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例3 如图6，直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A，B，将$△ AOB$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ACD$，则点D的坐标为
(-3,1)
。答案
解析 当$x=0$时，$y=2$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,2)$.$\therefore OB=2$.当$y=0$时，$2x+2=0$，解得$x=-1$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$.$\therefore OA=1$.由旋转的性质，得$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，$AC⊥ x$轴，$CD// x$轴，$\therefore$点$D$的横坐标为$-1-2=-3$.$\therefore$点$D$的坐标为$(-3,1)$.
解析
【分析】
要确定点D的坐标，解题思路分为三步：第一步，先求直线$y=2x+2$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；第二步，根据旋转的性质，明确旋转后对应边的长度关系和位置关系：旋转90°后$△ ACD$与$△ AOB$全等，$AC=AO$，$CD=OB$，且AC垂直于x轴、CD平行于x轴；第三步，结合A点坐标，分别推导D点的横、纵坐标即可。
【解析】
首先求直线与坐标轴的交点坐标：
当$x=0$时，代入$y=2x+2$得$y=2$，$\therefore$点B的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$；
当$y=0$时，代入$y=2x+2$得$2x+2=0$，解得$x=-1$，$\therefore$点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1$。
由旋转的性质可得$△ ACD≌△ AOB$，因此$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$，$∠ CAD=∠ OAB$，可得AC垂直于x轴，CD平行于x轴。
点C在A点正上方，纵坐标为$0+1=1$，横坐标与A点相同为$-1$；点D在C点左侧，横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标与C点相同为1，故点D的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数图象交点；旋转的性质；坐标的确定
【点评】
本题属于一次函数与图形旋转结合的基础综合题，解题关键是先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用旋转的性质确定所求点的位置，进而计算坐标，能够考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定点D的坐标，解题思路分为三步：第一步，先求直线$y=2x+2$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；第二步，根据旋转的性质，明确旋转后对应边的长度关系和位置关系：旋转90°后$△ ACD$与$△ AOB$全等，$AC=AO$，$CD=OB$，且AC垂直于x轴、CD平行于x轴；第三步，结合A点坐标，分别推导D点的横、纵坐标即可。
【解析】
首先求直线与坐标轴的交点坐标：
当$x=0$时，代入$y=2x+2$得$y=2$，$\therefore$点B的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$；
当$y=0$时，代入$y=2x+2$得$2x+2=0$，解得$x=-1$，$\therefore$点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1$。
由旋转的性质可得$△ ACD≌△ AOB$，因此$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$，$∠ CAD=∠ OAB$，可得AC垂直于x轴，CD平行于x轴。
点C在A点正上方，纵坐标为$0+1=1$，横坐标与A点相同为$-1$；点D在C点左侧，横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标与C点相同为1，故点D的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数图象交点；旋转的性质；坐标的确定
【点评】
本题属于一次函数与图形旋转结合的基础综合题，解题关键是先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用旋转的性质确定所求点的位置，进而计算坐标，能够考查学生对基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解析 当$x=0$时，$y=2$，$\therefore$点$B$的坐标为$(0,2)$.$\therefore OB=2$.当$y=0$时，$2x+2=0$，解得$x=-1$，$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$.$\therefore OA=1$.由旋转的性质，得$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，$AC⊥ x$轴，$CD// x$轴，$\therefore$点$D$的横坐标为$-1-2=-3$.$\therefore$点$D$的坐标为$(-3,1)$.
