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二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞,主要负责运输氧和二氧化碳,人的红细胞的直径约为0.000 007 m.数据0.000 007用科学记数法表示为
9. 红细胞是血液中数量最多的一种血细胞,主要负责运输氧和二氧化碳,人的红细胞的直径约为0.000 007 m.数据0.000 007用科学记数法表示为
$7×10^{-6}$
.答案
9. $7×10^{-6}$
解析
【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法的表示规则：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数；接下来确定$a$的值：将原数的小数点向右移动，直到得到的数介于1到10之间，这个数就是$a$；最后确定$n$的值：$n$的大小等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），代入形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a × 10^{-n}$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）。
第一步，确定$a$的值：将0.000007的小数点向右移动6位，得到数字7，满足$1 ≤ 7 ＜ 10$，因此$a=7$。
第二步，确定$n$的值：原数0.000007中，第一个非零数字7前面共有6个0（包含小数点前的0），因此$n=6$。
综上，0.000007用科学记数法表示为$7 × 10^{-6}$。
【答案】
$7× 10^{-6}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法表示较小数的方法，解题的核心是正确确定$a$的取值和指数$n$的大小，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的正数，解题思路如下：首先回忆科学记数法的表示规则：绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为$a × 10^{-n}$，其中要求$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数；接下来确定$a$的值：将原数的小数点向右移动，直到得到的数介于1到10之间，这个数就是$a$；最后确定$n$的值：$n$的大小等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0），代入形式即可得到结果。
【解析】
科学记数法表示小于1的正数的形式为$a × 10^{-n}$（$1 ≤ a ＜ 10$，$n$为正整数）。
第一步，确定$a$的值：将0.000007的小数点向右移动6位，得到数字7，满足$1 ≤ 7 ＜ 10$，因此$a=7$。
第二步，确定$n$的值：原数0.000007中，第一个非零数字7前面共有6个0（包含小数点前的0），因此$n=6$。
综上，0.000007用科学记数法表示为$7 × 10^{-6}$。
【答案】
$7× 10^{-6}$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，主要考查科学记数法表示较小数的方法，解题的核心是正确确定$a$的取值和指数$n$的大小，熟练掌握规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10. 当$x=$
1
时，$\frac{|x|-1}{x^2+2x+1}$的值为零。答案
10. 1
解析
【分析】
要使分式的值为0，需同时满足两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，最终就能得到正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{|x|-1}{x^2+2x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子取值为0：
$\begin{aligned}|x|-1&=0\\|x|&=1\end{aligned}$
解得$x=1$或$x=-1$。
2. 分母取值不为0：
先对分母因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\begin{aligned}(x+1)^2&≠0\\x+1&≠0\\x&≠-1\end{aligned}$
综合两个条件，舍去不符合要求的$x=-1$，最终得$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，核心考查分式值为0的双重限制要求，易错点是解题时容易忽略分母不能为0的前提，直接取分子为0的所有解，养成求出解后验证分母是否有意义的习惯即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
要使分式的值为0，需同时满足两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0（保证分式有意义），两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列方程求出x的所有可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x，最终就能得到正确结果。
【解析】
解：若分式$\frac{|x|-1}{x^2+2x+1}$的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子取值为0：
$\begin{aligned}|x|-1&=0\\|x|&=1\end{aligned}$
解得$x=1$或$x=-1$。
2. 分母取值不为0：
先对分母因式分解得$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此：
$\begin{aligned}(x+1)^2&≠0\\x+1&≠0\\x&≠-1\end{aligned}$
综合两个条件，舍去不符合要求的$x=-1$，最终得$x=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题型，核心考查分式值为0的双重限制要求，易错点是解题时容易忽略分母不能为0的前提，直接取分子为0的所有解，养成求出解后验证分母是否有意义的习惯即可避免这类错误。
【难度系数】
0.7
11. 要使$(x^2 - ax + 6)(2x^2 - x + b)$展开式中不含$x^2$项和$x^3$项，则$a - b =$
11
.答案
11. 11
