1. 下列全等的两个三角形是().


A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

1. A

【分析】
解题需依据三角形全等的SAS判定定理（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），核心是确认40°角是否为已知的2cm、3cm两条边的夹角：首先逐个判断每个三角形中40°角和两条已知边的位置关系，再找到满足“两边对应相等、夹角相等”的两个三角形即可。
【解析】
根据三角形全等的SAS判定规则：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
图①：40°角是长度为2cm、3cm两条边的夹角；
图②：40°角是长度为3cm、2cm两条边的夹角，与①相比，两条边对应相等，夹角也相等，符合SAS判定条件，二者全等；
图③：40°角的邻边仅2cm，3cm是该角的对边，不满足夹角要求，无法与其他三角形用SAS判定全等；
图④：40°角的邻边仅3cm，2cm是该角的对边，不满足夹角要求，无法与其他三角形用SAS判定全等。
因此全等的两个三角形是①②。
【答案】
A
【知识点】
1. SAS判定三角形全等 2. 三角形边角位置关系
【点评】
本题侧重考查对SAS判定定理的理解，解题关键是准确识别“夹角”，即角必须是两条对应相等的边的公共角，避免混淆边角位置导致错判，属于全等判定的基础常规题。
【难度系数】
0.7

2. 如图，$AB=DB$，$BC=BE$，欲证$△ ABE ≌ △ DBC$，可增加的条件是().

A.$∠ ABE=∠ DBE$
B.$∠ 1=∠ DBE$
C.$∠ E=∠ C$
D.$∠ 1=∠ 2$

2. D

【分析】
首先已知△ABE和△DBC已有两组对应边相等：AB=DB、BC=BE，若用SAS判定两三角形全等，需要满足两组对应边的夹角相等，即∠ABE=∠DBC。观察角的组成：∠ABE=∠1+∠DBE，∠DBC=∠2+∠DBE，因此只需∠1=∠2，即可通过角的和差得到所需的夹角相等，满足SAS的判定条件。其余选项要么无法推出夹角相等，要么是SSA（不能判定全等），均可排除。
【解析】
已知AB=DB，BC=BE，要证明△ABE≌△DBC，根据SAS全等判定定理，需证明两组对应边的夹角相等，即∠ABE=∠DBC。
观察角的和差关系可得：
∠ABE = ∠1 + ∠DBE，∠DBC = ∠2 + ∠DBE
若添加条件∠1=∠2，根据等式的性质，可得：
∠1 + ∠DBE = ∠2 + ∠DBE，即∠ABE=∠DBC
此时在△ABE和△DBC中：
$\begin{cases}AB=DB \quad (\mathrm{已知}) \\∠ABE=∠DBC \quad (\mathrm{已证}) \\BE=BC \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△ABE≌△DBC（SAS）
对其余选项分析：
A. 若添加∠ABE=∠DBE，无法推出∠ABE=∠DBC，不能判定全等；
B. 若添加∠1=∠DBE，无法推出∠ABE=∠DBC，不能判定全等；
C. 若添加∠E=∠C，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于全等判定定理，不能判定全等。
综上，选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 角的和差运算
【点评】
本题重点考查全等三角形的SAS判定方法，解题时要注意只有两组对应边及其夹角对应相等时才能用SAS判定全等，SSA不能作为三角形全等的判定依据，准确找到对应边的夹角是解题的关键。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$BC=DC$，$∠ 1=∠ 2$，求证$△ ABC ≌ △ ADC$。

证明 $\because ∠1=∠2,\therefore ∠ACB=∠ACD,$在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACB=∠ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}).$

【分析】
要证明△ABC≌△ADC，先梳理已知条件：题目已给出BC=DC，且两个三角形共享公共边AC，因此只需证明这两组对应边的夹角相等即可。已知∠1=∠2，而∠ACB是∠1的邻补角，∠ACD是∠2的邻补角，根据等角的补角相等，即可推出∠ACB=∠ACD，满足SAS的全等判定条件，就能完成证明。
【解析】
证明：$\because ∠1=∠2$，
$\therefore ∠ACB=180°-∠1$，$∠ACD=180°-∠2$，即$∠ACB=∠ACD$。
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AC=AC (\mathrm{公共边}), \\∠ACB=∠ACD (\mathrm{已证}), \\BC=DC (\mathrm{已知}),\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS})$。
【答案】
证明 $\because ∠1=∠2,\therefore ∠ACB=∠ACD,$在$△ ABC$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACB=∠ACD, \\ BC=DC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC(\mathrm{SAS}).$
【知识点】
SAS全等判定定理，邻补角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，核心考查SAS判定规则的应用，解题的关键是由已知等角推导得到两组对应边的夹角相等，要注意使用SAS判定时，对应的角必须是两条边的夹角，避免出现边边角的错误判定逻辑。
【难度系数】
0.85

4.如图，AC//EG，BC//EF，延长GE分别交BC，BA于点P，D，且AC=GE，BC=FE.求证∠A=∠G.