答案
解析
【分析】
解题时首先需要求出直线$y=2x+2$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到线段OA、OB的长度；再根据旋转的性质，明确旋转后对应线段长度不变、旋转90°时对应边互相垂直的位置关系，先确定点C的坐标，最后结合CD与x轴平行的位置关系，计算得到点D的横纵坐标，即可求出最终结果。
【解析】
1. 求直线与坐标轴的交点坐标：
当$x=0$时，代入$y=2x+2$得$y=2$，
∴点B的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$；
当$y=0$时，代入$y=2x+2$得$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1$。
2. 结合旋转性质推导点D坐标：
由旋转的性质可得：$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，且$AC⊥x$轴，$CD// x$轴；
因此点C的横坐标与A相同为$-1$，纵坐标为$0+1=1$；
又因为$CD// x$轴，CD长度为2，点D在点C左侧，所以点D的横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标与C相同为1，即点D的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(-3,1)}$
【知识点】
一次函数交点求解，旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题型，核心考查基础性质的应用，解题关键是先求出一次函数与坐标轴的交点对应线段长度，再结合旋转的位置和长度关系确定所求点的坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出直线$y=2x+2$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到线段OA、OB的长度；再根据旋转的性质，明确旋转后对应线段长度不变、旋转90°时对应边互相垂直的位置关系，先确定点C的坐标，最后结合CD与x轴平行的位置关系，计算得到点D的横纵坐标，即可求出最终结果。
【解析】
1. 求直线与坐标轴的交点坐标：
当$x=0$时，代入$y=2x+2$得$y=2$，
∴点B的坐标为$(0,2)$，即$OB=2$；
当$y=0$时，代入$y=2x+2$得$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∴点A的坐标为$(-1,0)$，即$OA=1$。
2. 结合旋转性质推导点D坐标：
由旋转的性质可得：$CD=OB=2$，$AC=AO=1$，且$AC⊥x$轴，$CD// x$轴；
因此点C的横坐标与A相同为$-1$，纵坐标为$0+1=1$；
又因为$CD// x$轴，CD长度为2，点D在点C左侧，所以点D的横坐标为$-1-2=-3$，纵坐标与C相同为1，即点D的坐标为$(-3,1)$。
【答案】
点D的坐标为$\boldsymbol{(-3,1)}$
【知识点】
一次函数交点求解，旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题型，核心考查基础性质的应用，解题关键是先求出一次函数与坐标轴的交点对应线段长度，再结合旋转的位置和长度关系确定所求点的坐标。
【难度系数】
0.7
例4 如图8，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)。
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）直接写出以B，C₁，B₁，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标。
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A₁B₁C₁，画出△A₁B₁C₁；
（2）直接写出以B，C₁，B₁，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的坐标。
答案
(1)如图9所示，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$为所求.
(2)$10× 8 - 2× \frac{1}{2}× 2× 4 - 2× \frac{1}{2}× 4× 8 = 40$.
$\therefore$以$B,C_{1},B_{1},C$为顶点的四边形的面积是40.
(3)如图9，点E即为所求(答案不唯一)，点E的坐标为$(6,6)$.
解析
【分析】
（1）旋转180°本质是作中心对称图形，根据中心对称的性质，旋转中心D是每组对应点连线的中点，利用中点坐标公式可求出A、B、C的对应点$A_1、B_1、C_1$的坐标，描点后依次连线即可得到所求三角形。
（2）四边形$BC_1B_1C$是不规则四边形，适合用割补法计算面积：将四边形放入外接的矩形中，用矩形面积减去周围4个直角三角形的面积即可得到四边形面积。
（3）先通过坐标计算AB、AC的长度，可发现$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ BAC$的角平分线与BC边的中线重合，找到BC的中点即为符合要求的格点E。
【解析】
（1）已知旋转中心$D(5,4)$，旋转180°后对应点满足中点坐标公式：若原点点坐标为$(x,y)$，对应点坐标为$(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=5$，$\frac{y+y'}{2}=4$，推导得$x'=10-x$，$y'=8-y$。
分别计算各对应点坐标：
$A(7,8)$的对应点$A_1(10-7,8-8)=(3,0)$；
$B(2,8)$的对应点$B_1(10-2,8-8)=(8,0)$；
$C(10,4)$的对应点$C_1(10-10,8-4)=(0,4)$。
依次连接$A_1B_1、B_1C_1、C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）用割补法计算四边形面积：
覆盖四边形的最小矩形长为10、宽为8，矩形面积为$10×8=80$；
矩形内四边形外有4个直角三角形：2个直角边为2、4的三角形面积和为$2×\frac{1}{2}×2×4=8$，2个直角边为4、8的三角形面积和为$2×\frac{1}{2}×4×8=32$；
因此四边形面积为$80-8-32=40$。
（3）计算边长得$AB=7-2=5$，$AC=\sqrt{(10-7)^2+(4-8)^2}=5$，即$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ BAC$的角平分线与BC的中线重合。
BC中点坐标为$(\frac{2+10}{2},\frac{8+4}{2})=(6,6)$，即格点E坐标为$(6,6)$。
【答案】
(1)如图9所示，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$为所求.
(2)以$B,C_{1},B_{1},C$为顶点的四边形的面积是40.
(3)点E的坐标为$(6,6)$.