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确：多项式相乘后不含某一项，意味着这一项的系数为0。我们不需要完全展开整个多项式，只需要找出所有相乘后能得到$x^3$项、$x^2$项的组合，分别计算它们的系数和，令两个系数和都等于0，就能得到关于$a$、$b$的方程，解出$a$、$b$后代入计算$a-b$即可。
【解析】
1. 计算$x^3$项的总系数
两个多项式相乘，能得到$x^3$项的组合有2种：
① 第一个多项式的$x^2$项 × 第二个多项式的$-x$项，系数为$1×(-1)=-1$
② 第一个多项式的$-ax$项 × 第二个多项式的$2x^2$项，系数为$(-a)×2=-2a$
因此$x^3$项的总系数为$-1-2a$。
因为展开式不含$x^3$项，所以系数为0：
$-1-2a=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 计算$x^2$项的总系数
能得到$x^2$项的组合有3种：
① 第一个多项式的$x^2$项 × 第二个多项式的$b$项，系数为$1× b=b$
② 第一个多项式的$-ax$项 × 第二个多项式的$-x$项，系数为$(-a)×(-1)=a$
③ 第一个多项式的常数项6 × 第二个多项式的$2x^2$项，系数为$6×2=12$
因此$x^2$项的总系数为$a+b+12$。
因为展开式不含$x^2$项，所以系数为0，代入$a=-\frac{1}{2}$：
$-\frac{1}{2}+b+12=0$，解得$b=-\frac{23}{2}$。
3. 计算$a-b$
$a-b=(-\frac{1}{2})-(-\frac{23}{2})=\frac{22}{2}=11$。
【答案】
11
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；代数式系数
【点评】
本题核心是理解“不含某项即该项系数为0”的规则，解题时可不用完全展开多项式，直接定位对应次数的项计算系数，能简化计算过程，运算时要注意符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确：多项式相乘后不含某一项，意味着这一项的系数为0。我们不需要完全展开整个多项式，只需要找出所有相乘后能得到$x^3$项、$x^2$项的组合，分别计算它们的系数和，令两个系数和都等于0，就能得到关于$a$、$b$的方程，解出$a$、$b$后代入计算$a-b$即可。
【解析】
1. 计算$x^3$项的总系数
两个多项式相乘，能得到$x^3$项的组合有2种：
① 第一个多项式的$x^2$项 × 第二个多项式的$-x$项，系数为$1×(-1)=-1$
② 第一个多项式的$-ax$项 × 第二个多项式的$2x^2$项，系数为$(-a)×2=-2a$
因此$x^3$项的总系数为$-1-2a$。
因为展开式不含$x^3$项，所以系数为0：
$-1-2a=0$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 计算$x^2$项的总系数
能得到$x^2$项的组合有3种：
① 第一个多项式的$x^2$项 × 第二个多项式的$b$项，系数为$1× b=b$
② 第一个多项式的$-ax$项 × 第二个多项式的$-x$项，系数为$(-a)×(-1)=a$
③ 第一个多项式的常数项6 × 第二个多项式的$2x^2$项，系数为$6×2=12$
因此$x^2$项的总系数为$a+b+12$。
因为展开式不含$x^2$项，所以系数为0，代入$a=-\frac{1}{2}$：
$-\frac{1}{2}+b+12=0$，解得$b=-\frac{23}{2}$。
3. 计算$a-b$
$a-b=(-\frac{1}{2})-(-\frac{23}{2})=\frac{22}{2}=11$。
【答案】
11
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；代数式系数
【点评】
本题核心是理解“不含某项即该项系数为0”的规则，解题时可不用完全展开多项式，直接定位对应次数的项计算系数，能简化计算过程，运算时要注意符号规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
12. 如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的对称点是点G，关于ON的对称点是点H，GH分别交OM，ON于A，B两点，若∠MON=35°，则∠APB=
$110°$
。答案
12. $110°$
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则该直线是两点连线的垂直平分线，据此可得OM⊥PG、ON⊥PH，即∠OAP和∠OBP均为直角；再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠MON的度数，即可求出∠APB的度数。
【解析】
解：
∵点P关于OM的对称点是G，关于ON的对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠MON + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°，
将∠MON=35°代入上式：
35° + 90° + 90° + ∠APB = 360°，
解得∠APB=360° - 35° - 90° - 90° = 110°。
【答案】
$110°$
【知识点】
轴对称的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用轴对称的性质得到两个直角，再结合四边形内角和公式即可求解，解题时注意不要混淆轴对称的相关性质。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆轴对称的性质：若两点关于某条直线对称，则该直线是两点连线的垂直平分线，据此可得OM⊥PG、ON⊥PH，即∠OAP和∠OBP均为直角；再结合四边形内角和为360°，代入已知的∠MON的度数，即可求出∠APB的度数。
【解析】
解：
∵点P关于OM的对称点是G，关于ON的对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∵四边形OAPB的内角和为360°，
∴∠MON + ∠OAP + ∠OBP + ∠APB = 360°，
将∠MON=35°代入上式：
35° + 90° + 90° + ∠APB = 360°，
解得∠APB=360° - 35° - 90° - 90° = 110°。
【答案】
$110°$
【知识点】
轴对称的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用轴对称的性质得到两个直角，再结合四边形内角和公式即可求解，解题时注意不要混淆轴对称的相关性质。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分7分)(1)因式分解:$2a^3 -12a^2 +18a$；
(2)解分式方程:$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$.
