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1. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$3x^2 -48=0$；
(2)$(x-6)^2 -4=0$；
(3)$(2x-1)^2=(3-x)^2$。
(1)$3x^2 -48=0$；
(2)$(x-6)^2 -4=0$；
(3)$(2x-1)^2=(3-x)^2$。
答案
(1)移项,二次项系数化为1,得$x^2=16$.由此可得$x_1=4$,$x_2=-4$.
(2)移项,得$(x-6)^2=4$.由此可得$x-6=\pm2$,$x_1=8$,$x_2=4$.
(3)由此可得$2x-1=\pm(3-x)$,$x_1=\frac{4}{3}$,$x_2=-2$.
(2)移项,得$(x-6)^2=4$.由此可得$x-6=\pm2$,$x_1=8$,$x_2=4$.
(3)由此可得$2x-1=\pm(3-x)$,$x_1=\frac{4}{3}$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
直接开平方法适用于可化为$x^2=p$或$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，解题核心是将方程变形为“完全平方式等于非负数”的形式后开平方求解。
(1)先移项消去常数项，再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于非负数的形式，直接开平方即可得解；
(2)先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于常数的形式，开平方后转化为两个一元一次方程求解；
(3)等号两侧都是完全平方式，可直接开平方得到左侧式子等于右侧式子的正负两种情况，分别解一元一次方程即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2=48$，
二次项系数化为1得：$x^2=16$，
开平方得：$x=\pm4$，
即$x_1=4$，$x_2=-4$。
(2) 移项得：$(x-6)^2=4$，
开平方得：$x-6=\pm2$，
当$x-6=2$时，$x=8$；当$x-6=-2$时，$x=4$，
即$x_1=8$，$x_2=4$。
(3) 开平方得：$2x-1=\pm(3-x)$，
分两种情况求解：
① $2x-1=3-x$，移项合并得$3x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$；
② $2x-1=-(3-x)$，去括号得$2x-1=-3+x$，移项合并得$x=-2$，
即$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=4$，$x_2=-4$；(2)$x_1=8$，$x_2=4$；(3)$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，需熟练掌握方程变形的方法，开平方时要注意正负两种情况，避免出现漏解的错误，掌握解题逻辑后可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
直接开平方法适用于可化为$x^2=p$或$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，解题核心是将方程变形为“完全平方式等于非负数”的形式后开平方求解。
(1)先移项消去常数项，再将二次项系数化为1，得到$x^2$等于非负数的形式，直接开平方即可得解；
(2)先移项将常数项移到等号右侧，得到完全平方式等于常数的形式，开平方后转化为两个一元一次方程求解；
(3)等号两侧都是完全平方式，可直接开平方得到左侧式子等于右侧式子的正负两种情况，分别解一元一次方程即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 移项得：$3x^2=48$，
二次项系数化为1得：$x^2=16$，
开平方得：$x=\pm4$，
即$x_1=4$，$x_2=-4$。
(2) 移项得：$(x-6)^2=4$，
开平方得：$x-6=\pm2$，
当$x-6=2$时，$x=8$；当$x-6=-2$时，$x=4$，
即$x_1=8$，$x_2=4$。
(3) 开平方得：$2x-1=\pm(3-x)$，
分两种情况求解：
① $2x-1=3-x$，移项合并得$3x=4$，解得$x=\frac{4}{3}$；
② $2x-1=-(3-x)$，去括号得$2x-1=-3+x$，移项合并得$x=-2$，
即$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=4$，$x_2=-4$；(2)$x_1=8$，$x_2=4$；(3)$x_1=\frac{4}{3}$，$x_2=-2$
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的典型基础题，需熟练掌握方程变形的方法，开平方时要注意正负两种情况，避免出现漏解的错误，掌握解题逻辑后可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
2. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 12x + 36 = 0$；
(2)$2x^2 - 4x - 8 = 0$；
(3)$3x^2 + 6x + 2 = 11$。
(1)$x^2 + 12x + 36 = 0$；
(2)$2x^2 - 4x - 8 = 0$；
(3)$3x^2 + 6x + 2 = 11$。
答案
(1)配方,得$(x+6)^2=0$.由此可得$x_1=x_2=-6$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-4=0$,移项,配方,得$(x-1)^2=5$.由此可得$x-1=\pm\sqrt{5}$,$x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(3)移项,得$3x^2+6x-9=0$,二次项系数化为1,得$x^2+2x-3=0$.配方,得$(x+1)^2=4$,由此可得$x_1=1$,$x_2=-3$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-4=0$,移项,配方,得$(x-1)^2=5$.由此可得$x-1=\pm\sqrt{5}$,$x_1=1+\sqrt{5}$,$x_2=1-\sqrt{5}$.
