登录
8.如图，AB，AC是$\odot O$的两条弦，$OD⊥ AB$于点D，$OE⊥ AC$于点E，连接OB，OC.若$∠ DOE=130°$，则$∠ BOC$的度数为
$100°$
.答案
$100°$
解析
【分析】
解题时先观察图形，已知OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可先求出∠BAC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=90°
在四边形ADOE中，内角和为360°，已知∠DOE=130°
∴∠BAC=360° - ∠ADO - ∠AEO - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°
∵∠BOC和∠BAC都对应弧BC，∠BOC是圆心角，∠BAC是圆周角
∴根据圆周角定理，∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°
【答案】
100°
【知识点】
圆周角定理，四边形内角和，垂直的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题，解题的关键是先通过四边形内角和求出圆周角的度数，再利用圆周角与圆心角的数量关系计算结果，考查了学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形，已知OD⊥AB、OE⊥AC，可得两个直角，结合四边形内角和为360°，可先求出∠BAC的度数；再根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OD⊥AB，OE⊥AC
∴∠ADO=∠AEO=90°
在四边形ADOE中，内角和为360°，已知∠DOE=130°
∴∠BAC=360° - ∠ADO - ∠AEO - ∠DOE = 360° - 90° - 90° - 130° = 50°
∵∠BOC和∠BAC都对应弧BC，∠BOC是圆心角，∠BAC是圆周角
∴根据圆周角定理，∠BOC=2∠BAC=2×50°=100°
【答案】
100°
【知识点】
圆周角定理，四边形内角和，垂直的性质
【点评】
本题是圆的性质相关的基础题，解题的关键是先通过四边形内角和求出圆周角的度数，再利用圆周角与圆心角的数量关系计算结果，考查了学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点E，$∠ ACD=60°$，$∠ ADC=45°$，则$∠ DEB$的度数是
$75°$
.答案
$75°$
解析
【分析】
要求∠DEB的度数，我们可以利用三角形外角的性质求解：观察可得∠DEB是△ADE的外角，根据外角性质，∠DEB等于不相邻的两个内角∠DAB与∠ADC的和，已知∠ADC=45°，因此只需要求出∠DAB的度数即可。求∠DAB时，结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先由已知的∠ACD求出对应弧AD的度数，再结合AB是直径可得弧AB的度数，进而求出弧BD的度数，即可得到∠DAB的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理，∠ACD是弧AD所对的圆周角，因此弧AD的度数为：$2∠ ACD=2×60°=120°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，所以弧AB的度数为$180°$，因此弧BD的度数为：$180°-120°=60°$
3. ∠DAB是弧BD所对的圆周角，因此$∠ DAB=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 因为∠DEB是△ADE的外角，根据三角形外角性质：$∠ DEB=∠ DAB+∠ ADC$，代入数值得：$∠ DEB=30°+45°=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角与对应弧的度数关系，结合三角形外角性质即可快速求解，也可通过连接BC构造直径所对的直角三角形的方法解题，方法灵活，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要求∠DEB的度数，我们可以利用三角形外角的性质求解：观察可得∠DEB是△ADE的外角，根据外角性质，∠DEB等于不相邻的两个内角∠DAB与∠ADC的和，已知∠ADC=45°，因此只需要求出∠DAB的度数即可。求∠DAB时，结合圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，先由已知的∠ACD求出对应弧AD的度数，再结合AB是直径可得弧AB的度数，进而求出弧BD的度数，即可得到∠DAB的度数。
【解析】
1. 根据圆周角定理，∠ACD是弧AD所对的圆周角，因此弧AD的度数为：$2∠ ACD=2×60°=120°$
2. 因为AB是$\odot O$的直径，所以弧AB的度数为$180°$，因此弧BD的度数为：$180°-120°=60°$
3. ∠DAB是弧BD所对的圆周角，因此$∠ DAB=\frac{1}{2}×60°=30°$
4. 因为∠DEB是△ADE的外角，根据三角形外角性质：$∠ DEB=∠ DAB+∠ ADC$，代入数值得：$∠ DEB=30°+45°=75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
圆周角定理、三角形外角性质、直径的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的核心是熟练掌握圆周角与对应弧的度数关系，结合三角形外角性质即可快速求解，也可通过连接BC构造直径所对的直角三角形的方法解题，方法灵活，是圆章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
10.如图，AC，BC为$\odot O$的两条弦，点D，G分别为AC，BC的中点，$\odot O$的半径为2.若$∠ C=45°$，则DG的长为
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此DG是△ABC的中位线，可得$DG=\frac{1}{2}AB$，故只需先求出弦AB的长度即可。已知∠C是弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，再结合圆的半径为2，利用勾股定理求出AB的长度，最后代入中位线的结论即可得到DG的长。