H
13.(本小题满分7分)(1)因式分解:$2a^3 -12a^2 +18a$；
(2)解分式方程:$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$.
H
答案
13. 解 (1)$2a^3 -12a^2 +18a = 2a(a^2 -6a +9) = 2a(a-3)^2$.
(2)$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$,
方程两边乘$x(x-4)$,得$(x-4)^2 -4x = x(x-4)$.
解得$x=2$.
检验:当$x=2$时,$x(x-4)≠0$,
所以,原分式方程的解是$x=2$.
(2)$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$,
方程两边乘$x(x-4)$,得$(x-4)^2 -4x = x(x-4)$.
解得$x=2$.
检验:当$x=2$时,$x(x-4)≠0$,
所以,原分式方程的解是$x=2$.
解析
【分析】
(1) 因式分解按照“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项都含公因式2a，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$a^2-6a+9$是完全平方式，可套用完全平方公式继续分解；最后检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
(2) 解分式方程遵循转化思想，将分式方程转化为整式方程求解：第一步先找最简公分母，本题两个分母为x和$x-4$，最简公分母是$x(x-4)$；第二步方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；第三步解整式方程；第四步必须检验，验证所求的解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 因式分解$2a^3 -12a^2 +18a$：
先提取公因式$2a$：
$2a^3 -12a^2 +18a = 2a(a^2 -6a +9)$
再对$a^2 -6a +9$套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a$，$n=3$）：
$2a(a^2 -6a +9) = 2a(a-3)^2$
(2) 解分式方程$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$：
去分母，方程两边同时乘最简公分母$x(x-4)$得：
$(x-4)^2 -4x = x(x-4)$
展开并整理整式方程：
左边展开得$x^2 -8x +16 -4x = x^2 -12x +16$，右边展开得$x^2 -4x$
移项合并同类项得：$-8x +16 = 0$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x-4)=2×(2-4)=-4≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $2a(a-3)^2$；(2) $x=2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，分式方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，考查代数核心运算能力，因式分解需按步骤操作保证分解彻底，分式方程求解要注意验根是必要步骤，熟练掌握基础运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
(1) 因式分解按照“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题各项都含公因式2a，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩下的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$a^2-6a+9$是完全平方式，可套用完全平方公式继续分解；最后检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解。
(2) 解分式方程遵循转化思想，将分式方程转化为整式方程求解：第一步先找最简公分母，本题两个分母为x和$x-4$，最简公分母是$x(x-4)$；第二步方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；第三步解整式方程；第四步必须检验，验证所求的解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 因式分解$2a^3 -12a^2 +18a$：
先提取公因式$2a$：
$2a^3 -12a^2 +18a = 2a(a^2 -6a +9)$
再对$a^2 -6a +9$套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$（其中$m=a$，$n=3$）：
$2a(a^2 -6a +9) = 2a(a-3)^2$
(2) 解分式方程$\frac{x-4}{x} - \frac{4}{x-4}=1$：
去分母，方程两边同时乘最简公分母$x(x-4)$得：
$(x-4)^2 -4x = x(x-4)$
展开并整理整式方程：
左边展开得$x^2 -8x +16 -4x = x^2 -12x +16$，右边展开得$x^2 -4x$
移项合并同类项得：$-8x +16 = 0$
解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，$x(x-4)=2×(2-4)=-4≠0$，所以$x=2$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $2a(a-3)^2$；(2) $x=2$
【知识点】
提公因式法因式分解，公式法因式分解，分式方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，考查代数核心运算能力，因式分解需按步骤操作保证分解彻底，分式方程求解要注意验根是必要步骤，熟练掌握基础运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.85
14. (本小题满分10分)先化简,再求值:
(1)$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(-\frac{1}{2}b)$,其中$a,b$满足$|a-1|+(b+2)^2=0$.
(2)$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})$,其中$x=(-\frac{1}{3})^{-2}$.
(1)$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(-\frac{1}{2}b)$,其中$a,b$满足$|a-1|+(b+2)^2=0$.
(2)$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})$,其中$x=(-\frac{1}{3})^{-2}$.
答案
14. 解 (1)$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(-\frac{1}{2}b)=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)·(-\frac{2}{b})=(4ab+2b^2)·(-\frac{2}{b})=-8a-4b$.