(3)移项,得$3x^2+6x-9=0$,二次项系数化为1,得$x^2+2x-3=0$.配方,得$(x+1)^2=4$,由此可得$x_1=1$,$x_2=-3$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解。具体步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④直接开平方求出方程的解。
针对三个小题：(1)左边本身就是完全平方式，可直接变形开方；(2)先将二次项系数化为1，再按步骤配方求解；(3)先移项整理成标准形式，再化二次项系数为1，后续按配方法步骤求解即可。
【解析】
(1) 原方程左边为完全平方形式，配方得：
$(x+6)^2=0$
开平方得$x+6=0$
解得$x_1=x_2=-6$
(2) 二次项系数化为1，方程两边同时除以2得：
$x^2-2x-4=0$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2-2x=4$
配方，两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$：
$x^2-2x+1=4+1$，即$(x-1)^2=5$
开平方得$x-1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
(3) 移项整理，将右侧常数移到左侧：
$3x^2+6x+2-11=0$，即$3x^2+6x-9=0$
二次项系数化为1，方程两边同时除以3得：
$x^2+2x-3=0$
移项得$x^2+2x=3$
配方，两边同时加一次项系数$2$一半的平方$1$：
$x^2+2x+1=3+1$，即$(x+1)^2=4$
开平方得$x+1=\pm2$
当$x+1=2$时$x=1$，当$x+1=-2$时$x=-3$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
【答案】
(1)$x_1=x_2=-6$；
(2)$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，需要熟练掌握配方法的操作流程，注意二次项系数不为1时要先化为1，移项时注意符号变化，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免只加左侧漏加右侧的错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再通过直接开平方求解。具体步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④直接开平方求出方程的解。
针对三个小题：(1)左边本身就是完全平方式，可直接变形开方；(2)先将二次项系数化为1，再按步骤配方求解；(3)先移项整理成标准形式，再化二次项系数为1，后续按配方法步骤求解即可。
【解析】
(1) 原方程左边为完全平方形式，配方得：
$(x+6)^2=0$
开平方得$x+6=0$
解得$x_1=x_2=-6$
(2) 二次项系数化为1，方程两边同时除以2得：
$x^2-2x-4=0$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2-2x=4$
配方，两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$：
$x^2-2x+1=4+1$，即$(x-1)^2=5$
开平方得$x-1=\pm\sqrt{5}$
解得$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$
(3) 移项整理，将右侧常数移到左侧：
$3x^2+6x+2-11=0$，即$3x^2+6x-9=0$
二次项系数化为1，方程两边同时除以3得：
$x^2+2x-3=0$
移项得$x^2+2x=3$
配方，两边同时加一次项系数$2$一半的平方$1$：
$x^2+2x+1=3+1$，即$(x+1)^2=4$
开平方得$x+1=\pm2$
当$x+1=2$时$x=1$，当$x+1=-2$时$x=-3$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
【答案】
(1)$x_1=x_2=-6$；
(2)$x_1=1+\sqrt{5}$，$x_2=1-\sqrt{5}$；
(3)$x_1=1$，$x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，需要熟练掌握配方法的操作流程，注意二次项系数不为1时要先化为1，移项时注意符号变化，配方时等号两边要同时加上一次项系数一半的平方，避免只加左侧漏加右侧的错误。
【难度系数】
0.8
3. 用公式法解下列方程：
(1)$x^2 -7x -18=0$；
(2)$4x^2 -8x +3=0$；
(3)$x^2 +18=2\sqrt{5}x$。
(1)$x^2 -7x -18=0$；
(2)$4x^2 -8x +3=0$；
(3)$x^2 +18=2\sqrt{5}x$。
答案
(1)$\because\Delta=(-7)^2-4×(-18)=121＞0$,$\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2}=\frac{7\pm11}{2}$,$x_1=9$,$x_2=-2$.