【解析】
1. 连接OA、OB：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠C=45°$是弧AB所对的圆周角，因此弧AB所对的圆心角$∠AOB=2∠C=2×45°=90°$。
2. 计算AB的长度：
已知$\odot O$的半径为2，因此$OA=OB=2$，△AOB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
3. 计算DG的长度：
因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此：
$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质与三角形定理结合考查，解题的关键是通过中位线定理将未知线段长度转化为圆内弦长的求解，需要熟练掌握各基础定理的应用条件，能快速找到线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：D、G分别是AC、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，因此DG是△ABC的中位线，可得$DG=\frac{1}{2}AB$，故只需先求出弦AB的长度即可。已知∠C是弧AB对应的圆周角，根据圆周角定理可求出弧AB对应的圆心角∠AOB的度数，再结合圆的半径为2，利用勾股定理求出AB的长度，最后代入中位线的结论即可得到DG的长。
【解析】
1. 连接OA、OB：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠C=45°$是弧AB所对的圆周角，因此弧AB所对的圆心角$∠AOB=2∠C=2×45°=90°$。
2. 计算AB的长度：
已知$\odot O$的半径为2，因此$OA=OB=2$，△AOB为等腰直角三角形，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
3. 计算DG的长度：
因为D、G分别为AC、BC的中点，所以DG是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此：
$DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将圆的性质与三角形定理结合考查，解题的关键是通过中位线定理将未知线段长度转化为圆内弦长的求解，需要熟练掌握各基础定理的应用条件，能快速找到线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
11.圆中一条弦恰好等于圆的半径,则这条弦所对的圆周角的度数为
$30°$或$150°$
.答案
$30°$或$150°$
解析
【分析】
解题时首先根据弦长等于半径的条件，连接圆心与弦的两个端点，可得到等边三角形，从而求出弦所对的圆心角；再结合圆周角定理求解圆周角，注意一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），因此弦所对的圆周角有两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，这条弦为$AB$，则$AB=r$。
连接$OA$、$OB$，因为$OA=OB=r$，$AB=r$，所以$△ OAB$为等边三角形，因此弦$AB$所对的圆心角$∠ AOB=60°$。
分两种情况讨论圆周角：
1. 当圆周角的顶点在弦$AB$所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$；
2. 当圆周角的顶点在弦$AB$所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得此时圆周角的度数为$180°-30°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 圆周角定理
3. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质相关计算，易错点是忽略一条弦对应两种不同的圆周角，仅求出$30°$而漏解$150°$，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据弦长等于半径的条件，连接圆心与弦的两个端点，可得到等边三角形，从而求出弦所对的圆心角；再结合圆周角定理求解圆周角，注意一条弦对应两条弧（劣弧和优弧），因此弦所对的圆周角有两种情况，需分类讨论避免漏解。
【解析】
设圆的半径为$r$，这条弦为$AB$，则$AB=r$。
连接$OA$、$OB$，因为$OA=OB=r$，$AB=r$，所以$△ OAB$为等边三角形，因此弦$AB$所对的圆心角$∠ AOB=60°$。
分两种情况讨论圆周角：
1. 当圆周角的顶点在弦$AB$所对的优弧上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角的度数为$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×60°=30°$；
2. 当圆周角的顶点在弦$AB$所对的劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得此时圆周角的度数为$180°-30°=150°$。
综上，这条弦所对的圆周角的度数为$30°$或$150°$。
【答案】
$30°$或$150°$
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 圆周角定理
3. 圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的基本性质相关计算，易错点是忽略一条弦对应两种不同的圆周角，仅求出$30°$而漏解$150°$，解题时要注意分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.6
12.如图，在$\odot O$中，点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接$AC$并延长至点$D$，使$CD=CA$；连接$DB$并延长$DB$，交$\odot O$于点$E$，连接$AE$.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的直径.
(2)求证：$AE=DE$.
(1)求证：$AE$是$\odot O$的直径.
(2)求证：$AE=DE$.