【知识点】
旋转的性质；割补法求面积；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合网格考查了几何变换与几何计算，解题时要充分利用网格的坐标特征和特殊几何图形的性质，能够有效锻炼数形结合的解题能力，是平面几何的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
（1）旋转180°本质是作中心对称图形，根据中心对称的性质，旋转中心D是每组对应点连线的中点，利用中点坐标公式可求出A、B、C的对应点$A_1、B_1、C_1$的坐标，描点后依次连线即可得到所求三角形。
（2）四边形$BC_1B_1C$是不规则四边形，适合用割补法计算面积：将四边形放入外接的矩形中，用矩形面积减去周围4个直角三角形的面积即可得到四边形面积。
（3）先通过坐标计算AB、AC的长度，可发现$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，$∠ BAC$的角平分线与BC边的中线重合，找到BC的中点即为符合要求的格点E。
【解析】
（1）已知旋转中心$D(5,4)$，旋转180°后对应点满足中点坐标公式：若原点点坐标为$(x,y)$，对应点坐标为$(x',y')$，则$\frac{x+x'}{2}=5$，$\frac{y+y'}{2}=4$，推导得$x'=10-x$，$y'=8-y$。
分别计算各对应点坐标：
$A(7,8)$的对应点$A_1(10-7,8-8)=(3,0)$；
$B(2,8)$的对应点$B_1(10-2,8-8)=(8,0)$；
$C(10,4)$的对应点$C_1(10-10,8-4)=(0,4)$。
依次连接$A_1B_1、B_1C_1、C_1A_1$，得到$△ A_1B_1C_1$。
（2）用割补法计算四边形面积：
覆盖四边形的最小矩形长为10、宽为8，矩形面积为$10×8=80$；
矩形内四边形外有4个直角三角形：2个直角边为2、4的三角形面积和为$2×\frac{1}{2}×2×4=8$，2个直角边为4、8的三角形面积和为$2×\frac{1}{2}×4×8=32$；
因此四边形面积为$80-8-32=40$。
（3）计算边长得$AB=7-2=5$，$AC=\sqrt{(10-7)^2+(4-8)^2}=5$，即$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，$∠ BAC$的角平分线与BC的中线重合。
BC中点坐标为$(\frac{2+10}{2},\frac{8+4}{2})=(6,6)$，即格点E坐标为$(6,6)$。
【答案】
(1)如图9所示，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$为所求.
(2)以$B,C_{1},B_{1},C$为顶点的四边形的面积是40.
(3)点E的坐标为$(6,6)$.
【知识点】
旋转的性质；割补法求面积；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合网格考查了几何变换与几何计算，解题时要充分利用网格的坐标特征和特殊几何图形的性质，能够有效锻炼数形结合的解题能力，是平面几何的基础综合题型。
【难度系数】
0.7
解析 (1)如图9所示，$△ A_{1}B_{1}C_{1}$为所求.
(2)$10× 8 - 2× \frac{1}{2}× 2× 4 - 2× \frac{1}{2}× 4× 8 = 40$.
$\therefore$以$B,C_{1},B_{1},C$为顶点的四边形的面积是40.
(3)如图9，点E即为所求(答案不唯一)，点E的坐标为$(6,6)$.
(2)$10× 8 - 2× \frac{1}{2}× 2× 4 - 2× \frac{1}{2}× 4× 8 = 40$.
$\therefore$以$B,C_{1},B_{1},C$为顶点的四边形的面积是40.
(3)如图9，点E即为所求(答案不唯一)，点E的坐标为$(6,6)$.
答案
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 作中心对称图形：根据中心对称的性质，对称点的连线过对称中心且被对称中心平分，因此分别连接△ABC的三个顶点与对称中心D，延长至对应长度得到对称点，顺次连接对称点即可得到△A₁B₁C₁。
2. 计算四边形面积：网格中不规则四边形的面积可采用割补法求解，先找到恰好包含该四边形的最小矩形，用矩形面积减去四边形外围所有多余三角形的面积，即可得到所求面积。
3. 确定格点E的坐标：结合题目要求在对应线段上找到符合条件的格点，根据平面直角坐标系的坐标规则读取点的坐标即可，符合要求的点不唯一。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，分别作点A、B、C关于点D的对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求，如图9所示。
(2) 采用割补法计算四边形面积：
将四边形$BC_1B_1C$置于长为10、宽为8的矩形中，四周共有4个直角三角形，其中2个直角边分别为2和4，另外2个直角边分别为4和8。
$\begin{aligned}S_{\mathrm{四边形}BC_1B_1C}&=S_{\mathrm{矩形}} - 2× S_{\mathrm{小直角三角形}} - 2× S_{\mathrm{大直角三角形}}\\&=10×8 - 2×(\frac{1}{2}×2×4) - 2×(\frac{1}{2}×4×8)\\&=80 - 8 - 32\\&=40\end{aligned}$
(3) 结合图形要求在BC边上找到格点E，读取坐标可得E为$(6,6)$，如图9所示（答案不唯一）。
【答案】
(1) 如图9所示的$△ A_1B_1C_1$；
(2) $\boxed{40}$；
(3) $\boxed{(6,6)}$（答案不唯一）
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合网格考查作图、面积计算和坐标识别，注重对基础方法和性质的应用，熟练掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.65