(2)$\because\Delta=(-8)^2-4×4×3=16＞0$,$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×4}=\frac{2\pm1}{2}$,$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{1}{2}$.
(3)原方程化为$x^2-2\sqrt{5}x+18=0$.$\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×18=-52＜0$.此方程无实数根.
(2)$\because\Delta=(-8)^2-4×4×3=16＞0$,$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×4}=\frac{2\pm1}{2}$,$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=\frac{1}{2}$.
(3)原方程化为$x^2-2\sqrt{5}x+18=0$.$\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×18=-52＜0$.此方程无实数根.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程的思路如下：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不要出错）；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根。本题前两小题已经是一般形式，第三小题需要先移项化为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 -7x -18=0$中，$a=1$，$b=-7$，$c=-18$
$\because\Delta=(-7)^2-4×1×(-18)=49+72=121＞0$
$\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7\pm11}{2}$
解得$x_1=\frac{7+11}{2}=9$，$x_2=\frac{7-11}{2}=-2$
(2) 方程$4x^2 -8x +3=0$中，$a=4$，$b=-8$，$c=3$
$\because\Delta=(-8)^2-4×4×3=64-48=16＞0$
$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×4}=\frac{8\pm4}{8}=\frac{2\pm1}{2}$
解得$x_1=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$
(3) 先将原方程移项化为一般形式：$x^2-2\sqrt{5}x+18=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=18$
$\because\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×18=20-72=-52＜0$
$\therefore$此方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=9$，$x_2=-2$；
(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)无实数根。
【知识点】
根的判别式，一元二次方程求根公式，公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题时要注意必须先把方程化为一般形式再确定$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式和求根时要格外注意符号，牢记判别式小于0时方程没有实数根，熟练掌握解题步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程的思路如下：第一步先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值（注意符号不要出错）；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程实数根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根；第三步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算出方程的根。本题前两小题已经是一般形式，第三小题需要先移项化为一般形式再计算。
【解析】
(1) 方程$x^2 -7x -18=0$中，$a=1$，$b=-7$，$c=-18$
$\because\Delta=(-7)^2-4×1×(-18)=49+72=121＞0$
$\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{121}}{2×1}=\frac{7\pm11}{2}$
解得$x_1=\frac{7+11}{2}=9$，$x_2=\frac{7-11}{2}=-2$
(2) 方程$4x^2 -8x +3=0$中，$a=4$，$b=-8$，$c=3$
$\because\Delta=(-8)^2-4×4×3=64-48=16＞0$
$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2×4}=\frac{8\pm4}{8}=\frac{2\pm1}{2}$
解得$x_1=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$
(3) 先将原方程移项化为一般形式：$x^2-2\sqrt{5}x+18=0$，其中$a=1$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=18$
$\because\Delta=(-2\sqrt{5})^2-4×1×18=20-72=-52＜0$
$\therefore$此方程无实数根。
【答案】
(1)$x_1=9$，$x_2=-2$；
(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{1}{2}$；
(3)无实数根。
【知识点】
根的判别式，一元二次方程求根公式，公式法解方程
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题时要注意必须先把方程化为一般形式再确定$a$、$b$、$c$的取值，计算判别式和求根时要格外注意符号，牢记判别式小于0时方程没有实数根，熟练掌握解题步骤即可准确作答。
【难度系数】
0.8
4. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 -9x=0$；
(2)$x^2 -2x +1=25$；
(3)$3x(x+1)=3x+3$。
(1)$x^2 -9x=0$；
(2)$x^2 -2x +1=25$；
(3)$3x(x+1)=3x+3$。
答案
(1)左边因式分解,得$x(x-9)=0$.$\therefore x_1=0$,$x_2=9$.
