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1. 点$A(-2,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，则$k$的值是（）
A.10
B.5
C.-5
D.-10
A.10
B.5
C.-5
D.-10
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆函数图象与点坐标的对应关系：若点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。因此我们只需将点A的横、纵坐标代入反比例函数的表达式，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(-2,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴将$x=-2$，$y=5$代入解析式可得：
$5=\frac{k}{-2}$
两边同乘$-2$解得：$k=5×(-2)=-10$
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法求参数
【点评】
本题是基础类题型，核心考查函数图象和点坐标的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足函数解析式”的规律即可快速作答，计算时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆函数图象与点坐标的对应关系：若点在某函数的图象上，则该点的横、纵坐标一定满足该函数的解析式。因此我们只需将点A的横、纵坐标代入反比例函数的表达式，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵点$A(-2,5)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴将$x=-2$，$y=5$代入解析式可得：
$5=\frac{k}{-2}$
两边同乘$-2$解得：$k=5×(-2)=-10$
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法求参数
【点评】
本题是基础类题型，核心考查函数图象和点坐标的对应关系，只要掌握“点在图象上则坐标满足函数解析式”的规律即可快速作答，计算时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.9
2. (2024·济宁)已知点$A(-2,y_1)$,$B(-1,y_2)$,$C(3,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 ()
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
C
解析
【分析】
要比较三个y值的大小，可通过两种思路求解：思路一：先根据反比例函数中k＜0的性质，明确函数图象分布在第二、四象限，第二象限内的点y值均为正，第四象限内的点y值均为负，由此可先判断出横坐标为正的点C对应的y₃最小；再判断A、B都在第二象限，结合该象限内y随x的增大而增大的规律，比较A、B的横坐标大小，即可得出y₁和y₂的大小关系，最终完成排序。思路二：可取符合k＜0的具体数值，代入函数解析式分别计算y₁、y₂、y₃的数值，直接比较大小，该方法更直观不易出错。
【解析】
方法一（性质法）：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。
∵点A(-2,y₁)、B(-1,y₂)的横坐标均小于0，点C(3,y₃)的横坐标大于0，
∴点A、B在第二象限，点C在第四象限，
∴y₁＞0，y₂＞0，y₃＜0，即y₃是三个值中最小的。
又
∵-2 ＜ -1，且第二象限内y随x的增大而增大，
∴y₁ ＜ y₂。
综上可得：$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
方法二（特殊值法）：
∵k＜0，可取k=-6，此时反比例函数解析式为$y=\frac{-6}{x}$，
分别代入三个点的横坐标计算：
$y_1=\frac{-6}{-2}=3$，$y_2=\frac{-6}{-1}=6$，$y_3=\frac{-6}{3}=-2$，
∵-2 ＜ 3 ＜ 6，
∴$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题时需注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不同象限的点可先通过y值的正负判断大小，避免直接套用增减性出错；若对性质记忆不熟练，可代入符合条件的特殊k值计算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
要比较三个y值的大小，可通过两种思路求解：思路一：先根据反比例函数中k＜0的性质，明确函数图象分布在第二、四象限，第二象限内的点y值均为正，第四象限内的点y值均为负，由此可先判断出横坐标为正的点C对应的y₃最小；再判断A、B都在第二象限，结合该象限内y随x的增大而增大的规律，比较A、B的横坐标大小，即可得出y₁和y₂的大小关系，最终完成排序。思路二：可取符合k＜0的具体数值，代入函数解析式分别计算y₁、y₂、y₃的数值，直接比较大小，该方法更直观不易出错。
【解析】
方法一（性质法）：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大。
∵点A(-2,y₁)、B(-1,y₂)的横坐标均小于0，点C(3,y₃)的横坐标大于0，
∴点A、B在第二象限，点C在第四象限，
∴y₁＞0，y₂＞0，y₃＜0，即y₃是三个值中最小的。
又
∵-2 ＜ -1，且第二象限内y随x的增大而增大，
∴y₁ ＜ y₂。
综上可得：$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
方法二（特殊值法）：
∵k＜0，可取k=-6，此时反比例函数解析式为$y=\frac{-6}{x}$，