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 作中心对称图形：根据中心对称的性质，对称点的连线过对称中心且被对称中心平分，因此分别连接△ABC的三个顶点与对称中心D，延长至对应长度得到对称点，顺次连接对称点即可得到△A₁B₁C₁。
2. 计算四边形面积：网格中不规则四边形的面积可采用割补法求解，先找到恰好包含该四边形的最小矩形，用矩形面积减去四边形外围所有多余三角形的面积，即可得到所求面积。
3. 确定格点E的坐标：结合题目要求在对应线段上找到符合条件的格点，根据平面直角坐标系的坐标规则读取点的坐标即可，符合要求的点不唯一。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，分别作点A、B、C关于点D的对称点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到的△A₁B₁C₁即为所求，如图9所示。
(2) 采用割补法计算四边形面积：
将四边形$BC_1B_1C$置于长为10、宽为8的矩形中，四周共有4个直角三角形，其中2个直角边分别为2和4，另外2个直角边分别为4和8。
$\begin{aligned}S_{\mathrm{四边形}BC_1B_1C}&=S_{\mathrm{矩形}} - 2× S_{\mathrm{小直角三角形}} - 2× S_{\mathrm{大直角三角形}}\\&=10×8 - 2×(\frac{1}{2}×2×4) - 2×(\frac{1}{2}×4×8)\\&=80 - 8 - 32\\&=40\end{aligned}$
(3) 结合图形要求在BC边上找到格点E，读取坐标可得E为$(6,6)$，如图9所示（答案不唯一）。
【答案】
(1) 如图9所示的$△ A_1B_1C_1$；
(2) $\boxed{40}$；
(3) $\boxed{(6,6)}$（答案不唯一）
【知识点】
中心对称的性质，割补法求面积，平面直角坐标系坐标
【点评】
本题属于几何综合基础题，结合网格考查作图、面积计算和坐标识别，注重对基础方法和性质的应用，熟练掌握相关知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.65
如图7,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),将线段OA绕点O逆时针旋转$45°$,则点A对应点的坐标是
(3√2,3√2)
.答案
(3√2,3√2)
解析
【分析】
解决本题首先要利用旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，可得旋转后线段长度仍为6，且与x轴正方向夹角为45°；接下来可通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角45°的三角函数值，分别计算对应点的横、纵坐标，注意判断点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
设点A绕点O逆时针旋转45°后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴，垂足为B。
由旋转的性质可知：OA' = OA = 6，∠A'OB = 45°。
在Rt△A'OB中：
横坐标OB = OA'·cos45° = 6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 3$\sqrt{2}$，
纵坐标A'B = OA'·sin45° = 6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 3$\sqrt{2}$。
因为A'位于第一象限，所以点A'的坐标为(3$\sqrt{2}$,3$\sqrt{2}$)。
【答案】
(3√2,3√2)
【知识点】
旋转的性质；锐角三角函数的应用；点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系中的旋转基础题，解题核心是抓住旋转前后线段长度不变的特点，结合特殊角的三角函数值计算坐标，解题时要注意结合点所在的象限判断坐标的正负。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要利用旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，可得旋转后线段长度仍为6，且与x轴正方向夹角为45°；接下来可通过作辅助线构造直角三角形，结合特殊角45°的三角函数值，分别计算对应点的横、纵坐标，注意判断点所在象限确定坐标符号即可。
【解析】
设点A绕点O逆时针旋转45°后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴，垂足为B。
由旋转的性质可知：OA' = OA = 6，∠A'OB = 45°。
在Rt△A'OB中：
横坐标OB = OA'·cos45° = 6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 3$\sqrt{2}$，
纵坐标A'B = OA'·sin45° = 6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 3$\sqrt{2}$。
因为A'位于第一象限，所以点A'的坐标为(3$\sqrt{2}$,3$\sqrt{2}$)。
【答案】
(3√2,3√2)
【知识点】
旋转的性质；锐角三角函数的应用；点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系中的旋转基础题，解题核心是抓住旋转前后线段长度不变的特点，结合特殊角的三角函数值计算坐标，解题时要注意结合点所在的象限判断坐标的正负。
【难度系数】
0.7
考点4 变式
如图10，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2)，B(3,-2)，C(2,-3)。
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出A₁的坐标；
