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1.下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的部分对应值：
那么关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是（）
A.1.07
B.1.17
C.1.27
D.1.37
那么关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的近似值可能是（）
A.1.07
B.1.17
C.1.27
D.1.37
答案
C
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确一元二次方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。观察表格中$y$的正负变化，找到$y$由负变正的相邻两个$x$的取值，即可确定方程根的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.29＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.14＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此当$y=0$时，$x$的取值一定在$1.2$和$1.3$之间。
对比选项：
A.$1.07＜1.2$，不符合；
B.$1.17＜1.2$，不符合；
C.$1.2＜1.27＜1.3$，符合范围；
D.$1.37＞1.3$，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是利用二次函数的连续性，通过相邻自变量对应的函数值的正负变化确定方程根的取值范围，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的近似根，首先明确一元二次方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$值。观察表格中$y$的正负变化，找到$y$由负变正的相邻两个$x$的取值，即可确定方程根的取值范围，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标，即$y=0$时$x$的取值。
观察表格数据：
当$x=1.2$时，$y=-0.29＜0$；
当$x=1.3$时，$y=0.14＞0$。
由于二次函数的图象是连续的曲线，因此当$y=0$时，$x$的取值一定在$1.2$和$1.3$之间。
对比选项：
A.$1.07＜1.2$，不符合；
B.$1.17＜1.2$，不符合；
C.$1.2＜1.27＜1.3$，符合范围；
D.$1.37＞1.3$，不符合。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的联系，解题核心是利用二次函数的连续性，通过相邻自变量对应的函数值的正负变化确定方程根的取值范围，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
2.(推理能力)已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2+2x-3-m=0$的解为$x_1,x_2(x_1＜x_2)$，关于$x$的方程$x^2+2x-3-n=0$的解为$x_3,x_4(x_3＜x_4)$，则下列结论正确的是（）
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
A.$x_3＜x_1＜x_2＜x_4$
B.$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$
C.$x_1＜x_2＜x_3＜x_4$
D.$x_3＜x_4＜x_1＜x_2$
答案
B
解析
【分析】
我们可以通过两种思路解题：思路一：转化思想，将一元二次方程的解转化为二次函数与水平直线的交点横坐标，结合二次函数的图像性质判断根的大小；思路二：特殊值法，选取符合$m＞n＞0$的具体数值代入方程，分别求解四个根再比较大小，更直观易懂。
【解析】
方法一：数形结合法
令二次函数$y=x^2+2x-3$，配方得$y=(x+1)^2-4$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
方程$x^2+2x-3-m=0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，即$x_1,x_2$是两个交点的横坐标（$x_1＜x_2$）；
同理方程$x^2+2x-3-n=0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，即$x_3,x_4$是两个交点的横坐标（$x_3＜x_4$）。
已知$m＞n＞0$，直线$y=m$在$y=n$上方，结合开口向上的抛物线性质：函数值越大，对应的左侧交点横坐标越小、右侧交点横坐标越大，因此可得$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
方法二：特殊值验证法
取符合$m＞n＞0$的特殊值，令$m=5$，$n=0$：
解方程$x^2+2x-3-5=0$，即$x^2+2x-8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$；
解方程$x^2+2x-3-0=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=1$；
比较大小得$-4＜-3＜1＜2$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与方程的关系，二次函数图像性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，既可以通过数形结合快速推导结论，也可以用特殊值法简化计算，很好地考查了转化思想和推理能力。
【难度系数】
0.7
我们可以通过两种思路解题：思路一：转化思想，将一元二次方程的解转化为二次函数与水平直线的交点横坐标，结合二次函数的图像性质判断根的大小；思路二：特殊值法，选取符合$m＞n＞0$的具体数值代入方程，分别求解四个根再比较大小，更直观易懂。