因为$|a-1|+(b+2)^2=0$,所以$a-1=0,b+2=0$,
即$a=1,b=-2$,
所以原式$=-8×1-4×(-2)=-8+8=0$.
(2)$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}·\frac{x}{x-1}=\frac{x-1}{x+1}·\frac{x}{x-1}=\frac{x}{x+1}$.
因为$x=(-\frac{1}{3})^{-2}=9$,所以原式$=\frac{9}{9+1}=\frac{9}{10}$.
因为$|a-1|+(b+2)^2=0$,所以$a-1=0,b+2=0$,
即$a=1,b=-2$,
所以原式$=-8×1-4×(-2)=-8+8=0$.
(2)$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}·\frac{x}{x-1}=\frac{x-1}{x+1}·\frac{x}{x-1}=\frac{x}{x+1}$.
因为$x=(-\frac{1}{3})^{-2}=9$,所以原式$=\frac{9}{9+1}=\frac{9}{10}$.
解析
【分析】
本题包含整式化简求值、分式化简求值两小问，解题思路如下：
(1) 先计算中括号内的运算：用完全平方公式展开$(2a+b)^2$，用平方差公式计算$(2a+b)(2a-b)$，合并同类项后将除法转化为乘法运算，得到最简整式；再根据绝对值和平方的非负性，若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，求出$a$、$b$的取值后代入最简式计算即可。
(2) 先对分式的分子、分母因式分解，再计算括号内的分式减法，将除法转化为乘法运算，约分化为最简分式；再根据负整数指数幂的运算法则求出$x$的值，代入最简分式计算即可，注意分式运算要保证各分母不为0。
【解析】
(1) 化简整式：
$\begin{aligned}[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(-\frac{1}{2}b)&=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)·(-\frac{2}{b})\\&=(4ab+2b^2)·(-\frac{2}{b})\\&=-8a-4b\end{aligned}$
由$|a-1|+(b+2)^2=0$，得$a-1=0$，$b+2=0$，即$a=1$，$b=-2$。
代入得：原式$=-8×1-4×(-2)=-8+8=0$。
(2) 化简分式：
$\begin{aligned}\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}·\frac{x}{x-1}\\&=\frac{x}{x+1}\end{aligned}$
先计算$x$的取值：$x=(-\frac{1}{3})^{-2}=9$，代入得：原式$=\frac{9}{9+1}=\frac{9}{10}$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{10}}$
【知识点】
整式混合运算，非负数的性质，分式化简求值
【点评】
本题侧重考查代数运算能力，需要熟练掌握乘法公式、因式分解、负整数指数幂等基础知识点，运算时要注意遵循运算顺序，先化简再代入求值可有效减少计算量，分式运算要注意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
本题包含整式化简求值、分式化简求值两小问，解题思路如下：
(1) 先计算中括号内的运算：用完全平方公式展开$(2a+b)^2$，用平方差公式计算$(2a+b)(2a-b)$，合并同类项后将除法转化为乘法运算，得到最简整式；再根据绝对值和平方的非负性，若两个非负数的和为0，则每个非负数均为0，求出$a$、$b$的取值后代入最简式计算即可。
(2) 先对分式的分子、分母因式分解，再计算括号内的分式减法，将除法转化为乘法运算，约分化为最简分式；再根据负整数指数幂的运算法则求出$x$的值，代入最简分式计算即可，注意分式运算要保证各分母不为0。
【解析】
(1) 化简整式：
$\begin{aligned}[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(-\frac{1}{2}b)&=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)·(-\frac{2}{b})\\&=(4ab+2b^2)·(-\frac{2}{b})\\&=-8a-4b\end{aligned}$
由$|a-1|+(b+2)^2=0$，得$a-1=0$，$b+2=0$，即$a=1$，$b=-2$。
代入得：原式$=-8×1-4×(-2)=-8+8=0$。
(2) 化简分式：
$\begin{aligned}\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}÷(1-\frac{1}{x})&=\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}·\frac{x}{x-1}\\&=\frac{x}{x+1}\end{aligned}$
先计算$x$的取值：$x=(-\frac{1}{3})^{-2}=9$，代入得：原式$=\frac{9}{9+1}=\frac{9}{10}$。
【答案】
(1) $\boxed{0}$；(2) $\boxed{\dfrac{9}{10}}$
【知识点】
整式混合运算，非负数的性质，分式化简求值
【点评】
本题侧重考查代数运算能力，需要熟练掌握乘法公式、因式分解、负整数指数幂等基础知识点，运算时要注意遵循运算顺序，先化简再代入求值可有效减少计算量，分式运算要注意分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