分别代入三个点的横坐标计算：
$y_1=\frac{-6}{-2}=3$，$y_2=\frac{-6}{-1}=6$，$y_3=\frac{-6}{3}=-2$，
∵-2 ＜ 3 ＜ 6，
∴$y_3 ＜ y_1 ＜ y_2$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题时需注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，不同象限的点可先通过y值的正负判断大小，避免直接套用增减性出错；若对性质记忆不熟练，可代入符合条件的特殊k值计算，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7
3. (2026·巴中)函数$y=kx-k$与$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
答案
$\boxed{D}$
解析
【分析】
本题为一次函数与反比例函数的图象共存判断题，解题采用分类讨论法：先根据参数k的正负，分别确定反比例函数的图象所在象限，再推导对应情况下一次函数的图象经过的象限，逐一和选项比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论k的取值：
1. 当$ k＞0 $时：
反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象位于第一、三象限；
一次函数$ y=kx-k $中，斜率$ k＞0 $，与y轴的截距$ -k＜0 $，因此图象经过第一、三、四象限，选项A、B中一次函数均不符合该特征，排除。
2. 当$ k＜0 $时：
反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象位于第二、四象限；
一次函数$ y=kx-k $中，斜率$ k＜0 $，与y轴的截距$ -k＞0 $，因此图象经过第一、二、四象限，选项C中一次函数斜率为正不符合，排除，选项D符合所有特征。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心考查分类讨论思想和对两类基本函数性质的掌握，解题时需结合参数的正负分别推导函数图象特征，逐一排除错误选项即可得到答案。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与反比例函数的图象共存判断题，解题采用分类讨论法：先根据参数k的正负，分别确定反比例函数的图象所在象限，再推导对应情况下一次函数的图象经过的象限，逐一和选项比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论k的取值：
1. 当$ k＞0 $时：
反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象位于第一、三象限；
一次函数$ y=kx-k $中，斜率$ k＞0 $，与y轴的截距$ -k＜0 $，因此图象经过第一、三、四象限，选项A、B中一次函数均不符合该特征，排除。
2. 当$ k＜0 $时：
反比例函数$ y=\frac{k}{x} $的图象位于第二、四象限；
一次函数$ y=kx-k $中，斜率$ k＜0 $，与y轴的截距$ -k＞0 $，因此图象经过第一、二、四象限，选项C中一次函数斜率为正不符合，排除，选项D符合所有特征。
【答案】
$\boxed{D}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，核心考查分类讨论思想和对两类基本函数性质的掌握，解题时需结合参数的正负分别推导函数图象特征，逐一排除错误选项即可得到答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图1,在菱形$ABOC$中,$∠A=60°$,它的一个顶点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.若将菱形向下平移2个单位长度,点$A$恰好落在函数图象上,则反比例函数的解析式是 ()
A.$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$
B.$y=-\frac{\sqrt{3}}{x}$
C.$y=-\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$
A.$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$
B.$y=-\frac{\sqrt{3}}{x}$
C.$y=-\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{\sqrt{3}}{x}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先结合菱形的性质分析：菱形四边相等、对角相等，已知∠A=60°，设菱形边长为a，利用三角函数先表示出第二象限内点C的坐标；再根据菱形对边平行且相等的特点，推导点A的坐标。点A向下平移2个单位后横坐标不变、纵坐标减2，平移后的点和点C都在反比例函数图象上，根据反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，列方程求出边长a，最终计算得到k值即可确定解析式。
【解析】
设菱形ABOC的边长为a，O为坐标原点。
∵ 四边形ABOC是菱形，
∴ OB=OC=a，∠BOC=∠A=60°（菱形对角相等）。
点C位于第二象限，与x轴正方向夹角为120°，由三角函数得C点坐标：
$x = a·\cos120° = -\frac{a}{2}$，$y = a·\sin120° = \frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$C(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