证明 $\because AC// EG,$
$\therefore ∠C=∠CPG.$
$\because BC// EF,$
$\therefore ∠CPG=∠FEG,$
$\therefore ∠C=∠FEG.$
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中,$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠BCA=∠FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠A=∠G.$

【分析】
要证明∠A=∠G，观察发现两角分别在△ABC和△GFE中，可通过证明两个三角形全等得到对应角相等。已知两组对应边AC=GE、BC=FE，根据SAS全等判定定理，只需证明两组边的夹角∠C和∠FEG相等即可。结合题目给出的两组平行条件，利用平行线的性质推导角的等量关系，即可得到夹角相等，进而证明三角形全等，得到最终结论。
【解析】
证明：
$\because AC// EG,$
$\therefore ∠C=∠CPG$（两直线平行，内错角相等）。
$\because BC// EF,$
$\therefore ∠CPG=∠FEG$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore ∠C=∠FEG$（等量代换）。
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中,
$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠BCA=∠FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠A=∠G$（全等三角形对应角相等）。
【答案】
证明 $\because AC// EG,$
$\therefore ∠C=∠CPG.$
$\because BC// EF,$
$\therefore ∠CPG=∠FEG,$
$\therefore ∠C=∠FEG.$
在$△ ABC$ 和$△ GFE$ 中,$\begin{cases} AC=GE, \\ ∠BCA=∠FEG, \\ BC=FE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ GFE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠A=∠G.$
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等证明的基础题型，解题关键是利用平行线的性质推导得到全等判定所需的等角条件，再结合已知等边用SAS判定三角形全等，解题时要注意找准全等三角形的对应边和对应角。
【难度系数】
0.8

5.如图,在$△ ABC$中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取$BD=AC$,在CF的延长线上截取$CG=AB$,连接AD,AG.
(1)求证$∠ CGA=∠ BAD$;
(2)连接GD,判断$△ AGD$的形状,并说明理由.

5. (1)证明 由题意知,$∠CEH=∠BFH=90°,$
$\because ∠CHE=∠BHF,$
$\therefore ∠ECH=∠FBH,$
即$∠ACG=∠ABD.$
在$△ ACG$ 和$△ DBA$ 中,$\begin{cases} AC=DB, \\ ∠ACG=∠DBA, \\ CG=BA, \end{cases}$
$\therefore △ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS}),$
$\therefore ∠CGA=∠BAD.$
(2)解 $△ AGD$ 是等腰直角三角形.
理由:
由(1)得,$△ ACG≌△ DBA,$
$\therefore AG=AD,∠AGC=∠DAB.$
$\because CF$ 是$△ ABC$ 的高,
$\therefore ∠AFG=90°,$
$\therefore ∠AGC+∠GAF=90°,$
$\therefore ∠DAB+∠GAF=90°,$
即$∠GAD=90°,$
$\therefore △ AGD$ 是等腰直角三角形.

【分析】
(1) 要证明∠CGA=∠BAD，可通过证明两角所在的△ACG和△DBA全等来推导。已知两边对应相等：BD=AC、CG=AB，只需再证夹角相等即可：结合BE、CF是三角形的高，利用等角的余角相等可推出∠ACG=∠ABD，即可用SAS判定两三角形全等，再由全等对应角相等得证结论。
(2) 判断△AGD的形状，先由(1)的全等结论可得AG=AD，确定三角形为等腰三角形；再结合CF是AB边上的高，可得∠AGC+∠GAF=90°，通过全等对应角相等代换可证得∠GAD=90°，即可判断三角形为等腰直角三角形。
【解析】
(1) 证明：由题意得BE⊥AC，CF⊥AB，因此∠CEH=∠BFH=90°，
∵∠CHE=∠BHF（对顶角相等），
∴∠ECH=∠FBH（等角的余角相等），即$\boldsymbol{∠ACG=∠ABD}$。
在$△ ACG$和$△ DBA$中：
$\begin{cases} AC=DB \quad (\mathrm{已知}) \\ ∠ACG=∠DBA \quad (\mathrm{已证}) \\ CG=BA \quad (\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴$△ ACG≌△ DBA(\mathrm{SAS})$，
∴∠CGA=∠BAD（全等三角形对应角相等）。
(2) $△ AGD$是等腰直角三角形，理由如下：
由(1)得$△ ACG≌△ DBA$，
∴$AG=AD$（全等三角形对应边相等），$∠AGC=∠DAB$（全等三角形对应角相等）。
∵CF是AB边上的高，即CF⊥AB，
∴$∠AFG=90°$，
∴在$\mathrm{Rt}△ AGF$中，$∠AGC+∠GAF=90°$，
将∠AGC替换为∠DAB，得$∠DAB+∠GAF=90°$，即$\boldsymbol{∠GAD=90°}$，
∴$△ AGD$是等腰直角三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CGA=∠BAD}$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{△ AGD}$是等腰直角三角形。
【知识点】
SAS判定三角形全等、全等三角形的性质、等腰直角三角形判定
【点评】
本题是三角形全等的经典综合题型，解题关键是利用高的性质推导全等所需的等角条件，再结合全等的性质推导边、角的数量关系，能够有效考查学生的逻辑推理能力和对全等相关知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7