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8.(周口扶沟县期中)已知学校航模组设计制作的火箭升空高度$h$(m)与飞行时间$t$(s)满足函数表达式$h=-t^2 + 24t + 1$，则下列说法中正确的是（
A.点火后1 s和点火后3 s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.火箭升空的最大高度为145 m
D.点火后10 s的升空高度为139 m
C
）A.点火后1 s和点火后3 s的升空高度相同
B.点火后24 s火箭落于地面
C.火箭升空的最大高度为145 m
D.点火后10 s的升空高度为139 m
答案
8.C
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用题，解题时可逐一验证选项：对于涉及特定时间对应高度的选项，直接将时间t代入函数解析式计算h的值即可判断；对于涉及最大高度的选项，利用二次函数顶点坐标公式求出最值即可判断，逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 验证A选项：
当t=1s时，代入$h=-t^2 + 24t + 1$得：$h=-1^2+24×1+1=24\mathrm{m}$；
当t=3s时，代入得：$h=-3^2+24×3+1=-9+72+1=64\mathrm{m}$；
24≠64，高度不同，A错误。
2. 验证B选项：
当t=24s时，代入得：$h=-24^2+24×24+1=1\mathrm{m}≠0$，说明此时火箭距离地面1m，并未落地，B错误。
3. 验证C选项：
对于二次函数$h=at^2+bt+c$（$a≠0$），当$a＜0$时，函数在$t=-\frac{b}{2a}$处取得最大值。
本题中$a=-1＜0$，$b=24$，所以当$t=-\frac{24}{2×(-1)}=12\mathrm{s}$时，h取得最大值，代入得：
$h=-12^2+24×12+1=-144+288+1=145\mathrm{m}$，即最大高度为145m，C正确。
4. 验证D选项：
当t=10s时，代入得$h=-10^2+24×10+1=-100+240+1=141\mathrm{m}≠139\mathrm{m}$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；代入求函数值
【点评】
本题以火箭升空为背景，考查二次函数的基础性质，解题时只要熟练掌握代入求值的方法和二次函数最值的计算方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数的实际应用题，解题时可逐一验证选项：对于涉及特定时间对应高度的选项，直接将时间t代入函数解析式计算h的值即可判断；对于涉及最大高度的选项，利用二次函数顶点坐标公式求出最值即可判断，逐个排除错误选项就能得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 验证A选项：
当t=1s时，代入$h=-t^2 + 24t + 1$得：$h=-1^2+24×1+1=24\mathrm{m}$；
当t=3s时，代入得：$h=-3^2+24×3+1=-9+72+1=64\mathrm{m}$；
24≠64，高度不同，A错误。
2. 验证B选项：
当t=24s时，代入得：$h=-24^2+24×24+1=1\mathrm{m}≠0$，说明此时火箭距离地面1m，并未落地，B错误。
3. 验证C选项：
对于二次函数$h=at^2+bt+c$（$a≠0$），当$a＜0$时，函数在$t=-\frac{b}{2a}$处取得最大值。
本题中$a=-1＜0$，$b=24$，所以当$t=-\frac{24}{2×(-1)}=12\mathrm{s}$时，h取得最大值，代入得：
$h=-12^2+24×12+1=-144+288+1=145\mathrm{m}$，即最大高度为145m，C正确。
4. 验证D选项：
当t=10s时，代入得$h=-10^2+24×10+1=-100+240+1=141\mathrm{m}≠139\mathrm{m}$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；代入求函数值
【点评】
本题以火箭升空为背景，考查二次函数的基础性质，解题时只要熟练掌握代入求值的方法和二次函数最值的计算方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.7
9.小宇想在边长为10的正方形纸片ABCD上剪出四个全等的直角三角形和一个正方形纸片，设计了如图所示的方案，若要使正方形纸片EFGH的面积最小，则AE的长为
5
。答案
9. 5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以先设AE的长为x，结合正方形ABCD的边长为10、四个直角三角形全等的性质，将中间小正方形EFGH的面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的最值性质，即可求出面积最小时AE的长度。
【解析】
设AE的长为$ x $，
∵ 正方形ABCD的边长为10，
∴ $ AB=10 $，$ BE=10-x $。
∵ 四个直角三角形全等，即$ △ AEH ≌ △ BFE $，
∴ $ AH=BE=10-x $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，根据勾股定理，正方形EFGH的边长$ EH $满足：
$ EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (10-x)^2 $，
即正方形EFGH的面积$ S = x^2 + (10-x)^2 $。
展开整理得：$ S=2x^2 -20x +100 $。
这是开口向上的二次函数（$ a=2＞0 $），当$ x=-\frac{b}{2a} $时，$ S $取得最小值，
代入$ a=2 $，$ b=-20 $得：