【解析】
方法一：数形结合法
令二次函数$y=x^2+2x-3$，配方得$y=(x+1)^2-4$，该函数开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
方程$x^2+2x-3-m=0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，即$x_1,x_2$是两个交点的横坐标（$x_1＜x_2$）；
同理方程$x^2+2x-3-n=0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标，即$x_3,x_4$是两个交点的横坐标（$x_3＜x_4$）。
已知$m＞n＞0$，直线$y=m$在$y=n$上方，结合开口向上的抛物线性质：函数值越大，对应的左侧交点横坐标越小、右侧交点横坐标越大，因此可得$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
方法二：特殊值验证法
取符合$m＞n＞0$的特殊值，令$m=5$，$n=0$：
解方程$x^2+2x-3-5=0$，即$x^2+2x-8=0$，因式分解得$(x+4)(x-2)=0$，解得$x_1=-4$，$x_2=2$；
解方程$x^2+2x-3-0=0$，即$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_3=-3$，$x_4=1$；
比较大小得$-4＜-3＜1＜2$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与方程的关系，二次函数图像性质，一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，既可以通过数形结合快速推导结论，也可以用特殊值法简化计算，很好地考查了转化思想和推理能力。
【难度系数】
0.7
3.在二次函数$y=x^2 -4x$中，若函数值$y$小于0，则结合函数图象判断$x$的取值范围是（）
A.$x＜0$或$x＞4$
B.$x＞0$或$x＜-4$
C.$0＜x＜4$
D.$-4＜x＜0$
A.$x＜0$或$x＞4$
B.$x＞0$或$x＜-4$
C.$0＜x＜4$
D.$-4＜x＜0$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照数形结合的思路逐步推导：首先，求y＜0时x的取值范围，本质就是找二次函数图象位于x轴下方部分对应的x的范围。第一步先求抛物线与x轴的交点（即y=0时x的值），第二步判断抛物线的开口方向，最后结合开口方向和交点位置确定y＜0对应的x范围即可。
【解析】
第一步：求二次函数$y=x^2 -4x$与x轴的交点，令$y=0$，可得方程：
$x^2 -4x=0$
因式分解得：$x(x-4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=4$，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(4,0)$两个点。
第二步：判断抛物线开口方向，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
第三步：结合图象分析，开口向上的抛物线，位于x轴下方（即$y＜0$）的部分对应的x值在两个交点之间，因此x的取值范围是$0＜x＜4$。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数结合不等式的基础题型，核心是运用数形结合思想，通过抛物线的开口方向、与x轴的交点位置快速判断函数值正负对应的自变量范围，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照数形结合的思路逐步推导：首先，求y＜0时x的取值范围，本质就是找二次函数图象位于x轴下方部分对应的x的范围。第一步先求抛物线与x轴的交点（即y=0时x的值），第二步判断抛物线的开口方向，最后结合开口方向和交点位置确定y＜0对应的x范围即可。
【解析】
第一步：求二次函数$y=x^2 -4x$与x轴的交点，令$y=0$，可得方程：
$x^2 -4x=0$
因式分解得：$x(x-4)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=4$，即抛物线与x轴交于$(0,0)$和$(4,0)$两个点。
第二步：判断抛物线开口方向，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上。
第三步：结合图象分析，开口向上的抛物线，位于x轴下方（即$y＜0$）的部分对应的x值在两个交点之间，因此x的取值范围是$0＜x＜4$。
综上本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数结合不等式的基础题型，核心是运用数形结合思想，通过抛物线的开口方向、与x轴的交点位置快速判断函数值正负对应的自变量范围，掌握相关基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.如图,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的部分图象交坐标轴于点A(-1,0),B(0,3),对称轴为直线x=1,则当y＞0时,x的取值范围是 ()
A.$ x＜-1 $或$ x＞3 $
B.$ x＜-1 $或$ x＞4 $
C.$ -1＜x＜3 $
D.$ -1＜x＜4 $
A.$ x＜-1 $或$ x＞3 $
B.$ x＜-1 $或$ x＞4 $
C.$ -1＜x＜3 $
D.$ -1＜x＜4 $
答案
C
解析
【分析】
要确定y＞0时x的取值范围，需先找到抛物线与x轴的两个交点坐标，再结合开口方向判断x轴上方图象对应的x区间。已知抛物线对称轴为x=1，且一个交点为A(-1,0)，可利用抛物线的对称性求出另一个交点坐标，再结合图象特征得到取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点为$A(-1,0)$，
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即另一个交点为$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，$y＞0$对应图象在x轴上方的部分，