由菱形对边平行且相等可知：AC平行且等于OB，OB沿x轴长度为a，因此AC平行于x轴，点A纵坐标与C相同为$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，横坐标比C小a，即$x=-\frac{a}{2}-a=-\frac{3a}{2}$，得$A(-\frac{3a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
点A向下平移2个单位后的坐标为$(-\frac{3a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$。
∵ 点C和平移后的点A都在$y=\frac{k}{x}$上，横纵坐标乘积均为k，因此：
$(-\frac{a}{2})×\frac{\sqrt{3}a}{2} = (-\frac{3a}{2})×(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$
化简得：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4} = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}+3a$
移项整理得：$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=3a$，
∵ a≠0，两边除以a得$a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$。
代入计算k：$k=(-\frac{2\sqrt{3}}{2})×\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3}$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，坐标平移
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题型，需要熟练掌握菱形的基本性质和反比例函数图象上点的坐标特征，解题核心是通过几何性质准确表示出关键点的坐标，再结合函数性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合菱形的性质分析：菱形四边相等、对角相等，已知∠A=60°，设菱形边长为a，利用三角函数先表示出第二象限内点C的坐标；再根据菱形对边平行且相等的特点，推导点A的坐标。点A向下平移2个单位后横坐标不变、纵坐标减2，平移后的点和点C都在反比例函数图象上，根据反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质，列方程求出边长a，最终计算得到k值即可确定解析式。
【解析】
设菱形ABOC的边长为a，O为坐标原点。
∵ 四边形ABOC是菱形，
∴ OB=OC=a，∠BOC=∠A=60°（菱形对角相等）。
点C位于第二象限，与x轴正方向夹角为120°，由三角函数得C点坐标：
$x = a·\cos120° = -\frac{a}{2}$，$y = a·\sin120° = \frac{\sqrt{3}a}{2}$，即$C(-\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
由菱形对边平行且相等可知：AC平行且等于OB，OB沿x轴长度为a，因此AC平行于x轴，点A纵坐标与C相同为$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，横坐标比C小a，即$x=-\frac{a}{2}-a=-\frac{3a}{2}$，得$A(-\frac{3a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2})$。
点A向下平移2个单位后的坐标为$(-\frac{3a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$。
∵ 点C和平移后的点A都在$y=\frac{k}{x}$上，横纵坐标乘积均为k，因此：
$(-\frac{a}{2})×\frac{\sqrt{3}a}{2} = (-\frac{3a}{2})×(\frac{\sqrt{3}a}{2}-2)$
化简得：$-\frac{\sqrt{3}a^2}{4} = -\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}+3a$
移项整理得：$\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=3a$，
∵ a≠0，两边除以a得$a=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$。
代入计算k：$k=(-\frac{2\sqrt{3}}{2})×\frac{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3}$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3\sqrt{3}}{x}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，反比例函数的性质，坐标平移
【点评】
本题是几何与函数结合的典型题型，需要熟练掌握菱形的基本性质和反比例函数图象上点的坐标特征，解题核心是通过几何性质准确表示出关键点的坐标，再结合函数性质列方程求解。
【难度系数】
0.6
5. 如图2，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与一次函数$y=ax+b$的图象相交于点$A(2,m^2),B(m,-6)$，则不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$的解集是（）
A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
答案
A
解析
【分析】