$ x=\frac{20}{2×2}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何最值与函数结合的典型题目，解题核心是通过设未知数，把几何图形的面积转化为二次函数表达式，再利用函数性质求解，能有效考查学生对几何性质和函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以先设AE的长为x，结合正方形ABCD的边长为10、四个直角三角形全等的性质，将中间小正方形EFGH的面积表示为关于x的二次函数，再利用二次函数的最值性质，即可求出面积最小时AE的长度。
【解析】
设AE的长为$ x $，
∵ 正方形ABCD的边长为10，
∴ $ AB=10 $，$ BE=10-x $。
∵ 四个直角三角形全等，即$ △ AEH ≌ △ BFE $，
∴ $ AH=BE=10-x $。
在$ \mathrm{Rt}△ AEH $中，根据勾股定理，正方形EFGH的边长$ EH $满足：
$ EH^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + (10-x)^2 $，
即正方形EFGH的面积$ S = x^2 + (10-x)^2 $。
展开整理得：$ S=2x^2 -20x +100 $。
这是开口向上的二次函数（$ a=2＞0 $），当$ x=-\frac{b}{2a} $时，$ S $取得最小值，
代入$ a=2 $，$ b=-20 $得：
$ x=\frac{20}{2×2}=5 $。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的最值，勾股定理，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何最值与函数结合的典型题目，解题核心是通过设未知数，把几何图形的面积转化为二次函数表达式，再利用函数性质求解，能有效考查学生对几何性质和函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
10.(福建中考)如图,在足够大的空地上有一段长为a m的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100 m木栏.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450 m²,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450 m²,求所利用旧墙AD的长;
(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
答案
10.解:(1)设$AB=x$ m,则$BC=(100-2x)$m.根据题意,得$x(100-2x)=450$,解得$x_1=5,x_2=45$.当$x=5$时,$100-2x=90＞20$,不合题意舍去;当$x=45$时,$100-2x=10$.故所利用旧墙AD的长为10 m.
(2)设$AD=y$ m,则$AB=\frac{1}{2}(100-y)$m. $\therefore S=\frac{1}{2}y(100-y)=-\frac{1}{2}(y-50)^2+1\ 250$.当$a≥50$时,则$y=50$时,S的最大值为1 250;当$0＜a＜50$时,当$y=a$时,S的最大值为$50a-\frac{1}{2}a^2$.综上所述,当$a≥50$时,矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 $\mathrm{m}^2$;当$0＜a＜50$时,矩形菜园ABCD的面积的最大值为$(50a-\frac{1}{2}a^2)\mathrm{m}^2$.
(2)设$AD=y$ m,则$AB=\frac{1}{2}(100-y)$m. $\therefore S=\frac{1}{2}y(100-y)=-\frac{1}{2}(y-50)^2+1\ 250$.当$a≥50$时,则$y=50$时,S的最大值为1 250;当$0＜a＜50$时,当$y=a$时,S的最大值为$50a-\frac{1}{2}a^2$.综上所述,当$a≥50$时,矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 $\mathrm{m}^2$;当$0＜a＜50$时,矩形菜园ABCD的面积的最大值为$(50a-\frac{1}{2}a^2)\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先明确矩形AD边靠墙，木栏总长对应AB+BC+CD的长度，且AB=CD，因此BC=100-2AB。设AB长为x m，即可表示出AD的长度，结合面积为450 m²列一元二次方程求解，最后要注意AD的长度不能超过旧墙长度a=20 m，不符合要求的解需舍去。
(2) 求解第二问面积最大值时，先将矩形面积表示为关于AD边长的二次函数，化为顶点式后可知该函数开口向下，顶点处为理论最大值，但AD的取值不能超过旧墙长度a，因此需分a≥50（顶点横坐标在取值范围内）和0＜a＜50（顶点横坐标超出取值范围）两种情况讨论，分别求出对应条件下的最大值。
【解析】
(1) 设$AB=x$ m，则$BC=AD=(100-2x)$ m，根据矩形面积公式列方程：
$x(100-2x)=450$
整理得$x^2-50x+225=0$，解得$x_1=5$，$x_2=45$。
当$x=5$时，$100-2x=90＞20$，不符合$AD≤a=20$的要求，舍去；
当$x=45$时，$100-2x=10≤20$，符合题意。
(2) 设$AD=y$ m，则$AB=\frac{1}{2}(100-y)$ m，矩形面积$S$为：
$S=\frac{1}{2}y(100-y)=-\frac{1}{2}y^2+50y=-\frac{1}{2}(y-50)^2+1250$
该二次函数开口向下，对称轴为$y=50$：
① 若$a≥50$，则当$y=50$时，$S$取得最大值1250；
② 若$0＜a＜50$，则当$0＜y≤a$时，$S$随$y$的增大而增大，因此当$y=a$时，$S$取得最大值，代入得$S_{max}=\frac{1}{2}a(100-a)=50a-\frac{1}{2}a^2$。