∴ x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点，再结合开口方向通过图象判断不等式的解集，考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
要确定y＞0时x的取值范围，需先找到抛物线与x轴的两个交点坐标，再结合开口方向判断x轴上方图象对应的x区间。已知抛物线对称轴为x=1，且一个交点为A(-1,0)，可利用抛物线的对称性求出另一个交点坐标，再结合图象特征得到取值范围。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，且与x轴的一个交点为$A(-1,0)$，
根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为$x$，则$\frac{-1+x}{2}=1$，解得$x=3$，即另一个交点为$(3,0)$。
由图象可知抛物线开口向下，$y＞0$对应图象在x轴上方的部分，
∴ x的取值范围是$-1＜x＜3$。
【答案】
C
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数与不等式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是利用抛物线的对称性求出未知的x轴交点，再结合开口方向通过图象判断不等式的解集，考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
5.(数形结合思想)如图，直线$y=mx+n$与抛物线$y=ax^2+bx+c$交于$A(-1,p),B(4,q)$两点，则关于$x$的不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的解集是。
第5题图
第5题图答案
解：不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的解集的几何意义，是直线$y=mx+n$的图象在抛物线$y=ax^2+bx+c$图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。
已知直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为$-1$和$4$，结合图象可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 4$时，直线位于抛物线上方。
因此不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的解集是$\boldsymbol{x ＜ -1}$或$\boldsymbol{x ＞ 4}$。
已知直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为$-1$和$4$，结合图象可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 4$时，直线位于抛物线上方。
因此不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的解集是$\boldsymbol{x ＜ -1}$或$\boldsymbol{x ＞ 4}$。
解析
【分析】
求解这类一次函数与二次函数结合的不等式问题，首先要明确不等式的几何含义：$mx+n ＞ ax^2+bx+c$表示直线$y=mx+n$的函数值大于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上就是直线位于抛物线上方的区域。接下来找到两个函数图象交点的横坐标，交点处两个函数值相等，再观察交点两侧的图象位置，就能得到满足不等式的$x$的取值范围。
【解析】
不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的几何意义，是直线$y=mx+n$的图象在抛物线$y=ax^2+bx+c$图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。已知直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为$-1$和$4$，结合图象可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 4$时，直线位于抛物线上方，满足$mx+n ＞ ax^2+bx+c$。
【答案】
$x ＜ -1$或$x ＞ 4$
【知识点】
二次函数与不等式、一次函数图象、数形结合思想
【点评】
本题考查利用函数图象求解不等式的能力，解题核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速得出结果，熟练运用数形结合思想能简化此类问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
求解这类一次函数与二次函数结合的不等式问题，首先要明确不等式的几何含义：$mx+n ＞ ax^2+bx+c$表示直线$y=mx+n$的函数值大于抛物线$y=ax^2+bx+c$的函数值，对应图象上就是直线位于抛物线上方的区域。接下来找到两个函数图象交点的横坐标，交点处两个函数值相等，再观察交点两侧的图象位置，就能得到满足不等式的$x$的取值范围。
【解析】
不等式$mx+n ＞ ax^2+bx+c$的几何意义，是直线$y=mx+n$的图象在抛物线$y=ax^2+bx+c$图象上方时对应的自变量$x$的取值范围。已知直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为$-1$和$4$，结合图象可得：当$x ＜ -1$或$x ＞ 4$时，直线位于抛物线上方，满足$mx+n ＞ ax^2+bx+c$。
【答案】
$x ＜ -1$或$x ＞ 4$
【知识点】
二次函数与不等式、一次函数图象、数形结合思想
【点评】
本题考查利用函数图象求解不等式的能力，解题核心是理解函数值大小关系和图象上下位置的对应关系，结合交点坐标即可快速得出结果，熟练运用数形结合思想能简化此类问题的求解过程。
【难度系数】
0.7