答案
(1)证明:连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
解析
【分析】
(1)要证明AE是$\odot O$的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需推导出$∠ ABE=90°$即可。已知点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$AC=BC$，结合$CD=CA$的条件，可推出BC是$△ ABD$中AD边上的中线且$BC=\frac{1}{2}AD$，由此可得$∠ ABD=90°$，进而得到$∠ ABE=90°$，即可证AE为直径。
(2)要证明$AE=DE$，可利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。由(1)已证AE是直径，可得$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$，结合$CD=CA$的条件，可知EC是AD的垂直平分线，即可推出$AE=DE$。
【解析】
(1)连接$BC,AB$
∵ 点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据等弧对等弦的性质，得$AC=BC$
又
∵ $CD=CA$，
∴ $AC=BC=CD$，即BC为$△ ABD$中AD边上的中线，且$BC=\frac{1}{2}AD$
根据“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该边所对的角为直角”，得$∠ ABD=90°$
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABD=90°$
根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AE是$\odot O$的直径。
(2)连接$EC$
∵ AE是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$
又
∵ $CD=CA$，
∴ EC垂直平分线段AD
根据线段垂直平分线的性质，得$AE=DE$。
【答案】
(1)证明:连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.等弧对等弦
3.垂直平分线性质
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题型，解题核心是合理添加辅助线，结合弧中点、线段中点的已知条件，沟通圆的性质和三角形的相关结论，能有效考查对圆的核心概念和基础定理的掌握程度。
【难度系数】
0.7
(1)要证明AE是$\odot O$的直径，可利用圆周角定理的推论：90°的圆周角所对的弦是直径，因此只需推导出$∠ ABE=90°$即可。已知点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，可得$AC=BC$，结合$CD=CA$的条件，可推出BC是$△ ABD$中AD边上的中线且$BC=\frac{1}{2}AD$，由此可得$∠ ABD=90°$，进而得到$∠ ABE=90°$，即可证AE为直径。
(2)要证明$AE=DE$，可利用线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。由(1)已证AE是直径，可得$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$，结合$CD=CA$的条件，可知EC是AD的垂直平分线，即可推出$AE=DE$。
【解析】
(1)连接$BC,AB$
∵ 点C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据等弧对等弦的性质，得$AC=BC$
又
∵ $CD=CA$，
∴ $AC=BC=CD$，即BC为$△ ABD$中AD边上的中线，且$BC=\frac{1}{2}AD$
根据“若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该边所对的角为直角”，得$∠ ABD=90°$
∴ $∠ ABE=180°-∠ ABD=90°$
根据圆周角定理推论：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AE是$\odot O$的直径。
(2)连接$EC$
∵ AE是$\odot O$的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”，得$∠ ACE=90°$，即$EC⊥ AD$
又
∵ $CD=CA$，
∴ EC垂直平分线段AD
根据线段垂直平分线的性质，得$AE=DE$。
【答案】
(1)证明:连接 $BC,AB$,
$\because$ 点 $C$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$CD=CA,\therefore AC=BC=CD,\therefore ∠ ABD=90°$,
$\therefore ∠ ABE=90°,\therefore AE$ 为 $\odot O$ 的直径.
(2)证明:连接 $EC$.
$\because AE$ 为 $\odot O$ 的直径,$\therefore EC ⊥ AD$,又 $\because CD=CA,\therefore AE=DE$.
【知识点】
1.圆周角定理推论
2.等弧对等弦
3.垂直平分线性质
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题型，解题核心是合理添加辅助线，结合弧中点、线段中点的已知条件，沟通圆的性质和三角形的相关结论，能有效考查对圆的核心概念和基础定理的掌握程度。
【难度系数】
0.7
13.如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的弦，$CD⊥ AB$于点E，点F在$\odot O$上且$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$。
(1)连接AF，求证：$AF=CD$。
(2)连接BF，BD。若$AE=2$，$BF=6$，求BD的长。
(1)连接AF，求证：$AF=CD$。
(2)连接BF，BD。若$AE=2$，$BF=6$，求BD的长。
答案
(1)证明:$\because CD ⊥ AB$ 于点 $E$,$\therefore \overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$,
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AF},\therefore AF=CD$.
(2)连接 $OC$,交 $AF$ 于点 $H$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore OC$ 垂直平分 $FA$,$\therefore OH$ 是 $△ ABF$ 的中位线,$\therefore OH=\dfrac{1}{2}BF=3$.
$\because OE ⊥ CD,OH ⊥ AF,\therefore AH=\dfrac{1}{2}AF,CE=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AF=CD,\therefore AH=CE,\therefore \mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
$\therefore OH=OE=3,\therefore OA=AE+OE=5,\therefore BE=AB-AE=2OA-AE=8$,
$\because CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=4,\therefore DE=CE=4,\therefore BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AF},\therefore AF=CD$.
(2)连接 $OC$,交 $AF$ 于点 $H$.
$\because \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA},\therefore OC$ 垂直平分 $FA$,$\therefore OH$ 是 $△ ABF$ 的中位线,$\therefore OH=\dfrac{1}{2}BF=3$.