【答案】
(1) 所利用旧墙AD的长为10 m；
(2) 当$a≥50$时，矩形菜园面积的最大值为$1250\ \mathrm{m}^2$；当$0＜a＜50$时，矩形菜园面积的最大值为$(50a-\frac{1}{2}a^2)\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察方程与二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件（旧墙长度）对解进行取舍，求二次函数最值时不能直接套用顶点值，要结合自变量的取值范围分类讨论，避免漏解出错。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问时，首先明确矩形AD边靠墙，木栏总长对应AB+BC+CD的长度，且AB=CD，因此BC=100-2AB。设AB长为x m，即可表示出AD的长度，结合面积为450 m²列一元二次方程求解，最后要注意AD的长度不能超过旧墙长度a=20 m，不符合要求的解需舍去。
(2) 求解第二问面积最大值时，先将矩形面积表示为关于AD边长的二次函数，化为顶点式后可知该函数开口向下，顶点处为理论最大值，但AD的取值不能超过旧墙长度a，因此需分a≥50（顶点横坐标在取值范围内）和0＜a＜50（顶点横坐标超出取值范围）两种情况讨论，分别求出对应条件下的最大值。
【解析】
(1) 设$AB=x$ m，则$BC=AD=(100-2x)$ m，根据矩形面积公式列方程：
$x(100-2x)=450$
整理得$x^2-50x+225=0$，解得$x_1=5$，$x_2=45$。
当$x=5$时，$100-2x=90＞20$，不符合$AD≤a=20$的要求，舍去；
当$x=45$时，$100-2x=10≤20$，符合题意。
(2) 设$AD=y$ m，则$AB=\frac{1}{2}(100-y)$ m，矩形面积$S$为：
$S=\frac{1}{2}y(100-y)=-\frac{1}{2}y^2+50y=-\frac{1}{2}(y-50)^2+1250$
该二次函数开口向下，对称轴为$y=50$：
① 若$a≥50$，则当$y=50$时，$S$取得最大值1250；
② 若$0＜a＜50$，则当$0＜y≤a$时，$S$随$y$的增大而增大，因此当$y=a$时，$S$取得最大值，代入得$S_{max}=\frac{1}{2}a(100-a)=50a-\frac{1}{2}a^2$。
【答案】
(1) 所利用旧墙AD的长为10 m；
(2) 当$a≥50$时，矩形菜园面积的最大值为$1250\ \mathrm{m}^2$；当$0＜a＜50$时，矩形菜园面积的最大值为$(50a-\frac{1}{2}a^2)\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考察方程与二次函数的应用，解题时要注意结合实际限制条件（旧墙长度）对解进行取舍，求二次函数最值时不能直接套用顶点值，要结合自变量的取值范围分类讨论，避免漏解出错。
【难度系数】
0.6
11. 一块三角形材料如图所示，$∠ A=30°$，$∠ C=90°$，$AB=12$. 用这块材料剪出一个矩形$CDEF$，其中，点$D,E,F$分别在$BC,AB,AC$上.设$AE$的长为$x$，矩形$CDEF$的面积为$S$.
(1)写出$S$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围；
(2)当$AE$的长为多少时，矩形$CDEF$的面积最大？最大面积是多少？
(1)写出$S$关于$x$的函数解析式，并写出$x$的取值范围；
(2)当$AE$的长为多少时，矩形$CDEF$的面积最大？最大面积是多少？
答案
11.解:(1)$\because AB=12$,$AE=x$,点E与点A,点B均不重合,$\therefore 0＜x＜12$.$\because$ 四边形CDEF是矩形,$\therefore ∠ AFE=90°$.$\because ∠ A=30°$,$\therefore EF=\frac{1}{2}AE$. $\therefore AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{AE^2-\frac{1}{4}AE^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AE$.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A=30°$,$AB=12$,$\therefore BC=\frac{1}{2}AB=6$.根据勾股定理,得$AC=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$.
$\therefore CF=AC-AF=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}AE$. $\therefore S_{\mathrm{矩形}CDEF}=CF· EF=\frac{1}{2}x(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)$.
(2)由(1)得,$S_{\mathrm{矩形}CDEF}=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)$,则$S_{\mathrm{矩形}CDEF}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+36-36)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+6^2-6^2)=-\frac{\sqrt{3}}{4}[(x-6)^2-36]=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2+9\sqrt{3}$,
$\therefore$ 当$x=6$时,矩形CDEF的面积最大.$\because AB=12$,$\therefore$ 当点E为AB的中点时,矩形CDEF的面积最大,最大面积是$9\sqrt{3}$.
