登录
3. 如图26.4-11，隧道的截面由抛物线和矩形OABC构成. 按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用$y=-\frac{1}{6}x^2 + 2x + 4$表示. 在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为8 m，那么两排灯的水平距离是().
A.2 m
B.4 m
C.$4\sqrt{2}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
图26.4-11
A.2 m
B.4 m
C.$4\sqrt{2}$ m
D.$4\sqrt{3}$ m
图26.4-11
答案
解析
【分析】
要求灯离地面高度为8m时两排灯的水平距离，首先明确抛物线解析式中y表示离地面的高度，因此只需将y=8代入抛物线解析式，解出对应的两个x的值，两个x值的差就是两排灯的水平距离。
【解析】
根据题意，灯离地面高度为8m，即y=8，将y=8代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{6}x^2 + 2x + 4$，得：
$8=-\frac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
移项、两边同乘$-6$整理得：
$x^2 -12x +24=0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-12$，$c=24$，代入得：
$x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4×1×24}}{2×1}=\frac{12\pm4\sqrt{3}}{2}=6\pm2\sqrt{3}$
两排灯的水平距离为两个横坐标的差：
$(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际的高度条件转化为函数的函数值条件，通过解方程得到对应横坐标，进而求出水平距离，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要求灯离地面高度为8m时两排灯的水平距离，首先明确抛物线解析式中y表示离地面的高度，因此只需将y=8代入抛物线解析式，解出对应的两个x的值，两个x值的差就是两排灯的水平距离。
【解析】
根据题意，灯离地面高度为8m，即y=8，将y=8代入抛物线解析式$y=-\frac{1}{6}x^2 + 2x + 4$，得：
$8=-\frac{1}{6}x^2 + 2x + 4$
移项、两边同乘$-6$整理得：
$x^2 -12x +24=0$
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$a=1$，$b=-12$，$c=24$，代入得：
$x=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2-4×1×24}}{2×1}=\frac{12\pm4\sqrt{3}}{2}=6\pm2\sqrt{3}$
两排灯的水平距离为两个横坐标的差：
$(6+2\sqrt{3})-(6-2\sqrt{3})=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用；解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题核心是将实际的高度条件转化为函数的函数值条件，通过解方程得到对应横坐标，进而求出水平距离，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 有一辆载有长方体形状集装箱的货车想通过横截面为抛物线的隧道，如图26.4-12所示.已知隧道的底部宽AB为4 m，高OC为3.2 m，集装箱的宽与货车的宽都是2.4 m，集装箱顶部离地面2.1 m，这辆货车通过这个隧道.（填“能”或“不能”）
答案
解析
【分析】
要判断货车能否通过隧道，需先求出货车边缘对应位置的隧道高度，再和集装箱顶部高度对比。我们可以通过建立平面直角坐标系，先求出隧道横截面抛物线的解析式，再将货车边缘对应的横坐标代入解析式，算出该位置隧道的竖直高度，与2.1m比较即可得出结论。
【解析】
以点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-2, 0)，B(2, 0)，C(0, 3.2)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，
将C(0,3.2)代入得：$c=3.2$；
将B(2,0)代入得：$0 = a×2^2 + 3.2$，解得$a=-0.8$。
因此抛物线解析式为$y=-0.8x^2 + 3.2$。
货车宽度为2.4m，因此货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1.2$，
将$x=1.2$代入解析式得：
$y=-0.8×(1.2)^2 + 3.2 = -0.8×1.44 + 3.2 = 2.048$
因为$2.048m ＜ 2.1m$，即该位置隧道高度小于集装箱顶部高度，所以货车不能通过隧道。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数解析式求解
【点评】
本题是二次函数建模的典型应用题，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，通过代数计算得到对应位置的高度后比较大小即可判断，解题时要注意坐标与实际长度的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
要判断货车能否通过隧道，需先求出货车边缘对应位置的隧道高度，再和集装箱顶部高度对比。我们可以通过建立平面直角坐标系，先求出隧道横截面抛物线的解析式，再将货车边缘对应的横坐标代入解析式，算出该位置隧道的竖直高度，与2.1m比较即可得出结论。
【解析】
以点O为原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意得：A(-2, 0)，B(2, 0)，C(0, 3.2)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2+c$，
将C(0,3.2)代入得：$c=3.2$；
将B(2,0)代入得：$0 = a×2^2 + 3.2$，解得$a=-0.8$。
因此抛物线解析式为$y=-0.8x^2 + 3.2$。
货车宽度为2.4m，因此货车边缘对应的横坐标为$x=\pm1.2$，
将$x=1.2$代入解析式得：
$y=-0.8×(1.2)^2 + 3.2 = -0.8×1.44 + 3.2 = 2.048$
因为$2.048m ＜ 2.1m$，即该位置隧道高度小于集装箱顶部高度，所以货车不能通过隧道。
【答案】
不能
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数解析式求解
【点评】
本题是二次函数建模的典型应用题，解题核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题，通过代数计算得到对应位置的高度后比较大小即可判断，解题时要注意坐标与实际长度的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
5. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度CD为20 m，拱顶距离水面4 m.