$\because OE ⊥ CD,OH ⊥ AF,\therefore AH=\dfrac{1}{2}AF,CE=\dfrac{1}{2}CD$,
$\because AF=CD,\therefore AH=CE,\therefore \mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$,
$\therefore OH=OE=3,\therefore OA=AE+OE=5,\therefore BE=AB-AE=2OA-AE=8$,
$\because CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=4,\therefore DE=CE=4,\therefore BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明两条弦相等，根据圆的基本性质，同圆内相等的弧所对的弦相等，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先由CD垂直于直径AB，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，结合已知$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，可推出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，即可证得AF=CD。
(2) 要求BD的长度，观察到CD⊥AB，△BED为直角三角形，只需算出BE和DE的长度即可通过勾股定理计算BD。首先连接OC交AF于点H，由等弧的性质可知OC垂直平分AF，可得OH是△ABF的中位线，求出OH的长度；再证明Rt△OAH和Rt△OCE全等，得到OE=OH，进而求出圆的半径，再分别计算BE、CE（即DE）的长度，最后用勾股定理计算BD即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD⊥AB于点E，AB是$\odot O$的直径，
∴ 由垂径定理得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，
又
∵ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ $\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}+\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AF=CD$。
(2) 解：连接$OC$，交$AF$于点$H$。
∵ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，$OC$是$\odot O$的半径，
∴ $OC$垂直平分$FA$，即$H$是$AF$的中点，$OH⊥AF$，
又
∵ $O$是$AB$的中点，
∴ $OH$是$△ ABF$的中位线，
∴ $OH=\dfrac{1}{2}BF=\dfrac{1}{2}×6=3$。
∵ $OE⊥CD$，$OH⊥AF$，
∴ 由垂径定理得$AH=\dfrac{1}{2}AF$，$CE=\dfrac{1}{2}CD$，
由(1)知$AF=CD$，
∴ $AH=CE$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\ AH=CE\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
∴ $OH=OE=3$，
∴ 圆的半径$OA=AE+OE=2+3=5$，
∴ $AB=2OA=10$，$BE=AB-AE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $DE=CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BD=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合题，解题核心是利用垂径定理实现弧、弦之间的相互转化，结合三角形中位线、全等三角形的判定和勾股定理求解线段长度，是圆相关计算的典型题型，需要掌握这类题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明两条弦相等，根据圆的基本性质，同圆内相等的弧所对的弦相等，因此只需证明两条弦对应的弧相等即可。首先由CD垂直于直径AB，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，结合已知$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，可推出$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，即可证得AF=CD。
(2) 要求BD的长度，观察到CD⊥AB，△BED为直角三角形，只需算出BE和DE的长度即可通过勾股定理计算BD。首先连接OC交AF于点H，由等弧的性质可知OC垂直平分AF，可得OH是△ABF的中位线，求出OH的长度；再证明Rt△OAH和Rt△OCE全等，得到OE=OH，进而求出圆的半径，再分别计算BE、CE（即DE）的长度，最后用勾股定理计算BD即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD⊥AB于点E，AB是$\odot O$的直径，
∴ 由垂径定理得$\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{AD}$，
又
∵ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，
∴ $\overset{\frown}{CF}+\overset{\frown}{CA}=\overset{\frown}{CA}+\overset{\frown}{AD}$，即$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CD}$，
∵ 同圆中相等的弧所对的弦相等，
∴ $AF=CD$。
(2) 解：连接$OC$，交$AF$于点$H$。
∵ $\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，$OC$是$\odot O$的半径，
∴ $OC$垂直平分$FA$，即$H$是$AF$的中点，$OH⊥AF$，
又
∵ $O$是$AB$的中点，
∴ $OH$是$△ ABF$的中位线，
∴ $OH=\dfrac{1}{2}BF=\dfrac{1}{2}×6=3$。
∵ $OE⊥CD$，$OH⊥AF$，
∴ 由垂径定理得$AH=\dfrac{1}{2}AF$，$CE=\dfrac{1}{2}CD$，
由(1)知$AF=CD$，
∴ $AH=CE$，
在$\mathrm{Rt}△ OAH$和$\mathrm{Rt}△ OCE$中：
$\{\begin{array}{l}OA=OC\\ AH=CE\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ OAH ≌ \mathrm{Rt}△ OCE(\mathrm{HL})$，
∴ $OH=OE=3$，
∴ 圆的半径$OA=AE+OE=2+3=5$，
∴ $AB=2OA=10$，$BE=AB-AE=10-2=8$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∵ $CD⊥AB$，
∴ $DE=CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ BED$中，$BD=\sqrt{BE^2+DE^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BD=4\sqrt{5}$
【知识点】
垂径定理，弧弦的关系，勾股定理
【点评】
本题属于圆的性质综合题，解题核心是利用垂径定理实现弧、弦之间的相互转化，结合三角形中位线、全等三角形的判定和勾股定理求解线段长度，是圆相关计算的典型题型，需要掌握这类题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.6
