登录
1. 教材P41 读一读变式 [2026泉州泉港区期中]【材料阅读】
八年级上册数学华东师大版教材第41页“读一读”中，介绍了“末位数字是5的两位数平方的速算法则”：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25. 例如，计算$75^2$：因为$7×8=56$，所以$75^2=5625$.
【启发思考】
爱思考的小星同学也发现了一类特殊的两位数与两位数乘法的速算法则：当两个两位数的个位数字相同，十位数字之和等于10时，它们的乘积一定是一个四位数，可以先写出它们的十位数字的积与个位数字的和，再在末尾写上它们的个位数字的平方（若平方后不足两位，则在十位上补0）. 计算$43×63$：因为$4×6 + 3=27$，$3^2=9$，所以$43×63=2709$.
【问题解决】
(1) 按照小星同学的方法，计算：$89×29 =$
(2) 请用含$a,b$的代数式表示小星同学发现的这类特殊两位数.（其中$a,b$为一位整数）
(3) 请你通过运算，说明小星同学的发现是正确的.
八年级上册数学华东师大版教材第41页“读一读”中，介绍了“末位数字是5的两位数平方的速算法则”：末位数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与比它大1的自然数的乘积，再在末尾接着写上25. 例如，计算$75^2$：因为$7×8=56$，所以$75^2=5625$.
【启发思考】
爱思考的小星同学也发现了一类特殊的两位数与两位数乘法的速算法则：当两个两位数的个位数字相同，十位数字之和等于10时，它们的乘积一定是一个四位数，可以先写出它们的十位数字的积与个位数字的和，再在末尾写上它们的个位数字的平方（若平方后不足两位，则在十位上补0）. 计算$43×63$：因为$4×6 + 3=27$，$3^2=9$，所以$43×63=2709$.
【问题解决】
(1) 按照小星同学的方法，计算：$89×29 =$
2581
.(2) 请用含$a,b$的代数式表示小星同学发现的这类特殊两位数.（其中$a,b$为一位整数）
(3) 请你通过运算，说明小星同学的发现是正确的.
答案
1. 解:(1)2 581
(2)设第一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,则第一个两位数为10a+b,第二个两位数的十位数字为10−a,个位数字为b,则第二个两位数为10(10−a)+b.
(3)因为(10a+b)[10(10−a)+b]
=(10a+b)(100−10a+b)
=1 000a−100a²+10ab+100b−10ab+b²
=1 000a−100a²+100b+b²
=100(10a−a²+b)+b²
=100[a(10−a)+b)]+b²,
所以小星同学的发现是正确的.
(2)设第一个两位数的十位数字为a,个位数字为b,则第一个两位数为10a+b,第二个两位数的十位数字为10−a,个位数字为b,则第二个两位数为10(10−a)+b.
(3)因为(10a+b)[10(10−a)+b]
=(10a+b)(100−10a+b)
=1 000a−100a²+10ab+100b−10ab+b²
=1 000a−100a²+100b+b²
=100(10a−a²+b)+b²
=100[a(10−a)+b)]+b²,
所以小星同学的发现是正确的.
2. ▶教材P42 阅读材料变式【材料阅读】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了关于二项式乘方$(a + b)^n$的展开式的系数规律图表，后人把该图表称作贾宪三角或杨辉三角，贾宪三角或杨辉三角可以看作对两数和的平方公式的推广. 例如：$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$，$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.
【问题解决】
(1)若$(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + mx^2 + 32x + 16$，则$m$的值为
(2)请用乘法公式验证：$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
【拓展应用】
(3)计算：$2^5 + 5×2^4 + 10×2^3 + 10×2^2 + 5×2 + 1$.
我国南宋时期数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，记载了关于二项式乘方$(a + b)^n$的展开式的系数规律图表，后人把该图表称作贾宪三角或杨辉三角，贾宪三角或杨辉三角可以看作对两数和的平方公式的推广. 例如：$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$，$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.
【问题解决】
(1)若$(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + mx^2 + 32x + 16$，则$m$的值为
24
.(2)请用乘法公式验证：$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
【拓展应用】
(3)计算：$2^5 + 5×2^4 + 10×2^3 + 10×2^2 + 5×2 + 1$.
答案
2. 解:(1)24
由题意,得$mx^2 = 6x^2 · 2^2 = 24x^2$,$\therefore m = 24$.
(2)$(a + b)^4 = (a + b)^2(a + b)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab)$
$=a^4 + a^2b^2 + 2a^3b + a^2b^2 + b^4 + 2ab^3 + 2a^3b + 2ab^3 + 4a^2b^2$
$=a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(3)把$a = 2, b = 1$代入$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$,
得$(2 + 1)^5 = 2^5 + 5 × 2^4 × 1 + 10 × 2^3 × 1^2 + 10 × 2^2 × 1^3 + 5 × 2 × 1^4 + 1^5$,
$\therefore (2 + 1)^5 = 2^5 + 5 × 2^4 + 10 × 2^3 + 10 × 2^2 + 5 × 2 + 1$,
$\therefore 2^5 + 5 × 2^4 + 10 × 2^3 + 10 × 2^2 + 5 × 2 + 1 = 3^5 = 243$.
由题意,得$mx^2 = 6x^2 · 2^2 = 24x^2$,$\therefore m = 24$.
(2)$(a + b)^4 = (a + b)^2(a + b)^2$
$=(a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 + 2ab)$
$=a^4 + a^2b^2 + 2a^3b + a^2b^2 + b^4 + 2ab^3 + 2a^3b + 2ab^3 + 4a^2b^2$
$=a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(3)把$a = 2, b = 1$代入$(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$,
得$(2 + 1)^5 = 2^5 + 5 × 2^4 × 1 + 10 × 2^3 × 1^2 + 10 × 2^2 × 1^3 + 5 × 2 × 1^4 + 1^5$,
$\therefore (2 + 1)^5 = 2^5 + 5 × 2^4 + 10 × 2^3 + 10 × 2^2 + 5 × 2 + 1$,
$\therefore 2^5 + 5 × 2^4 + 10 × 2^3 + 10 × 2^2 + 5 × 2 + 1 = 3^5 = 243$.
