点，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，讨论取值范围时要分象限讨论；第三问结合完全平方公式的非负性证明不等式，需要熟练掌握代数变形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
（1）求反比例函数的$k$值，可利用反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点$A$的坐标直接代入解析式计算即可。
（2）求$x＜3$时$y$的取值范围，首先明确反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象分布在第一、三象限，且$x≠0$，因此需要分$x＜0$和$0＜x＜3$两种情况讨论：结合反比例函数的增减性，分别计算对应区间内$y$的取值范围，注意不要遗漏$x$为负数的情况。
（3）要证明$a^2+b^2≥4$，首先由点$B$在反比例函数图象上可得$ab=2$，再结合完全平方公式的非负性，即$(a-b)^2≥0$，展开变形后代入$ab=2$即可推导得出结论。
【解析】
（1）将点$A(2,1)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
（2）由（1）得反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，$k=2＞0$，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
①当$x＜0$时，函数图象位于第三象限，此时$y＜0$；
②当$0＜x＜3$时，当$x=3$时，$y=\frac{2}{3}$，结合增减性可得此时$y＞\frac{2}{3}$。
综上可得$x＜3$时$y$的取值范围。
（3）证明：
∵点$B(a,b)$在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$。
∵任意实数的平方为非负数，
∴$(a-b)^2≥0$，
展开得$a^2 + b^2 - 2ab ≥ 0$，
移项得$a^2 + b^2 ≥ 2ab$，
将$ab=2$代入得$a^2 + b^2 ≥ 2×2=4$，故不等式得证。
【答案】
(1) $k=2$
(2) 当$0＜x＜3$时,$y＞\frac{2}{3}$;当$x＜0$时,$y＜0$
(3) $a^2 + b^2 ≥ 4$成立，证明如上
【知识点】
1. 反比例函数解析式的确定
2. 反比例函数的图象与性质
3. 完全平方公式的非负性
【点评】
本题综合考查反比例函数的基础应用和代数推理能力，前两问属于基础考点，解题时需注意反比例函数自变量不能为0，讨论取值范围时要分象限讨论；第三问结合完全平方公式的非负性证明不等式，需要熟练掌握代数变形的常用技巧。
【难度系数】
0.7
12. 如图，一次函数 $y_1=ax+b$ 与反比例函数 $y_2=\dfrac{k}{x}$ 相交于点 $A(-1, m)$，$B(3, -1)$。
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）请根据图象，直接写出当 $y_1＞y_2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围；
（3）若点 $P(m, n)$ 在该反比例函数图象上，且它到 $y$ 轴的距离小于 3，直接写出 $n$ 的取值范围。
（1）求一次函数表达式和反比例函数表达式；
（2）请根据图象，直接写出当 $y_1＞y_2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围；
（3）若点 $P(m, n)$ 在该反比例函数图象上，且它到 $y$ 轴的距离小于 3，直接写出 $n$ 的取值范围。
答案
12. (1) $y_2=-\frac{3}{x}$;$y_1=-x+2$
(2) 由图象知,当$y_1＞y_2$时,$x＜-1$或$0＜x＜3$,$\therefore$自变量$x$的取值范围为$x＜-1$或$0＜x＜3$
(3) $n＞1$或$n＜-1$
(2) 由图象知,当$y_1＞y_2$时,$x＜-1$或$0＜x＜3$,$\therefore$自变量$x$的取值范围为$x＜-1$或$0＜x＜3$
(3) $n＞1$或$n＜-1$
解析
【分析】
（1）求函数解析式优先用待定系数法：先将已知点B代入反比例函数求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出m的值，得到点A的坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解方程组求出a、b即可得到一次函数表达式。
（2）判断$y_1＞y_2$的x取值范围，可结合图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x区间，注意反比例函数$x≠0$，需分$x＜0$和$x＞0$两部分分析。
（3）点P到y轴的距离小于3即$|x|＜3$且$x≠0$，结合反比例函数在每个象限内的增减性，分别计算x在$-3＜x＜0$和$0＜x＜3$时对应的函数值范围即可。
【解析】
（1）①求反比例函数表达式：
将$B(3, -1)$代入$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$-1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=-3$，
$\therefore$反比例函数表达式为$y_2=-\dfrac{3}{x}$。
②求点A坐标：
将$A(-1, m)$代入$y_2=-\dfrac{3}{x}$，得$m=-\dfrac{3}{-1}=3$，即$A(-1, 3)$。
③求一次函数表达式：
将$A(-1, 3)$、$B(3, -1)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}-a+b=3 \\3a+b=-1 \end{cases}$
两式相减得$4a=-4$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$-a+b=3$，得$1+b=3$，解得$b=2$，
$\therefore$一次函数表达式为$y_1=-x+2$。
（2）结合图象可知，两个函数交点为$A(-1,3)$、$B(3,-1)$，反比例函数图象在第二、四象限，$x≠0$：