要解不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$，本质是找反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围。解题思路分两步：①利用A、B两点都在反比例函数图象上的特征，即横纵坐标乘积等于k，列方程求出m的值，确定两个交点的具体坐标；②结合反比例函数和一次函数的图象位置，分象限讨论得出不等式的解集，注意需满足反比例函数$x≠0$的隐含限制。
【解析】
1. 求参数m的值
∵点$A(2,m^2)$、$B(m,-6)$均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，根据反比例函数$k=xy$的性质可得：
$2· m^2 = m· (-6)$
整理得$2m^2+6m=0$，因式分解为$2m(m+3)=0$，解得$m=0$或$m=-3$。
当$m=0$时，点B坐标为$(0,-6)$，不符合反比例函数自变量$x≠0$的要求，故舍去，得$m=-3$。
2. 确定交点坐标
将$m=-3$代入，得$A(2,9)$，$B(-3,-6)$，计算得$k=2×9=18＞0$，因此反比例函数图象位于第一、三象限。
3. 结合图象求不等式解集
不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$对应反比例函数图象在一次函数图象下方的x取值：
①$x＜0$（第三象限）时，交点B横坐标为-3，当$-3＜x＜0$时，反比例函数图象位于一次函数下方；
②$x＞0$（第一象限）时，交点A横坐标为2，当$x＞2$时，反比例函数图象位于一次函数下方。
综上，不等式解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、一次函数与反比例函数交点问题、图象法解函数不等式
【点评】
本题考查函数图象与不等式的结合，解题关键是先求出交点坐标，再结合函数所在象限分段讨论，解题时注意不要遗漏反比例函数$x≠0$的隐含限制。
【难度系数】
0.7
要解不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$，本质是找反比例函数图象位于一次函数图象下方时对应的x的取值范围。解题思路分两步：①利用A、B两点都在反比例函数图象上的特征，即横纵坐标乘积等于k，列方程求出m的值，确定两个交点的具体坐标；②结合反比例函数和一次函数的图象位置，分象限讨论得出不等式的解集，注意需满足反比例函数$x≠0$的隐含限制。
【解析】
1. 求参数m的值
∵点$A(2,m^2)$、$B(m,-6)$均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，根据反比例函数$k=xy$的性质可得：
$2· m^2 = m· (-6)$
整理得$2m^2+6m=0$，因式分解为$2m(m+3)=0$，解得$m=0$或$m=-3$。
当$m=0$时，点B坐标为$(0,-6)$，不符合反比例函数自变量$x≠0$的要求，故舍去，得$m=-3$。
2. 确定交点坐标
将$m=-3$代入，得$A(2,9)$，$B(-3,-6)$，计算得$k=2×9=18＞0$，因此反比例函数图象位于第一、三象限。
3. 结合图象求不等式解集
不等式$\frac{k}{x}＜ax+b$对应反比例函数图象在一次函数图象下方的x取值：
①$x＜0$（第三象限）时，交点B横坐标为-3，当$-3＜x＜0$时，反比例函数图象位于一次函数下方；
②$x＞0$（第一象限）时，交点A横坐标为2，当$x＞2$时，反比例函数图象位于一次函数下方。
综上，不等式解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质、一次函数与反比例函数交点问题、图象法解函数不等式
【点评】
本题考查函数图象与不等式的结合，解题关键是先求出交点坐标，再结合函数所在象限分段讨论，解题时注意不要遗漏反比例函数$x≠0$的隐含限制。
【难度系数】
0.7
6.(2025·盐城)博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(单位:h)随平均速度v(单位:km/h)的变化而变化,则t与v的函数关系式是 ()
A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
A.$t=8v$
B.$t=\frac{1}{8}v$
C.$t=\frac{8}{v}$
D.$t=8v^2$
答案
C
解析
【分析】
这是一道结合行程场景推导函数关系式的基础题，解题核心是牢记行程问题的基本等量关系。首先明确已知条件：路程固定为8km，变量为平均速度v和所需时间t，我们只需根据路程、速度、时间三者的等量关系变形，推导出用v表示t的表达式，再匹配选项即可。
【解析】
行程问题的基本公式为：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，用字母表示为$s=vt$。
已知路程$s=8\mathrm{km}$，将$s=8$代入公式得：$8=vt$。
结合实际意义，速度v＞0，将等式两边同时除以v，变形可得$t=\frac{8}{v}$，与选项C对应。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查函数关系式的推导，难度较低，只要熟练掌握常见的数量关系，就能快速推导出正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道结合行程场景推导函数关系式的基础题，解题核心是牢记行程问题的基本等量关系。首先明确已知条件：路程固定为8km，变量为平均速度v和所需时间t，我们只需根据路程、速度、时间三者的等量关系变形，推导出用v表示t的表达式，再匹配选项即可。
【解析】
行程问题的基本公式为：$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，用字母表示为$s=vt$。
已知路程$s=8\mathrm{km}$，将$s=8$代入公式得：$8=vt$。
结合实际意义，速度v＞0，将等式两边同时除以v，变形可得$t=\frac{8}{v}$，与选项C对应。
【答案】
C
【知识点】
行程问题数量关系；列函数关系式
【点评】
本题结合生活实际考查函数关系式的推导，难度较低，只要熟练掌握常见的数量关系，就能快速推导出正确结果。
【难度系数】
0.9