(2)配方,移项,得$(x-1)^2-5^2=0$.左边因式分解,得$(x-1+5)(x-1-5)=0$.$\therefore x_1=6$,$x_2=-4$.
(3)移项,得$3x(x+1)-3(x+1)=0$.左边因式分解,得$3(x-1)(x+1)=0$.$\therefore x_1=1$,$x_2=-1$.
(2)配方,移项,得$(x-1)^2-5^2=0$.左边因式分解,得$(x-1+5)(x-1-5)=0$.$\therefore x_1=6$,$x_2=-4$.
(3)移项,得$3x(x+1)-3(x+1)=0$.左边因式分解,得$3(x-1)(x+1)=0$.$\therefore x_1=1$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是“降次”，即把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程整理为右侧为0的形式；②把方程左侧分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得的解就是原方程的解。
各小题的具体思考方向：(1)方程左侧两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；(2)左侧是完全平方式，右侧25是5的平方，先移项使右侧为0，再用平方差公式分解；(3)先将右侧的式子移到左侧，提取公因式3(x+1)后即可分解。
【解析】
(1) 对左侧因式分解，提取公因式x，得：
$x(x-9)=0$
令两个因式分别为0，得$x=0$或$x-9=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=9$
(2) 先将左侧写成完全平方式，再移项使右侧为0，得：
$(x-1)^2 - 25 = 0$，即$(x-1)^2 - 5^2 = 0$
用平方差公式因式分解左侧，得：
$(x-1+5)(x-1-5)=0$，整理为$(x+4)(x-6)=0$
令两个因式分别为0，得$x+4=0$或$x-6=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$
(3) 先移项，将右侧$3x+3$变形为$3(x+1)$后移到左侧，得：
$3x(x+1) - 3(x+1) = 0$
提取公因式$3(x+1)$，得：
$3(x+1)(x-1) = 0$
令两个一次因式分别为0，得$x+1=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=9$；(2)$x_1=6,x_2=-4$；(3)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程因式分解解法的基础题型，解题时注意要先将方程整理为右侧为0的形式再分解，不要随意约去含有未知数的公因式避免漏解，熟练掌握提公因式、公式法等因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是“降次”，即把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，通用步骤为：①将方程整理为右侧为0的形式；②把方程左侧分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，所得的解就是原方程的解。
各小题的具体思考方向：(1)方程左侧两项有公因式x，直接提取公因式即可分解；(2)左侧是完全平方式，右侧25是5的平方，先移项使右侧为0，再用平方差公式分解；(3)先将右侧的式子移到左侧，提取公因式3(x+1)后即可分解。
【解析】
(1) 对左侧因式分解，提取公因式x，得：
$x(x-9)=0$
令两个因式分别为0，得$x=0$或$x-9=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=9$
(2) 先将左侧写成完全平方式，再移项使右侧为0，得：
$(x-1)^2 - 25 = 0$，即$(x-1)^2 - 5^2 = 0$
用平方差公式因式分解左侧，得：
$(x-1+5)(x-1-5)=0$，整理为$(x+4)(x-6)=0$
令两个因式分别为0，得$x+4=0$或$x-6=0$
解得：$x_1=6$，$x_2=-4$
(3) 先移项，将右侧$3x+3$变形为$3(x+1)$后移到左侧，得：
$3x(x+1) - 3(x+1) = 0$
提取公因式$3(x+1)$，得：
$3(x+1)(x-1) = 0$
令两个一次因式分别为0，得$x+1=0$或$x-1=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=-1$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=9$；(2)$x_1=6,x_2=-4$；(3)$x_1=1,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，公式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程因式分解解法的基础题型，解题时注意要先将方程整理为右侧为0的形式再分解，不要随意约去含有未知数的公因式避免漏解，熟练掌握提公因式、公式法等因式分解方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