(1)直接在图26.4-13中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式.
(2)由于暴雨，导致该河水位上升3 m达到警戒线. 一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4 m，高为0.8 m. 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由.
(1)直接在图26.4-13中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式.
(2)由于暴雨，导致该河水位上升3 m达到警戒线. 一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4 m，高为0.8 m. 暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由.
答案
5. (1) 建立如
所示的平面直角坐标系.设所求抛物线的函数解析式为y=ax²(a≠0)，由题意得D(10,-4).把D的坐标代入y=ax²，得100a=-4，解得a=-1/25，∴抛物线的函数解析式为y=-1/25 x²
(2) 能通过.理由如下:由题意得当x=2时，y=-4/25=-0.16.
∵4-3-0.8=0.2＞0.16,
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式首先要合理建立坐标系，选拱顶为原点建立坐标系时，抛物线顶点在原点，开口向下，解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$；再根据水面宽度20m、拱顶距水面4m确定抛物线上点D的坐标，代入解析式即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断船能否通过，只需根据船的宽度找到对应横坐标，代入解析式求出该位置拱的高度，再结合水位上升后的高度条件，比较可通行高度和船的高度即可得出结论。
【解析】
(1) 建立如所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
由题意得点D的坐标为$(10,-4)$，将其代入$y=ax^2$，得：
$100a=-4$
解得$a=-\frac{1}{25}$。
(2) 判断能否通过：
船露出水面部分宽为4m，取横坐标$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{25}×2^2=-\frac{4}{25}=-0.16$
水位上升3m后，可通行的剩余高度为$4-3-0.8=0.2(m)$，显然$0.2＞0.16$，因此船可以通过。
【答案】
(1) 建立如所示的平面直角坐标系.设所求抛物线的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$，由题意得$D(10,-4)$.把D的坐标代入$y=ax^2$，得$100a=-4$，解得$a=-\frac{1}{25}$，
∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$
(2) 能通过.理由如下:由题意得当$x=2$时，$y=-\frac{4}{25}=-0.16$.
∵$4-3-0.8=0.2＞0.16$,
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，坐标法建模
【点评】
本题是二次函数在生活中应用的基础题型，解题关键是通过合理建系简化计算，将实际问题转化为二次函数的数值计算问题，能有效锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式首先要合理建立坐标系，选拱顶为原点建立坐标系时，抛物线顶点在原点，开口向下，解析式可设为最简形式$y=ax^2(a≠0)$；再根据水面宽度20m、拱顶距水面4m确定抛物线上点D的坐标，代入解析式即可求出参数$a$，得到解析式。
(2) 判断船能否通过，只需根据船的宽度找到对应横坐标，代入解析式求出该位置拱的高度，再结合水位上升后的高度条件，比较可通行高度和船的高度即可得出结论。
【解析】
(1) 建立如
所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。由题意得点D的坐标为$(10,-4)$，将其代入$y=ax^2$，得：
$100a=-4$
解得$a=-\frac{1}{25}$。
(2) 判断能否通过：
船露出水面部分宽为4m，取横坐标$x=2$代入抛物线解析式，得：
$y=-\frac{1}{25}×2^2=-\frac{4}{25}=-0.16$
水位上升3m后，可通行的剩余高度为$4-3-0.8=0.2(m)$，显然$0.2＞0.16$，因此船可以通过。
【答案】
(1) 建立如
所示的平面直角坐标系.设所求抛物线的函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$，由题意得$D(10,-4)$.把D的坐标代入$y=ax^2$，得$100a=-4$，解得$a=-\frac{1}{25}$，∴抛物线的函数解析式为$y=-\frac{1}{25}x^2$
(2) 能通过.理由如下:由题意得当$x=2$时，$y=-\frac{4}{25}=-0.16$.
∵$4-3-0.8=0.2＞0.16$,
∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，坐标法建模
【点评】
本题是二次函数在生活中应用的基础题型，解题关键是通过合理建系简化计算，将实际问题转化为二次函数的数值计算问题，能有效锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 天山胜利隧道于2025年建成通车，它成为世界上最长的高速公路隧道，大大提升区域交通效率，促进经济发展. 如图26.4-14是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分. 若隧道底部宽12 m，高8 m，按照图中所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计). 若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
(1)求抛物线的函数解析式.
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5 m，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2 m(中心线宽度不计). 若宽3 m，高3.5 m的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由.