当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
当$0＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
$\therefore$当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜3$。
（3）$\because$点$P(m,n)$在反比例函数图象上，且到y轴的距离小于3，
$\therefore|m|＜3$且$m≠0$，即$-3＜m＜0$或$0＜m＜3$。
反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$中，$k=-3＜0$，在每个象限内y随x的增大而增大：
当$-3＜m＜0$时，$m=-3$对应$n=-\dfrac{3}{-3}=1$，故$n＞1$；
当$0＜m＜3$时，$m=3$对应$n=-\dfrac{3}{3}=-1$，故$n＜-1$；
$\therefore$n的取值范围是$n＞1$或$n＜-1$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y_2=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y_1=-x+2}$
(2) 自变量x的取值范围为$\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{0＜x＜3}$
(3) n的取值范围为$\boldsymbol{n＞1}$或$\boldsymbol{n＜-1}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象比较函数值
3. 反比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，同时要注意结合图象分析问题，牢记反比例函数自变量$x≠0$的隐含条件，避免分段时漏考虑分界点。
【难度系数】
0.7
（1）求函数解析式优先用待定系数法：先将已知点B代入反比例函数求出k值，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出m的值，得到点A的坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数，解方程组求出a、b即可得到一次函数表达式。
（2）判断$y_1＞y_2$的x取值范围，可结合图象，找一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x区间，注意反比例函数$x≠0$，需分$x＜0$和$x＞0$两部分分析。
（3）点P到y轴的距离小于3即$|x|＜3$且$x≠0$，结合反比例函数在每个象限内的增减性，分别计算x在$-3＜x＜0$和$0＜x＜3$时对应的函数值范围即可。
【解析】
（1）①求反比例函数表达式：
将$B(3, -1)$代入$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$-1=\dfrac{k}{3}$，解得$k=-3$，
$\therefore$反比例函数表达式为$y_2=-\dfrac{3}{x}$。
②求点A坐标：
将$A(-1, m)$代入$y_2=-\dfrac{3}{x}$，得$m=-\dfrac{3}{-1}=3$，即$A(-1, 3)$。
③求一次函数表达式：
将$A(-1, 3)$、$B(3, -1)$代入$y_1=ax+b$，得方程组：
$\begin{cases}-a+b=3 \\3a+b=-1 \end{cases}$
两式相减得$4a=-4$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入$-a+b=3$，得$1+b=3$，解得$b=2$，
$\therefore$一次函数表达式为$y_1=-x+2$。
（2）结合图象可知，两个函数交点为$A(-1,3)$、$B(3,-1)$，反比例函数图象在第二、四象限，$x≠0$：
当$x＜-1$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
当$0＜x＜3$时，一次函数图象在反比例函数图象上方，$y_1＞y_2$；
$\therefore$当$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜3$。
（3）$\because$点$P(m,n)$在反比例函数图象上，且到y轴的距离小于3，
$\therefore|m|＜3$且$m≠0$，即$-3＜m＜0$或$0＜m＜3$。
反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$中，$k=-3＜0$，在每个象限内y随x的增大而增大：
当$-3＜m＜0$时，$m=-3$对应$n=-\dfrac{3}{-3}=1$，故$n＞1$；
当$0＜m＜3$时，$m=3$对应$n=-\dfrac{3}{3}=-1$，故$n＜-1$；
$\therefore$n的取值范围是$n＞1$或$n＜-1$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y_2=-\dfrac{3}{x}}$，一次函数表达式为$\boldsymbol{y_1=-x+2}$
(2) 自变量x的取值范围为$\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{0＜x＜3}$
(3) n的取值范围为$\boldsymbol{n＞1}$或$\boldsymbol{n＜-1}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 函数图象比较函数值
3. 反比例函数性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，同时要注意结合图象分析问题，牢记反比例函数自变量$x≠0$的隐含条件，避免分段时漏考虑分界点。
【难度系数】
0.7
13. 判断下列命题的真假性，并证明：
（1）两个不同的反比例函数一定不相交；
（2）如果反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$与正比例函数$y=k_2 x$不相交，那么$k_1 k_2 ＜0$.
（1）两个不同的反比例函数一定不相交；
（2）如果反比例函数$y=\frac{k_1}{x}$与正比例函数$y=k_2 x$不相交，那么$k_1 k_2 ＜0$.