（2）画出△A₁B₁C₁绕点A₁逆时针旋转90°得到的△A₁B₂C₂，并写出C₂的坐标；
（3）求出（2）中线段A₁C₁所扫过的图形面积.（结果保留π）
如图10，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2)，B(3,-2)，C(2,-3)。
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出A₁的坐标；
（2）画出△A₁B₁C₁绕点A₁逆时针旋转90°得到的△A₁B₂C₂，并写出C₂的坐标；
（3）求出（2）中线段A₁C₁所扫过的图形面积.（结果保留π）
答案
1. 如答图16所示，$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,2)$
2. 如答图16所示，$△ A_1B_2C_2$即为所求，$C_2(0,3)$
3. 由图可得 $A_1C_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
∵逆时针旋转90°，
∴扫过的图形面积为$\frac{π×(\sqrt{2})^2}{4}=\frac{π}{2}$
解析
【分析】
（1）解决第一问首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此求出A、B、C三点的对称点坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接读出A₁坐标。
（2）解决第二问需明确旋转的三要素：旋转中心A₁、旋转方向逆时针、旋转角90°，分别将线段A₁B₁、A₁C₁按要求旋转得到对应线段，确定B₂、C₂的位置后连线，再结合网格读出C₂的坐标。
（3）解决第三问首先判断线段A₁C₁扫过的图形是圆心角为90°、半径为A₁C₁长度的扇形，先利用勾股定理求出A₁C₁的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此A(1,-2)的对称点A₁坐标为(1,2)，同理得B₁(3,2)，C₁(2,3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）将A₁C₁绕点A₁逆时针旋转90°，A₁位置不变，C₁旋转后得到对应点C₂，同理旋转A₁B₁得到A₁B₂，连接B₂、C₂，得到△A₁B₂C₂；结合网格可得C₂坐标为(0,3)。
（3）先计算A₁C₁的长度：A₁(1,2)，C₁(2,3)，横向距离为2-1=1，纵向距离为3-2=1，由勾股定理得$A_1C_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
线段A₁C₁绕A₁逆时针旋转90°，扫过的图形是圆心角为90°，半径为$\sqrt{2}$的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S=\frac{90π × (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π × 2}{360}=\frac{π}{2}$。
【答案】
1. 如答图16所示，$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,2)$
2. 如答图16所示，$△ A_1B_2C_2$即为所求，$C_2(0,3)$
3. 线段$A_1C_1$所扫过的图形面积为$\frac{π}{2}$
【知识点】
轴对称的坐标变换，图形的旋转，扇形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了对称、旋转作图及扇形面积计算，解题关键是熟练掌握坐标变换规律，作图时借助网格可快速确定对应点位置，计算扇形面积时要准确确定半径和圆心角。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数，据此求出A、B、C三点的对称点坐标，描点连线即可得到△A₁B₁C₁，直接读出A₁坐标。
（2）解决第二问需明确旋转的三要素：旋转中心A₁、旋转方向逆时针、旋转角90°，分别将线段A₁B₁、A₁C₁按要求旋转得到对应线段，确定B₂、C₂的位置后连线，再结合网格读出C₂的坐标。
（3）解决第三问首先判断线段A₁C₁扫过的图形是圆心角为90°、半径为A₁C₁长度的扇形，先利用勾股定理求出A₁C₁的长度，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此A(1,-2)的对称点A₁坐标为(1,2)，同理得B₁(3,2)，C₁(2,3)，依次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁。
（2）将A₁C₁绕点A₁逆时针旋转90°，A₁位置不变，C₁旋转后得到对应点C₂，同理旋转A₁B₁得到A₁B₂，连接B₂、C₂，得到△A₁B₂C₂；结合网格可得C₂坐标为(0,3)。
（3）先计算A₁C₁的长度：A₁(1,2)，C₁(2,3)，横向距离为2-1=1，纵向距离为3-2=1，由勾股定理得$A_1C_1=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
线段A₁C₁绕A₁逆时针旋转90°，扫过的图形是圆心角为90°，半径为$\sqrt{2}$的扇形，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入得：
$S=\frac{90π × (\sqrt{2})^2}{360}=\frac{90π × 2}{360}=\frac{π}{2}$。
【答案】
1. 如答图16所示，$△ A_1B_1C_1$即为所求，$A_1(1,2)$
2. 如答图16所示，$△ A_1B_2C_2$即为所求，$C_2(0,3)$
3. 线段$A_1C_1$所扫过的图形面积为$\frac{π}{2}$
【知识点】
轴对称的坐标变换，图形的旋转，扇形面积计算
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查了对称、旋转作图及扇形面积计算，解题关键是熟练掌握坐标变换规律，作图时借助网格可快速确定对应点位置，计算扇形面积时要准确确定半径和圆心角。
【难度系数】
0.7