答案
6. (1) 由题意得，顶点为(12/2,8)，即(6,8)，设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)²+8(a≠0)，代入点(12,0)得a(12-6)²+8=0，解得a=-2/9，
∴抛物线的函数解析式为y=-2/9(x-6)²+8(0≤x≤12)
(2) 能安全通过.理由如下:如
，设甲车左侧与x轴交于点A，由题意得，xA=12/2 - 2/2 -3=2，将x=2代入y=-2/9(x-6)²+8，则y=-2/9×(2-6)²+8=40/9，∵40/9 -3.5=17/18＞0.5,
∴宽3 m,高3.5 m的两辆车并排行驶，能安全通过
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，先提取题中已知信息：隧道底部宽12m，可得抛物线与x轴交点为(0,0)和(12,0)，隧道高8m即抛物线顶点纵坐标为8，结合抛物线对称性可知顶点坐标为(6,8)。已知顶点坐标时优先选择顶点式设解析式，代入已知交点即可求出系数a，最后标注自变量x的取值范围。
(2) 判断车辆能否安全通过，需先找到车辆最外侧对应的x坐标：两辆车各宽3m，中间间隔2m，中心线在x=6处，因此左侧车辆最左侧的横坐标为6减去间隔的一半1m，再减去车宽3m，即x=2。将x=2代入解析式得到该位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，得到的空隙和0.5m比较，若大于等于0.5m则可安全通过。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为(6,8)，且过点(12,0)。
设抛物线的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$，
将点(12,0)代入解析式：$a(12-6)^2+8=0$，
整理得$36a+8=0$，解得$a=-\frac{2}{9}$，
故抛物线的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
如，设甲车左侧与x轴交于点A，根据题意得A点横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，
将$x=2$代入解析式得：$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
竖直方向空隙为$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5m的要求，因此两辆车可安全通过。
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)}$
(2) 能安全通过。理由如下:如，设甲车左侧与x轴交于点A，由题意得，$x_A=\frac{12}{2} - \frac{2}{2} -3=2$，将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，则$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，$\because\frac{40}{9} -3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，$\therefore$宽3 m,高3.5 m的两辆车并排行驶，能安全通过
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数求值
【点评】
本题结合隧道通行的生活场景考查二次函数的应用，既要求学生掌握二次函数解析式的求解方法，也需要学生结合题意分析对应自变量的取值，通过计算函数值解决实际判断问题，注重对数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式时，先提取题中已知信息：隧道底部宽12m，可得抛物线与x轴交点为(0,0)和(12,0)，隧道高8m即抛物线顶点纵坐标为8，结合抛物线对称性可知顶点坐标为(6,8)。已知顶点坐标时优先选择顶点式设解析式，代入已知交点即可求出系数a，最后标注自变量x的取值范围。
(2) 判断车辆能否安全通过，需先找到车辆最外侧对应的x坐标：两辆车各宽3m，中间间隔2m，中心线在x=6处，因此左侧车辆最左侧的横坐标为6减去间隔的一半1m，再减去车宽3m，即x=2。将x=2代入解析式得到该位置的隧道高度，用该高度减去车辆高度，得到的空隙和0.5m比较，若大于等于0.5m则可安全通过。
【解析】
(1) 由题意得抛物线顶点坐标为(6,8)，且过点(12,0)。
设抛物线的函数解析式为$y=a(x-6)^2+8(a≠0)$，
将点(12,0)代入解析式：$a(12-6)^2+8=0$，
整理得$36a+8=0$，解得$a=-\frac{2}{9}$，
故抛物线的函数解析式为$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)$。
(2) 能安全通过，理由如下：
如
，设甲车左侧与x轴交于点A，根据题意得A点横坐标$x_A=\frac{12}{2}-\frac{2}{2}-3=2$，将$x=2$代入解析式得：$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，
竖直方向空隙为$\frac{40}{9}-3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，满足空隙不少于0.5m的要求，因此两辆车可安全通过。
【答案】
(1) 抛物线的函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8(0≤ x≤12)}$
(2) 能安全通过。理由如下:如
，设甲车左侧与x轴交于点A，由题意得，$x_A=\frac{12}{2} - \frac{2}{2} -3=2$，将$x=2$代入$y=-\frac{2}{9}(x-6)^2+8$，则$y=-\frac{2}{9}×(2-6)^2+8=\frac{40}{9}$，$\because\frac{40}{9} -3.5=\frac{17}{18}＞0.5$，$\therefore$宽3 m,高3.5 m的两辆车并排行驶，能安全通过【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 二次函数求值
【点评】
本题结合隧道通行的生活场景考查二次函数的应用，既要求学生掌握二次函数解析式的求解方法，也需要学生结合题意分析对应自变量的取值，通过计算函数值解决实际判断问题，注重对数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.7