答案
13. (1) 真命题. 假设$y=\frac{k_1}{x},y=\frac{k_2}{x}$相交,则在交点处$\frac{k_1}{x}=\frac{k_2}{x}$,$\frac{k_1}{x}-\frac{k_2}{x}=0$,所以$k_1=k_2$,则两个反比例函数是同一个,与题目条件矛盾. 得证
(2) 真命题. 如果函数$y=\frac{k_1}{x}$与$y=k_2x$相交,则在交点处$\frac{k_1}{x}=k_2x$,即$x^2=\frac{k_1}{k_2}$. 因为二者不相交,所以$x^2=\frac{k_1}{k_2}$无解,即$x^2＜0$,所以$\frac{k_1}{k_2}＜0$,在不等式两边同时乘$k_2^2$,得$k_1k_2＜0$
(2) 真命题. 如果函数$y=\frac{k_1}{x}$与$y=k_2x$相交,则在交点处$\frac{k_1}{x}=k_2x$,即$x^2=\frac{k_1}{k_2}$. 因为二者不相交,所以$x^2=\frac{k_1}{k_2}$无解,即$x^2＜0$,所以$\frac{k_1}{k_2}＜0$,在不等式两边同时乘$k_2^2$,得$k_1k_2＜0$
解析
【分析】
判断函数相交类命题的核心思路是将函数交点问题转化为联立后方程是否有解的问题：
（1）证明“两个不同反比例函数一定不相交”可采用反证法，先假设两函数相交，联立解析式推导系数关系，若推出与“两函数不同”矛盾的结论，即可证明原命题为真；
（2）判断反比例与正比例函数不相交时k₁k₂的符号，先联立两个函数解析式得到关于x的方程，根据“不相交”即方程无实数解，结合平方数的非负性推导k₁、k₂的符号关系即可。
【解析】
（1）该命题为真命题，证明如下：
设两个不同的反比例函数为$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$、$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，假设两函数相交，则存在公共点$(x,y)(x≠0)$同时满足两个解析式，因此可得：
$\frac{k_1}{x}=\frac{k_2}{x}$
两边同乘不为0的x，得$k_1=k_2$，此时两个反比例函数为同一个函数，与“两个不同的反比例函数”的题设矛盾，故假设不成立，即两个不同的反比例函数一定不相交。
（2）该命题为真命题，证明如下：
联立$y=\frac{k_1}{x}$与$y=k_2x$的解析式，可得：
$\frac{k_1}{x}=k_2x$
两边同乘不为0的x，整理得$x^2=\frac{k_1}{k_2}(k_2≠0)$
已知两函数不相交，说明上述方程无实数解，由于任意实数的平方均满足$x^2≥0$，因此只有当$\frac{k_1}{k_2}＜0$时方程无解，即$k_1$与$k_2$异号，因此$k_1k_2＜0$。
【答案】
（1）真命题；（2）真命题，证明均见解析。
【知识点】
反比例函数的性质，函数交点与方程解的关系，反证法
【点评】
本题通过将函数交点问题转化为方程解的问题求解，既考察了反比例函数的基本性质，也涉及反证法、平方非负性的应用，是反比例函数章节的典型习题，熟练掌握函数交点的转化思路可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
判断函数相交类命题的核心思路是将函数交点问题转化为联立后方程是否有解的问题：
（1）证明“两个不同反比例函数一定不相交”可采用反证法，先假设两函数相交，联立解析式推导系数关系，若推出与“两函数不同”矛盾的结论，即可证明原命题为真；
（2）判断反比例与正比例函数不相交时k₁k₂的符号，先联立两个函数解析式得到关于x的方程，根据“不相交”即方程无实数解，结合平方数的非负性推导k₁、k₂的符号关系即可。
【解析】
（1）该命题为真命题，证明如下：
设两个不同的反比例函数为$y=\frac{k_1}{x}(k_1≠0)$、$y=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$，假设两函数相交，则存在公共点$(x,y)(x≠0)$同时满足两个解析式，因此可得：
$\frac{k_1}{x}=\frac{k_2}{x}$
两边同乘不为0的x，得$k_1=k_2$，此时两个反比例函数为同一个函数，与“两个不同的反比例函数”的题设矛盾，故假设不成立，即两个不同的反比例函数一定不相交。
（2）该命题为真命题，证明如下：
联立$y=\frac{k_1}{x}$与$y=k_2x$的解析式，可得：
$\frac{k_1}{x}=k_2x$
两边同乘不为0的x，整理得$x^2=\frac{k_1}{k_2}(k_2≠0)$
已知两函数不相交，说明上述方程无实数解，由于任意实数的平方均满足$x^2≥0$，因此只有当$\frac{k_1}{k_2}＜0$时方程无解，即$k_1$与$k_2$异号，因此$k_1k_2＜0$。
【答案】
（1）真命题；（2）真命题，证明均见解析。
【知识点】
反比例函数的性质，函数交点与方程解的关系，反证法
【点评】
本题通过将函数交点问题转化为方程解的问题求解，既考察了反比例函数的基本性质，也涉及反证法、平方非负性的应用，是反比例函数章节的典型习题，熟练掌握函数交点的转化思路可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