$\therefore CF=AC-AF=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}AE$. $\therefore S_{\mathrm{矩形}CDEF}=CF· EF=\frac{1}{2}x(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)$.
(2)由(1)得,$S_{\mathrm{矩形}CDEF}=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)$,则$S_{\mathrm{矩形}CDEF}=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+36-36)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+6^2-6^2)=-\frac{\sqrt{3}}{4}[(x-6)^2-36]=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2+9\sqrt{3}$,
$\therefore$ 当$x=6$时,矩形CDEF的面积最大.$\because AB=12$,$\therefore$ 当点E为AB的中点时,矩形CDEF的面积最大,最大面积是$9\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)要求S关于x的函数解析式，需先表示出矩形CDEF的两组邻边长度：首先由矩形性质得∠AFE=90°，结合∠A=30°，可利用含30°直角三角形的性质用x表示出EF、AF的长度；再先求出Rt△ABC中AC的长度，进而得到CF的长度，最后根据矩形面积公式即可得到S与x的关系式，再结合E在线段AB上（不与A、B重合）确定x的取值范围。
(2)求矩形的最大面积，本质是求(1)中得到的二次函数的最大值，因为二次项系数为负，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到对应x的值和最大面积。
【解析】
(1)已知AB=12，AE=x，且点E与A、B均不重合，因此x的取值范围是$0＜x＜12$。
∵四边形CDEF是矩形，
∴$∠ AFE=∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ A=30°$，
∴$EF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}x$，$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=12$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=6$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$CF=AC - AF=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
矩形CDEF的面积$S=CF· EF=(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)·\frac{1}{2}x$，
整理得$S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$。
(2)将(1)中的函数解析式配方：
$S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+36-36)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}[(x-6)^2-36]$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2+9\sqrt{3}$
∵$-\frac{\sqrt{3}}{4}＜0$，且$0＜x＜12$，
∴当$x=6$时，S取得最大值，最大值为$9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)}$；
(2) 当AE的长为$\boldsymbol{6}$时，矩形面积最大，最大面积是$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$。
【知识点】
二次函数的应用；含30°角的直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的常规应用题，需要灵活运用直角三角形、矩形的性质表示线段长度，再结合二次函数的性质求解最值，解题核心是正确建立面积与自变量的函数关系。
【难度系数】
0.7
(1)要求S关于x的函数解析式，需先表示出矩形CDEF的两组邻边长度：首先由矩形性质得∠AFE=90°，结合∠A=30°，可利用含30°直角三角形的性质用x表示出EF、AF的长度；再先求出Rt△ABC中AC的长度，进而得到CF的长度，最后根据矩形面积公式即可得到S与x的关系式，再结合E在线段AB上（不与A、B重合）确定x的取值范围。
(2)求矩形的最大面积，本质是求(1)中得到的二次函数的最大值，因为二次项系数为负，函数图像开口向下，在顶点处取得最大值，通过配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到对应x的值和最大面积。
【解析】
(1)已知AB=12，AE=x，且点E与A、B均不重合，因此x的取值范围是$0＜x＜12$。
∵四边形CDEF是矩形，
∴$∠ AFE=∠ C=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ A=30°$，
∴$EF=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}x$，$AF=\sqrt{AE^2-EF^2}=\sqrt{x^2-(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=12$，
∴$BC=\frac{1}{2}AB=6$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$，
∴$CF=AC - AF=6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x$。
矩形CDEF的面积$S=CF· EF=(6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}x)·\frac{1}{2}x$，
整理得$S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x$。
(2)将(1)中的函数解析式配方：
$S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}(x^2-12x+36-36)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}[(x-6)^2-36]$
$= -\frac{\sqrt{3}}{4}(x-6)^2+9\sqrt{3}$
∵$-\frac{\sqrt{3}}{4}＜0$，且$0＜x＜12$，
∴当$x=6$时，S取得最大值，最大值为$9\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+3\sqrt{3}x(0＜x＜12)}$；
(2) 当AE的长为$\boldsymbol{6}$时，矩形面积最大，最大面积是$\boldsymbol{9\sqrt{3}}$。
【知识点】
二次函数的应用；含30°角的直角三角形的性质；矩形的性质
【点评】
本题是几何与函数结合的常规应用题，需要灵活运用直角三角形、矩形的性质表示线段长度，再结合二次函数的性质求解最值，解题核心是正确建立面积与自变量的函数关系。
【难度系数】
0.7
